Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng hai hằng đẳng thức vào bài tập THCS

I: Đặt vấn đề
Với sự phát triễn như vũ bão của khoa học công nghệ hiện nay đã đặt con người của chúng ta vào những yêu cầu , thách thức mới . Trong những yêu cần đó là con người cần phải có kiến thức đặc biệt là kiến thức về khoa học tự nhiên . Để có những kiến thức về khoa học tự nhiên nhất định thì toán học là bộ môn có thể đem lại kết quả tốt nhất và đóng một vai trò hết sức quan trọng làm nâng cao kiến thức đó . Ngoài ra toán học còn được xem như là một môn học cơ bản cho các môn học khác và toán học không chỉ là môn học cơ bản mà nó còn được coi như là những công cụ giao tiếp hữu hiệu cho các quốc gia khác nhau trên thế giới (vì nó không cần biết nhiều về ngôn ngữ của nước đó) . Chính vì điều đó ngay từ bây giờ chúng ta là những người trực tiếp dạy toán cần phải trang bị cho các em học sinh có những kiến thức cơ bản về toán một cách vững chắc . Để làm được điều đó trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết khơi dậy tạo hứng thú và phát triễn bồi dưỡng làm cho các em yêu thích , say mê bộ môn này .Muốn làm được điều đó đòi hỏi trong quá trình dạy học chúng ta cần khai thác mở rộng triệt để các kiến thức cơ bản có trong sách giáo khoa , để từ đó học sinh chiếm lĩnh tri thức và vận dụng nó vào giải các bài khó hơn . Như GS – TS Nguyễn cảnh Toàn có nói:’’ Người làm toán giỏi không phải là làm nhiều bài toán mà là người biết khai thác mở rộng tổng quát các bài toán đã có ’’ . 
Trong toán học có rất nhiều lĩnh vực , trong đó có lĩnh vực đại số . Lĩnh vực này nó chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học. Trong các lĩnh vực thì những kiến thức không thể thiếu được đó là các hằng đẳng thức . Các hằng đẳng thức được xem như là những công cụ chính để giải các bài toán ở trong đại số. 
Là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán sau một vài năm tôi đã đúc rút ra được một
kinh nghiêm nhỏ đó là: ’’Khai thác biến đổi hai hằng đẳng thức quen thuộc vào làm một số bài toán trong trường T.H.C.S’' xin được trao đổi cùng bạn đọc qua bài viết này.
II: Giải quyết vấn đề
 Đối với hằng đẳng thức đã được nghiên cứu trong chương trình toán 8. Nhưng bài viết này tôi xin đề cập tới hai hằng đẳng thức được rút ra từ các bài tập ở trong sách giáo khoa và sách bài tập toán lớp 8 tập 1 để biến đổi thành các hằng đẳng thức quen thuộc đó là:
1.Loại 1: Bình phương của một tổng ba số ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
Ta đi chứng minh hằng đẳng thức trên
Cách 1: Sử dung hằng đẳng thức cơ bản ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 
Khi đó ( a + b + c)2 = ( a + b )2 +2(a + b )c + c2 = a2 + b2 +2ab + 2ac +2bc +c2= a2 + b2 +c2 +2ab +2ac + 2bc
Cách 2: Sử dụng qui tắc nhân đa thức cho đa thức 
( a + b + c )2 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = aa + ab + ac + ab + bb + bc + ca + cb + cc = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
Bây giờ ta khai thác , biến đổi và ứng dụng hằng đẳng thức trên . Nếu ta thay a = , b = , c = khi đó hằng đẳng thức sẻ là ( + + )2 = + + +
+ 2 ( x + y + z ) ( + + ) (*)
Nếu bây giờ ta thêm điều kiện cho (*) là x + y + z = 0 thì kết quả của nó sẻ là 
( + + )2 = + + hay + + = + + ** vận dụng ** ta làm một số bài toán sau 
 Bài toán 1: Hãy chứng minh 
 = (1)
Trước hết để chứng minh được bài toán này theo cách vận dụng kết quả của * thì chúng ta cần phải kiểm tra điều kiện là x+y+z =0 . Để kiểm tra được điều kiện đó với bài toán này ta cần biến đổi ( a + b )2 = [ -( a + b )]2 thì khi đó a + b +[ -( a + b )] = 0
Khi đó bài toán đã được áp dụng ** = = =>đpcm
Bài toán 2: Giải phương trình 
(2)
Việc giải phương trình trên theo cách qui đồng khử mẫu thì sẽ rất khó khăn cho học sinh cũng như người giải , nếu như chúng ta sử dụng kết quả của đẳng thức (** ) thì bài toán trở nên dễ dàng hơn . ở đây nếu áp dụng ** trước hết chúng ta phải kiểm tra điều kiện của nó . Để thoả mãn điều kiện đó ở bài toán này cần biến đổi như sau:
(3) và khi đó ta có 
1-2x+3x+1+[=1-2x+3x+1-x-2=0 thoả mãn điều kiện ** . 
