Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 8

CHỦ ĐỀ 1. NHÂN CHIA ĐA THỨC 
1. Kiến thức cơ bản
Với A, B, C,  là các đơn thức tùy ý 
Ta có: 
Với A, B là các đa thức một biến thì luôn tồn tại hai đa thức Q và R sao cho ( bậc của nhỏ hơn bậc của )
Nếu thì chia hết cho 
Nếu thì không chia hết cho 
2. Nâng cao
a. Định lý Bê – zu
Số dư trong phép chia đa thức cho đa thức đúng bằng .
b. Hệ quả của định lý Bê – zu
Nếu là nghiệm của đa thức thì chia hết cho .
* Đặc biệt:
Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng thì là nghiệm của và chia hết cho .
Nếu có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì là nghiệm của và chia hết cho 
3. Các ví dụ minh họa
VD. Thực hiện phép tính
(a) , ,
(c) , 
(e) , (f) .
Lời giải.
(f) 
- 
 - 
 -
 0
 Vậy: .
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Thực hiện phép tính
Bài 2. Thực hiện phép tính
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
 tại ,
 tại và .
Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức rồi thay các giá trị vào.
Bài 4. Tìm, biết:
,
,
Hướng dẫn: Nhân các đa thức với nhau rồi rút gọn các số hạng đồng dạng. 
Bài 5. Xác định để đa thức chia hết cho đa thức .
Hướng dẫn: Thực hiện chia đa thức cho được dư là , cho suy ra giá trị cần tìm hoặc sử dụng định lý Bê – zu, tính và cho suy ra giá trị của .
CHỦ ĐỀ 2 
HẰNG ĐẲNG THỨC, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
I. HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết) 
A. Kiến thức cơ bản
* Lưu ý: 
B. Các ví dụ minh họa
VD1: Tính
Lời giải.
VD2. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
Lời giải.
VD3. Tính giá trị của các biểu thức sau 
 tại ,
 tại 
 tại 
Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các bước sau
Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳng thức)
Thay biến bởi giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị của biến đã cho là số âm, ta cần đặt trong dấu ngoặc
Thực hiện các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ)
Lời giải.
(a) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là .
(b) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là
(c) Ta có 
Thay vào 
Ta được: 
Vậy giá trị của các biểu thức tại là 
C. Bài tập tự luyện
Bài 6. Tính nhanh
Bài 7. Tính
Bài 8. Đưa các biểu thức sau về dạng các hằng đẳng thức
Bài 9. Tìm, biết:
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết)
A. Kiến thức cơ bản
* Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. ta có thể viết bằng công thức sau:
* Cách giải :
Để giải được các bài toán dạng này ta dùng các phương pháp sau:
Đặt nhân tử chung,
Dùng hằng đẳng thức,
Nhóm hạng tử,
Phối hợp nhiều phương pháp.
Ngoài bốn phương pháp trên ta có thể sử dụng các phương pháp sau
Tách hạng tử,
Thêm bớt cùng một hạng tử,
Biến đổi,
Phương pháp đồng nhất hệ số( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định).
B. Các ví dụ minh họa
VD. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Lời giải.
 .
C. Bài tập tự luyện
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 11. Tính giá trị của các biểu thức sau
tại và ,
 tại và ,
 tại ,
 tại và .
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Hướng dẫn: Ở câu (a), (b) và (c) dùng phương pháp tách và nhóm hạng tử, riêng ở câu (d) dùng phương pháp thêm bớt hạng tử vào đa thức.
Bài 13. Tìm , biết
Bài 14. Tính giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của các đa thức sau
Hương dẫn: Ở bài toán dạng này ta biến đổi các biểu thức về dạng hoặc , vậy ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng 
nên: GTNN hay () khi 
TH2: Nếu ta biến đổi biểu thức về dạng 
nên: GTLN hay () khi 
CHỦ ĐỀ 3. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Phân thức đại số là biểu thức có dạng , với là những đa thức và khác đa thức 
* Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức là 1
Hai phân thức bằng nhau: nếu 
2. Tính chất cơ bản của phân thức
 (M là đa thức khác 0)
 ( N là một nhân tử chung của A và B)
* Đặc biệt : (quy tắc đổi dấu)
3. Rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung,
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
4. Quy đồng mẫu của nhiều phân thức
- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung,
- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức,
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức cho nhân tử phụ tương ứng.
B. Bổ sung 
Phân số là một trường hợp đặc biệt của phân thức khi là những đa thức bậc 0. Vì vậy tính chất cơ bản của phân số là một trường hợp đặc biệt của tính chất cơ bản của phân thức đại số. 
C. Các ví dụ minh họa 
VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
Lời giải.
Ta có : 
Ta có : 
VD2: Rút gọn các phân thức sau
Lời giải.
Ta thấy và đều có nhân tử chung là 
 và đều có nhân tử chung là . 
Do đó bài này được giải như sau
 Ta có mà mẫu thức là như vậy không có nhân tử chung. Để làm xuất hiện nhân tử chung ở bài này ta dùng quy tắc đổi dấu . Ta giải như sau:
Ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung, cụ thể ta phân tích như sau
Tử thức ta nhóm hạng tử thứ nhất với thứ hai, hạng tử thứ ba với thứ tư (lưu ý về dấu)
Mẫu thức ta cũng nhóm tương tự. Do đó ta có lời giải sau:
VD3. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau 
Lời giải. 
Đây là bài đơn giản mẫu thức của hai phân thức đều là đơn thức do đó khi quy đồng ta cần chú ý phần biến và phần hệ số.
Phần hệ số ta tìm bội chung nhỏ nhất,
Biến số lấy biến có lũy thừa cao nhất xuất hiện trong đơn thức.
Ta có lời giải sau
MTC: 
Ta thấy mẫu thức của hai phân thức là những đơn thức do vậy khi giải bài này ta cần phân tích mẫu thức thành nhân tử
Từ đó ta có mẫu thức chung là 
Từ ta nhận thấy , vậy ta quy đồng mẫu như thế nào? (dùng quy tắc đổi dấu biến đổi phân thức thứ hai )
Ta có lời giải sau
MTC: 
Dùng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử 
Ta có: do đó ở bài tập này ta giải như sau
MTC: 
D. Bài tập tự luyện 
Bài 15. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
Bài 16. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
Bài 17. Rút gọn các phân thức
Bài 18. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau