Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện và biện pháp khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai Đại số Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Nguyễn Văn Thuận

PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG 
SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI.
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậc hai – căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai – căn bậc ba và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai – căn bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai (đại diện cho căn bậc chẵn) căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
a. Cơ sở ký luận
Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến điều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân:
	- Nguyên nhân khách quan:
	+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít.
+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải.
	+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV.
	- Nguyên nhân chủ quan:
+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho những HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế.
	+ Một số GV thường dùng tiết bài tập để chữa bài tập cho HS.
	+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS.
+ Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn.
+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập.
	Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập.
b. Cơ sở thực tiễn.
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau:
+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói riêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng ngay trong con người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
3. Phương pháp tiến hành.
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành từng nhóm.
6. Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phương pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh 3 lớp 9 với tổng số 117 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra  Tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo. 
 4. Cơ sở và thời gian tiến hành.
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập. GV cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót (nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai của 120 học sinh lớp 9 năm học 2007-2008 là: 33/120 em chiếm 27,5%.
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học 2007-2008 của 120 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 43/120 em chiếm 35,8% (nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2007-2008)
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai là tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh được khi làm bài tập trong năm học 2008-2009 này là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Tăng Bạt Hổ.
	Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS: bao gồm 3 lớp 9 với tổng số 117 học sinh.
Thời gian nghiên cứu được chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 30 tháng 10 năm 2007.
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 25 tháng 8 năm 2008 đến ngày 29 tháng 10 năm 2008.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm 2008.
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
	A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
	- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -.
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết = 0.
- Căn bậc hai số học: 
	- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a0, có ; với a bất kỳ có )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a 0, b 0, ta có : a < b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi: định lý “ Với a 0, b 0, ta có : ” và định lý “ Với a 0, b > ...  bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức.
	+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: 
	- Biện pháp khắc phục:
	+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng tương tự như ( với và ) .
	+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
	+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
	+ Cần khắc sâu các công thức:
	, với B > 0
	, với và 
	, với và 
10. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
DV1 : Tìm x, biết : 
(4- .
- Cách giải sai :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4-) x < .
- Cách giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có
(4- 2x > x > .
-Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
	- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
VD2: Rút gọn biểu thức :
- Cách giải sai : = = x - .
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 0 hay x -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x -).
-Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
VD3: Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M = với a > 0.
- Cách giải sai :
M = = 
M = . 
M = 
Ta có M = = - = 1- , khi đó ta nhận thấy M 0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
- Cách giải đúng :
M = có a > 0 và - 1 0 hay a > 0 và a 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M = . 
M = 
Khi đó ta nhận thấy M 0. 
Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1 (mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
-Nguyên nhân: Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai. Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết:
Khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
- Biện pháp khắc phục: Lưu ý cho HS khi đi giải các bài toán có chứabiến dưới căn thức bâc hai, ở mẫu của phân thức ta phải đi tòm ĐKXĐ của biểu thức.
	D. KẾT QUẢ THỰC HIỆN :
Qua thực tế giảng dạy chương I- môn đại số 9 năm học 2008-2009 này. Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2007-2008 và các năm học trước tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A4, 9A5, 9A6 chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể : 
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 117 em
Số bài kiểm tra có điểm từ 5 trở lên là 96 bài chiếm 82,1%. (ở năm học 2007-2008 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhưng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
Bài kiểm tra chương I : Tổng số 117 bài. 
Số bài kiểm tra có điểm từ 5 trở lên là 91 bài chiếm 77,8% (ở năm học 2007-2008 là 64%) trong đó có các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư duy cao hơn.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
E. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
* Về phía giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
III. KẾT LUẬN : 
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khác phục sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
 Tăng Bạt Hổâ, ngày 28 tháng 11 năm 2008
	 Người viết
 Nguyễn Văn Thuận