Phương trình (3) ú = =0 (4)
Đến đây giải phương trình (4) thì sẽ đơn giãn hơn rất nhiều
 Bài toán 3: Cho m , n , p là các số hữu tỉ đôi một khác nhau . Chứng minh rằng:
 A = là số hữu tỉ
Nếu chúng ta sử dụng các phép bến đổi thông thường ở biểu thức A thì liệu có giải quyết được yêu cầu của bài toán không ?
Còn nếu chúng ta sử dụng kết quả của hằng đẳng thức * thì bài toán trở nên đơn giãn và dễ giải hơn rất nhiều 
Như vậy theo ** ta có : A = = / / . 
 Do m , n , p là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên / / là các số hữu tỉ. Vậy A là hữu tỉ . =>đpcm . áp dụng được kết quả * (vì m-n + n-p +p-m = 0)
Bài toán 4: Tính tổng của biểu thức
S = 
(Toán tuổi thơ 2 số 15 tháng 5 năm 2004 phần thi giải toán qua thư )
 Để tính được tổng của bài toán trên theo cách sử dụng kết quả của hằng đẳng thức * thì phải tìm được điều kiện là x+y+z =0 . 
Tổng S trên có dạng tổng quát với n = 1,2004 
Nhận xét: có 1+ (n-1) + (-n)= 0 . Nên thay 
 = = / / =// 
 Khi đó = 1+
 =1+
	 ..
	 =1+
 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có
 S = = 
 1++ 1+++1+= 2004.1+ = 1002,24975
Như vậy bài toán trên có dạng tổng quát :
 Sn = = 
 2. Loại 2 Hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) 3 – 3(a+b) ( a + b + c ) - 3ab( a + b )(I) Ta sẻ đi chứng minh hằng đẳng thức trên 
a3 + b3 + c3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b ) + c3 = 
( a + b + c ) 3 - 3c( a + b)( a + b + c ) - 3ab( a + b ) =>đpcm 
Bây giờ ta khai thác hằng đẳng thức trên bằng cách cho a + b + c = 0 . Khi đó kết quả của hằng đẳng thức (I) ú a3 + b3 + c3 = 3abc (vì khi đó ta thay a + b = - c vào (I) thì được ngay kết quả này)
 Ta có hệ quả: nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0
Vận dụng kết quả và hệ quả của hằng đẳng thức (I) cho một số bài toán sau :
Bài toán 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
( a – b )3 + ( c – a )3 + ( b – c ) 3 
 Bài giải 
 Nhận xét : ( a – b ) + ( c – a ) + ( b – c ) = 0 .
 Ta đặt x = a – b , y = c – a , z = b – c suy ra x + y + z = a – b + c – a + b – c = 0 . Vậy theo kết quả của hằng đẳng thức (I) ta có x3 + y3 +z3 = 3xyz 
Khi đó ( a – b )3 + ( c – a )3 + ( b – c ) 3 = x3 +y3 + z3 = 3xyz hay 
 ( a – b )3 + ( c – a )3 + ( b – c ) 3 = 3( a – b ) ( c – a ) ( b – c )
Bài toán 2: Giải phương trình 
8( x +1 )3 + ( x – 1 )3 = ( 3x + 1 )3 (1)
Bài giải : 
Phương trình (1) ú [2 ( x + 1)]3 + ( x – 1 )3 +[- ( 3x + 1)]3 = 0 .Ta nhận thấy 
2 ( x + 1) + ( x – 1 ) +[- ( 3x + 1)] = 2x +2 + x - 1 – 3x – 1 = 0
Nên áp dụng kết quả hằng đẳng thức (I) cho phương trình (1) ta có
[2 ( x + 1)]3 + ( x – 1 )3 +[- ( 3x + 1)]3 = 3(2x +2)( x – 1)( – 3x – 1 ) = 0 
 ú2x + 2 = 0 hoặc x – 1 = 0 hoặc – 3x – 1 = 0
 ú x = -1 hoặc x = 1 hoặc x = - 
 Vậy phương trình có nghiêm là x=-1 , x = - và x=1
 Bài toán 3: Chứng minh 2(x5 +y5 +z5 ) = 5xyz( x2 + y2 + z2 ) với x+y+z=0
 Bài giải : 
 Từ x+y+z=0 ta áp dụng kết quả của (I) ta có 
 	x3+y3+z3 = 3xyz ú( x3+y3+z3) ( x2 + y2 + z2 ) = 3xyz( x2 + y2 + z2 )
 	 úx5 +y5 +z5 +x2y2( x +y) + y2z2(y+z) +x2z2(x+z) = 3xyz( x2 + y2 + z2 )
	úx5 +y5 +z5 – xyz(xy+yz+xz) = 3xyz( x2 + y2 + z2 ) *
 mà x+y+z=0 ú x2 + y2 + z2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 ú x2 + y2 + z2 = - 2(xy+yz+zx)
 	ú xy+yz+zx **
Thay ** vào * ta được x5 +y5 +z5 – xyz( = 3xyz( x2 + y2 + z2 )
	2(x5 +y5 +z5 ) + xyz (x2 + y2 + z2)= 6xyz( x2 + y2 + z2 )
	2(x5 +y5 +z5 ) = 5xyz( x2 + y2 + z2 ) =>đpcm 
Bài toán 4: Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy hãy tìm quĩ tích những điểm A(x;y) sao cho x3 – y3 = 3xy +1
Đây là một dạng toán khó nếu ta không sử dụng kết quả của hằng đẳng thức (I) thì khó tìm được lời giải đối với học sinh THCS 
Bây giờ nếu ta áp dụng hệ quả của hằng đẳng thức (I) cho bài toán nay thì rất dễ có lời giải cho bài toán .
