Một số phương pháp phát triển năng lực tư duy giải Toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng nhiều cách của môn Toán 8 ở trường THCS xã Vĩnh Thanh

 HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
 ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS XÃ VĨNH THANH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY GIẢI 
 TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG NHIỀU 
 CÁCH CỦA MÔN TOÁN 8 Ở TRƯỜNG THCS XÃ VĨNH THANH”
 Họ và tên người thực hiện: Lâm Hồng Cẩm
 Môn, lĩnh vực: Toán
 Vĩnh Thanh, ngày 02 tháng 12 năm 2022
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 I. Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm (SKKN)
 Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn 
nữa công tác giáo dục và coi đây là một trong những yếu tố hàng đầu, yếu tố 
quan trọng góp phần phát triển kinh tế - xã hội. Mục tiêu của giáo dục là: “Phát 
triển toàn diện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, 
thẩm mỹ và nghề nghiệp; có phẩm chất, năng lực, phát huy tiềm năng, khả năng 
sáng tạo của mỗi cá nhân; nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng 
nhân tài”. Để thực hiện được mục tiêu đó thì nhiệm vụ của việc dạy chữ dạy 
người ở nhà trường càng phải được chú trọng đổi mới. Nó đòi hỏi một sự nỗ lực 
và sáng tạo không biết mệt mỏi của những người làm công tác giáo dục nói 
chung và toàn thể đội ngũ giáo viên chúng ta nói riêng. 
 Năm học 2020 - 2021, trường THCS xã Vĩnh Thanh có 458 học sinh, trong 
đó khối 6 có 136 học sinh, khối 7 có 135 học sinh, khối 8 có 111 học sinh, khối 
9 có 76 học sinh. Đa số học sinh đều ham học và chăm ngoan, đáp ứng được yêu 
cầu đào tạo.
 Trường THCS xã Vĩnh Thanh là một trường đạt chuẩn quốc gia và kiểm 
định chất lượng giáo dục mức độ 2 thì vấn đề phát triển chất lượng giáo dục, 
nâng cao hiệu quả dạy học được quan tâm hàng đầu.
 Là một giáo viên phụ trách giảng dạy môn Toán ở trường THCS xã Vĩnh 
Thanh, tôi cũng phải có nhiệm vụ thực hiện tốt chủ trương của Đảng về công tác 
phát triển giáo dục và tôi đã không ngừng nỗ lực, làm việc không biết mệt mỏi 
để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ở 
môn Toán mà tôi phụ trách giảng dạy. Tôi nhận thấy rằng để học tốt môn Toán, 
song song với việc nắm vững lý thuyết, học sinh cần phải có kỹ năng giải bài 
tập. Việc giải các bài tập Toán giúp học sinh hiểu sâu hơn những phương pháp 
giải, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt, tự giải quyết những tình 
huống cụ thể khác nhau là vấn đề quan trọng.
 Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy và học môn toán 8. Qua quá trình 
công tác đó, qua nhiều tài liệu, qua học hỏi đồng nghiệp, tôi rút ra được những 
phương pháp hướng dẫn giải bài tập đạt hiệu quả về phần phân tích đa thức 
thành nhân tử, giúp học sinh từ những bài tập cơ bản tìm được phương pháp giải 
những bài tập ở mức độ cao hơn. Phát huy tiềm năng trí tuệ, tư chất của học sinh. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường 
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Là giáo viên ai cũng mong 
muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy 
sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu 
cầu đó.
 Việc tìm ra một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là 
cần thiết và công việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động 
tìm tòi kiến thức. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn 
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Tôi 
đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp phân tích đa thức 
thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng 
lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
 Trên đây là tất cả những lí do mà hôm nay tôi xin trình bày: “Một số 
phương pháp phát triển năng lực tư duy giải toán phân tích đa thức thành 
nhân tử bằng nhiều cách của môn Toán 8 ở Trường THCS xã Vĩnh Thanh” 
của mình trong công tác giảng dạy cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo cũng như 
chia sẻ thêm cho tôi những kinh nghiệm về công tác này nhằm cùng nhau đưa 
môn Toán của ngành giáo dục mình tiến thêm những bước mới .
 II. Tổng quan thông tin về những vấn đề nghiên cứu
 1. Cơ sở lý luận
 Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng 
của môn Đại số 8, trong sách giáo khoa đã trình bày các phương pháp phân tích 
đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, 
phương pháp nhóm các hạng tử, phương pháp phối hợp. Trong sáng kiến kinh 
nghiệm này tôi giới thiệu thêm các phương pháp khác như: Phân tích đa thức 
thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, 
phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức đa dạng về cách giải. 
Phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hóa vấn đề và rút ra 
được những điều gì bổ ích, đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học 
sinh học tiếp các kiến thức sau này một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu 
quả cao.
 Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh 
những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán. Đặc biệt là kĩ năng giải 
 toán, xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các 
phương pháp mở rộng, để giúp học sinh học tập tốt hơn.
 2. Mục đích nghiên cứu
 Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn 
Toán. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính 
sáng tạo và giải toán của học sinh. Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở 
rộng các bài toán, từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải, để nâng cao 
hiệu quả của công tác giảng dạy môn toán ở trường THCS xã Vĩnh Thanh.
 3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu 
 3.1. Đối tượng nghiên cứu
 Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học 
của học sinh. Các biện pháp giáo dục, tác động đến học sinh học bộ môn Toán 8 
ở Trường THCS xã Vĩnh Thanh.
 3.2. Phương pháp nghiên cứu
 - Điều tra, thu thập thông tin học sinh.
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 
 - Phương pháp thực hành, vận dụng.
 - Phương pháp so sánh, đối chiếu.
 - Tư vấn, trao đổi với học sinh trong quá trình giảng dạy môn Toán.
 4. Tình hình nghiên cứu và tính mới của vấn đề
 Từ trước tới nay, theo tôi được biết chưa có sáng kiến kinh nghiệm hướng 
dẫn học sinh giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng nhiều cách 
giải, áp dụng vào thực tế học sinh của trường THCS xã Vĩnh Thanh. Qua tìm 
hiểu có nhiều phương pháp, sáng kiến kinh nghiệm đã đề cập đến việc sử dụng 
rèn luyện phân tích đa thức thành nhân tử, nhưng chưa đề cập đến các phương 
pháp nâng cao như phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng 
tử, thêm, bớt hạng tử, tìm nghiệm thông qua nhiều cách giải. Từ đó tôi rút ra 
được một số kinh nghiệm mà tôi thấy có hiệu quả và thiết thực cho học sinh, dễ 
phân tích vận dụng giải bài toán. Vì vậy, bản thân phải đầu tư tìm tòi nghiên 
cứu, thu thập và thông tin và cố gắng đề xuất một số phương pháp giải bài toán 
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào thực tế của đơn vị.
 B. NỘI DUNG
 I. Thực trạng 
 1. Thuận lợi
 Được sự quan tâm, chỉ đạo của Ban Giám Hiệu nhà Trường là luôn chú 
trọng đến việc giáo dục đạo đức và chất lượng học tập của học sinh. Nhà trường 
có tương đối đầy đủ cơ sở vật chất đảm bảo tốt cho việc dạy và học. Hầu hết tất 
cả các học sinh đều có sách giáo khoa phục vụ học tập khá tốt. Đa số học sinh 
ngoan hiền, chú ý đến việc học tập chấp hành tốt nội quy trường, lớp.
 Bản thân tôi có sức khỏe tốt, có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác, 
nắm được tình hình lớp ngay từ đầu năm học. Được sự hỗ trợ của lãnh đạo nhà 
trường, các đồng nghiệp vững vàng về chuyên môn, luôn năng nổ nhiệt tình sẵn 
sàng giúp đỡ khi tôi gặp khó khăn. 
 Phối hợp nhà trường với phụ huynh tổ chức lớp học hai buổi với 3 môn 
trong đó môn toán học sinh tham gia học tập tích cực. Đó chính là cơ sở để các 
em hiểu biết thêm về các dạng bài tập nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử 
và vận dụng các phương pháp giải bằng nhiều cách.
 2. Khó khăn
 Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân 
tử đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham 
khảo. Đa số học sinh yếu kĩ năng tinh toán, quan sát nhận xét, biến đổi thực 
hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở lớp dưới, ít chủ động 
trong học tập.
 Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết theo hướng 
nào? Không biết sử dụng kiến thức nào. Suy luận chậm, chưa biết vận dụng kiến 
thức phương pháp nào hợp lý từng dạng đa thức. 
 Vì vậy làm sao để cho học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có 
kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao không còn học 
sinh học yếu bộ môn toán 8. Để giải quyết vấn đề nêu trên trong quá trình giảng 
dạy tôi đã đề ra phương pháp cơ bản, đặc biệt thông qua những bài tập cụ thể để 
giúp học sinh hiểu hơn về các phương pháp này. Để giải bài toán phân tích đa 
thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. Thông qua 
dạng tam thức bậc hai cách giải tổng quát nhằm tạo tiền đề khi học môn toán 9.
 II. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy giải toán phân tích đa 
thức thành nhân tử của môn Toán 8 ở trường THCS xã Vĩnh Thanh.
 1. Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về phương pháp phân tích 
đa thức thành nhân tử:
 Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài 
toán “Phân tích đa thức thành nhân tử”
 a. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa 
thức đã cho thành một tích của các đa thức, đơn thức khác.
 b. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường:
 * Đặt nhân tử chung.
 * Dùng hằng đẳng thức (Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ).
 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 A2 - B2 = (A + B)(A - B)
 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 A3 + B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
 * Nhóm các hạng tử.
 * Phối hợp các phương pháp trên.
 c. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác:
 * Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
 * Thêm, bớt cùng một hạng tử.
 * Đặt ẩn phụ.
 * Dùng phương pháp hệ số bất định.
 * Nhẩm nghiệm: Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x= a khi và chỉ 
 n n-1 1
khi f(a) = 0; cho đa thức f(x) = anx + an-1x + + a1x +a0. Đa thức này nếu có 
nhiều nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0.
 2. Một số phương pháp giải và bài tập minh họa về phân tích đa thức 
thành nhân tử:
 * Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
 Giải: 
 Cách 1: (Tách hạng tử: 3x2 = 4x2 - x2) 
 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 
 = (2x – 2)2 – x2 
 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
 = (x – 2)(3x – 2)
 Cách 2: (Tách hạng tử: – 8x= - 6x - 2x ) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
 = 3x(x – 2) – 2(x – 2)
 = (x – 2)(3x – 2)
 Cách 3: (Tách hạng tử: 4= -12 +16) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3(x2 – 22) – 8(x – 2)
 = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
 = (x – 2)(3x + 6 – 8)
 = (x – 2)(3x – 2)
 Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử 
nhằm:
 - Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (Cách 1)
 - Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất 
hiện nhân tử chung x – 2.( Cách 2)
 - Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.(Cách 3)
 Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện 
các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm 
 nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh khi học nội dung 
này.
 + Khai thác cách giải: Tách hạng tử: - 8x( cách 2)
 Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là: 
 6 4
3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau Hay (– 6).( – 2) = 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8
 3 2
 2
 + Khai thác: Trong đa thức 3x – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4
 Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b 
 (a.c = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)
 Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta 
tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac.
 Trong thực hành ta làm như sau:
 Bước 1: Tìm tích a.c
 Bước 2: phân tích a.c thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
 Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
 Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x 2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-
SBT-tr7)
 Ta có: a = – 6; b = 7; c = – 2
 Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) = (–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
 Bước 3: b = 7 = 4 + 3
 Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 
 = –2x(3x – 2) + (3x – 2) 
 = (3x – 2)(–2x + 1)
 Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ 
số tỉ lệ, tùy theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp 
nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử 
chung.
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 - 6x + 5 thành nhân tử.
 Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng 
hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng 
thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để 
xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ...Từ đó có nhiều khả 
năng biến đổi đa thức đã cho thành tích.
 Giải:
 Cách 1: x2 - 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5
 = x (x - 1) - 5 (x - 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 2: x2 - 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) - 4x + 4 
 = (x – 1 )2 – 4(x – 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 3: x2 - 6x + 5 = (x2 – 6x + 9 ) – 4 
 = (x – 3)2 - 22
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 4: x2 - 6x + 5 = (x2 – 1 ) – 6x + 6
 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 5: x2 - 6x + 5 = (3x2 – 6x +3) – 2x2 + 2
 = 3(x – 1)2 – 2(x2 - 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 6: x2 - 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4x
 = 5(x – 1)2 - 4x(x – 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Cách 7: x2 - 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
 = 6x(x – 1) – 5(x2 – 1)
 = (x - 1) (x - 5)
 Ví dụ 3: Phân tích đa thức x3 - 7x – 6 thành nhân tử.
 Giải: Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
 = x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1)
 = (x + 1) (x2 - x - 6)
 = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
 = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)] 
 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
 = x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) 
 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
 = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) 
 = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 
 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
 = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) 
 = (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 
 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
 = (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) 
 = (x + 1) (x2 - x - 6) 
 = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 5: x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x – 14
 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
 = (x + 2) (x2- 2x - 3)
 = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
 = (x + 2) (x + 1) (x - 3)
 Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 
 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
 = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
 Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là 
kết quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có 
tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích 
không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có 
một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta kết 
quả là:
 x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6). 
 Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
 x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
 Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
 x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
 Ví dụ 4: Phân tích đa thức x4 + 2x2 – 3 thành nhân tử
 Giải:
 Cách 1: x4 + 2x2 – 3 = (x4 – x2) + 3x2 – 3
 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
 Cách 2: x4 + 2x2 – 3 = ( x4 + 3x2) – x2 – 3 
 = x2(x2 + 3) – (x2 + 3)
 = (x2 + 3)(x2 – 1)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
 Cách 3: x4 + 2x2 – 3 = (x4 - 1) + 2x2 – 2
 = (x2 – 1)( x2 + 1) + 2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
Cách 4: x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 +1) – 4
 = (x2 + 1)2 -22
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
Cách 5: x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6
 = (x2 – 3)(x2 + 3) + 2(x2 + 3)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
Cách 6: x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
 = 3(x2 – 1)( x2 + 1) – 2x2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 2
 = (x – 1)(x + 1)(x + 3)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) thành nhân tử .
 Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b + c hoặc c - a hoặc a + b.
 Giải: 
 Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) 
 = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2.
 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
 = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b)
 = (b + c) (bc + ac - ab - a2)
 = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] 
 = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] 
 = (b + c) (b + a) (c -a)
 Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
 = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2
 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
 = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a)
 = (c - a) (ac + b2 + bc + ab)
 = (c - a) (a +b) (c+ b)
 Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) 
 = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b)
 = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
 = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)
 = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) 
 = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)]
 = (a + b) (b + c) (c - a)
 Cách 4: Nhận xét c - a = (b + c) - (a + b)
 Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) 
 = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
 = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b)
 = (b + c) (a + b) (c - a)
Cách 5: Nhận xét b + c = (c - a) + (a + b)
 Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) 
 = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).
 = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) 
 = (a + b) (c - a) (c + b).
 Cách 6: Nhận xét a + b = (b + c) - (c - a)
 Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) 
 = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
 = (c - a) (c + c) (b + a).
 * Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng 
tử
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + 5x3 +15x – 9 thành nhân tử.
 Giải:
 Đa thức đã cho có 4 hạng tử không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp 
dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các hạng tử hoặc 
thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau:
 Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9 = x4 - 9 + 5x3 + 15x
 = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
 = (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x)
 = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
 Cách 2: x4 + 5x3 + 15x – 9 = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9
 = x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3)
 = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
 Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x 2 + 5x - 3 
không phân tích được nữa.
 Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của 
một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa 
thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được phương 
pháp phân tích đã biết.
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức x5 + x + 1 thành nhân tử.
 Giải
 Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống như cách làm như phần 
a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x +1
 Ta có: x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 +x3 – x3 +x2 – x2 +x +1
 = (x5 + x4 +x3) – (x4 +x3 + x2) + x2 +x +1
 = x3(x2 +x +1) – x2(x2 +x +1) +(x2 +x +1)
 = (x2 +x +1)( x3– x2 +1)
 Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2 +x +1
 Ta có: x5 + x + 1 = x5 + x2 – x2 + x +1
 = (x5 – x2) + (x2 + x +1)
 = x2(x3 – 1) + (x2 + x +1)
 = x2(x – 1)(x2 + x +1) + (x2 + x +1)
 = (x2 + x +1)( x3– x2 +1)
 Chú ý: Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng: x 5 + 
x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + 1 . . .
 Các đa thức này đều có dạng: x m + xn + 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2. 
Khi tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thưa ta cần chú ý đến biểu thức có dạng x 6 
- 1; x3 - 1 là những biểu thức chia hết cho x 2 + x + 1. Những đa thức này khi 
phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x2 + x + 1.
 Tuy nhiên bài toán này có thể giải được bằng cách sử dụng hằng đẳng thức 
đơn giản hơn như:
 x8 + x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1) - x4 = (x4 + 1)2 - (x2)2 
 = (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2] (x4 - x2 + 1)
 = [(x2 + 1)2 - x2] (x4 - x2 + 1) = (x2 + x + 1) (x4 - x2 + 1)
 * Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng A(x). B(x) + 
C. Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết 
dưới dạng B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau:
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 thành nhân tử.
 Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa 
thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 
với năm số hạng này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề 
bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó 
nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc 
hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
 Giải: Đặt y = x2 + x + 1.
 Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
 = (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2)
 = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1)
 = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
 Ở trong ví dụ này ta đã biến đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa 
thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại với biến ban đầu là biến x. Cuối 
cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 thành nhân 
tử:
 Giải: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
 Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2
 y(y + 2) – 24 = y2 + 2y - 24
 2
 = y - 16 + 2y - 8
 = (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
 = (y - 4)(y + 4 + 2)
 = (y - 4)(y + 6)
 Thay y = x2 + 7x + 10 ta được:
 (y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6)
 = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
 = (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16)
 = [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x2 + 7x + 16)
 = (x + 1)(x + 6) (x2 + 7x + 16)
 Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa 
thức mới được đặt ẩn phụ. 
 * Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất 
định
 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, 
một đa thức bậc 2: x3 - 19x – 30
 Giải :
 Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa 
thức trên thành hai đa thức đúng theo yêu cầu đề bài.
 Ta có: x3 - 19x - 30
 = x3 + 8 - 19x - 38
 = (x3 + 8) - 19(x + 2)
 = (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
 = (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)
 Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa 
thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức, một đa thức bậc nhất và 
một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu bài toán.
 Cách 2: Kết quả phải có dạng:
 x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
 = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
 = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
 Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
 a + b = 0
 c + ab = -19
 ac = -30
 Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 
 30}
 Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đó là bộ số phải tìm 
tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x – 15)
 * Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của 
đa thức
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức x3 + 3x2 – 4 thành nhân tử 
 Các ước của 4 là: 1;2;4;-1;-2;-4. Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 
là nghiệm của đa thức đã cho.
 Giải:
 Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x = 1 nên chứa nhân tử x-1
 Ta có: x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4
 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)
 = (x-1)(x2 + 4x + 4)
 = (x-1) (x+2)2
 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2
 Ta có x3 + 3x2 - 4 = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4
 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2)
 = (x+2) (x2 +x -2)
 = (x+2) (x2 - x + 2x -2)
 = (x+2) x(x-1) +2(x-1)
 = (x+2)(x-1)(x+2)
 = (x-1) (x+2)2
 Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có) 
của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do.
 Nếu đa thức có tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì đa thức đã cho có 
nghiệm x = 1. Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a thì sẽ chứa nhân tử x- a do đó khi 
phân tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x- a.
 Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số 
nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự 
do; q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất.
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3 
 Giải:
 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng: 5 + 11 + (-3) = 13
 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng: 4 + 7 + 2 = 13
 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số 
hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1.
 III. Kết quả đạt được
 Khi chưa áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy học sinh giải quyết bài 
toán chưa đúng, nhiều học sinh còn mơ hồ, kết quả sai sót nhiều.
 Kết quả kiểm tra
 Thời điểm Số học sinh
 SKKN Chưa làm 
 Giữa kì I Làm được
 được
 Chưa áp dụng
 2019 - 2020 40 3 (7,5%) 37 (92,5%)
 2020 - 2021 Đã áp dụng 44 42 (95,5%) 2 (4,5%)
 Áp dụng SKKN này vào giảng dạy ở trường THCS xã Vĩnh Thanh trong 
năm học 2020 - 2021 đã thu được các kết quả khả quan.
 Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi 
kỳ kiểm tra, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các 
thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến 
việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt hơn. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng 
các phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, 95,5% các em 
học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương 
pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các 
phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến 
thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và 
giải toán khi học bộ môn toán.
 Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây. Giúp học 
sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân 
tử, bằng nhiều cách phân tích các hạng tử khác nhau, cần nhận dạng đa thức 
trước khi phân tích, học sinh cần quan sát đa thức đó sử dụng phương pháp nào 
phân tích, cuối cùng đi đến kết quả đúng.
 C. KẾT LUẬN
 Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này. Tôi nhận thấy học 
sinh hiểu thêm về cách giải, nắm vững kiến thức hơn, giúp học sinh rèn kĩ năng 
thực hành theo hướng tích cực hóa, hoạt động nhận thức ở mức độ khác nhau 
thông qua các dạng bài tập. Bên cạnh giúp học sinh khá giỏi có điều kiện tìm 
thêm phương pháp giải khác, các dạng toán nâng cao hơn, nhằm phát huy tính tự 
học, sáng tạo, tìm tòi.
 Để vận dụng SKKN trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập bộ môn 
toán. Giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, rèn kĩ năng phân tích 
từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học 
sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Trong quá trình dạy phải khắc sâu kiến 
thức cơ bản cho học sinh. Hướng dẫn cho học sinh phương pháp tự học, cách 
giải hay độc đáo và phân loại dạng bài tập. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi 
và định hướng phương pháp, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả từ việc giải toán 
phân tích đa thức thành nhân tử. Qua đó kích thích cho học sinh óc tìm tòi, sáng 
tạo, khai thác cách giải cho phù hợp, gây hứng thú học tập bộ môn toán hơn. Có 
được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán 
hay, cùng phát hiện vấn đề của bài toán, từ đó học sinh có tính tự giác, tìm tòi, 
sáng tạo, tư duy trong học toán.
 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây. Giúp học 
sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân 
tử. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có 
lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong quý thầy cô góp ý chân thành để tôi có nhiều 
sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy hơn. 
 Xin chân thành cảm ơn!
 Vĩnh Thanh, ngày 02 tháng 12 năm 2020
 Người viết 
 Lâm Hồng Cẩm