 Thật vậy từ giả thiết x3 – y3 = 3xy +1ta có
x3 + (– y3 ) +(-1) = 3xy . Đẳng thức này xẩy ra khi x + (-y) + ( -1) = 0 ú y = x-1
vậy quĩ tích của những điểm A(x;y) thoả mãn điều kiện x3 – y3 = 3xy +1
là một đường thẳng có phương trình y = x-1
	3. Bài Tập đề nghị
Bài1: cho Sn = trong đó có n chữ số 9
Chứng minh với mọi n thuộc vào số nguyên dương thì Sn là số hữu tỉ
 b) Viết số S2000 dưới dạng số thập phân
 Bài 2: Giải phương trình
 a) 
 b) 
 Bài 3 : Cho x ; y ; z đôi một thoã mãn 
 (x-y) +(z-x) +(y-z) = 0 .
 Chứng minh (1-x3) (1-y3) (1-z3) = (1-xyz)3 
 Bài 4: Cho a ; b ; c là các số thực khác 0 sao cho a3b3 + c3b3 + a3c3 = 3a2b2c2 Tính giá trị của biểu thức sau: A = (1+ ) + (1+ ) (1+ )
 Bài 5: Giải phương trình 
 a) 8(x+1)3 + (2x+1)3 = (3- 4x)3 
	b)	 (x-2)3 +(2x-1)3 = 27(x+1)3
 Bài 6: Chứng minh rằng nếu xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1 ;2; 3
 thì nó cũng đúng với mọi số tự nhiên n 
	 Bài 7: Tổng các số nguyên : a1+a2+a3+a3+...+an. chia hết cho 3. 
 Chứng minh: A= a13+a23+a33+a43+......+an3 cũng chia hết cho 3
	 Bài 8: Cho : x+y+z =0. Chứng minh : x3+y3+z3=3xyz
 III . Kết luận và kiến nghị
 1 . Kết quả đạt được : Sau một thời gian ngắn thực hiện, bồi dưỡng học sinh .Tôi nhận
	Thấy kết quả áp dụng của học sinh vào bài tập rất khả quan
2 . Kết luận: 
Sau một vài năm công tác giảng dạy bộ môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã đưa kinh nghiệm nhỏ này vào giải quyết các bài toán cho học sinh .Ban đầu một số em còn lúng túng và quên điều kiện của bài toán a+b+c = 0 đồng thời chưa biết biến đổi linh hoạt bài toán để đưa về bài toán có điều kiện thoã mãn a+b+c = 0 . Nhưng sau một vài lần thì học sinh đã thực hiện thành thạo , biết vận dụng tốt hai hằng đẳng thức đó vào giải một số bài toán khó hơn và biết đề xuất một số bài toán mới hoặc tương tự. 
Trong quá trình thực hiện đề tài này với sự tìm tòi ,đúc rút kinh nghiệm trong học , làm và dạy toán của bản thân cũng như được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp . Nhưng do thời gian và năng lực còn có mặt hạn chế nên đề tài không thể tránh khỏi thiếu sót .Vì vậy rất mong được sự góp ý chân thành của quí cơ quan để sao cho đề tài này được hoàn thiện hơn và được đi vào thực tiễn giãng dạy nhiều hơn .
 3 . Kiến nghị :Mong được sự quan tâm của quí vị và sớm được vận dụng đề tài này vào 
 Các cuộc thi khảo sát cũng như thi học sinh giỏi của ngành 
 Xin chân thành cảm ơn và mong được góp ý