Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên

Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Kiến thức cơ bản
Nắm được tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên
Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập
Phương pháp chung
I. Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ẻ N hoặc n ẻ Z)
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m. Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
	Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
A = n3(n2 - 7)2 - 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Phân tích ra thừa số: 5040 = 24.32.5.7
Ta có:
A 	= n[n2(n2 - 7)2 - 36]
	= n[(n3 - 7n)2 - 62]
	= n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6)
Ta lại có:
n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây chính là tích của bảy số nguyên liên tiếp. Trong bảy số nguyên liên tiếp
Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5
Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9
Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040
áp dụng:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a2 - a chia hết cho 2
a3 - a chia hết cho 3
a5 - a chia hết cho 5
a7 - a chia hết cho 7
Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại các số là bội của 2, 3, 5, 7
Ví dụ 2: Số chính phương
Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
Chứng minh rằng một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
Giải:
Gọi A là số chính phương A = n2 (n ẻ N)
a) Xét các trường hợp:
n = 3k (k ẻN) ị A = 9k2 chia hết cho 3
n = 3k ± 1 (kẻ N) ị A = 9k2 ± 6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chi cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trường hợp
n = 2k (k ẻN) ) ị A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k + 1 (kẻ N) ị A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy số chính phương chi cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1
áp dụng:
Trong các số sau có số nào là số chính phương không?
M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
Lưu ý: Các hằng đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết của một luỹ thừa.
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 +....+ a.bn-2 + bn-1) với n ẻ N*
an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - .... - a.bn-2 + bn-1) với mọi n lẻ Công thức Niu-tơn
(a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + ... + cn-1abn-1 + bn
Các hệ số ci được xác định bởi tam giác Pa-xcan
áp dụng vào tính chất chia hết ta có:
 an - bn Chia hết cho a - b (a ạ b) 
a2n+1 + b2n+1 Chia hết cho a + b (a ạ - b) 
(a + b)n = BS a + bn (BS a là bội số của a)
Ví dụ:
Bài tập áp dụng:
1/ Cho A = 11100 -1
Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n - 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn
3/ Chứng minh rằng với n ẻ N:
11n+1 + 122n+1 chia hết cho 133
34n+2 + 2.43n+1 chia hết cho 17
3.52n+1 + 23n+1 chia hết cho 17
II. Tìm số dư
Ví dụ: Tìm số dư khi chia 2100
Cho 9
Cho 25
Cho 125
Giải:
Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1
Ta có: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Số dư khi chia 2100 cho 9 là 7
Luỹ thừa của 2 sát với một bội số của 25 là 210 = 1024 = BS 25 - 1
Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1
Vậy số dư khi chia 2100 cho 25 là 1
Dùng công thức Niu-tơn:
2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + ... + .52 - 50.5 + 1
Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa luỹ thừa của 5 với số mũ lớn hơn 3 nên chia hết cho 125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng cuối cùng là 1
Vậy số dư khi chia 2100 cho 125 là 1
Bài tập áp dụng:
a) Tìm số dư của phép chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4
b) Chứng minh rằng:
52n + 5n + 1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3
III. Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một số 
Phương pháp:
Xét số tự nhiên A = nk với n, k ẻ N
Cách 1:
Muốn tìm chữ số cuối cùng của A ta chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b = 
Thì b là chữ số cuối cùng của A
Ta viết A = nk = (10q + r)k = 10t + rk
Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của rk
Nếu A = 100b + = thì là hai chữ số cuối cùng của A
...............
Cách 2:
	Khi lấy k lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn. Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp nào với giá trị k đã cho
Cách 3: Dùng phép chia có dư
Ví dụ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Ba chữ số tập cùng của 2100 là số dư của phép chia 2100 cho 1000
Theo ví dụ trên ta có 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tân cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Mà 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó cũng phải chia hết cho 8. Trong bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện
Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376
Bài tập:
Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân.
Tìm chữ số hàng đơn vị của số 171983 + 111983 - 71983
Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m100 trong đó m là một số tự nhiên khác 0
IV. Tìm điều kiện chia hết
Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
A = n3 + 2n2 - 3n + 2
B = n2 - n
Biến đổi
n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 - n)(n + 3) + 2
Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n hay n(n - 1) do đó 2 phải chia hết cho n
n
1
-1
2
-2
n-1
0
-2
1
-3
n(n - 1)
0
2
2
6
Loại
Loại
Vậy n = -1 ; n = 2
Bài tập:
Tìm số nguyên dương n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Tìm số tự nhiên n sao cho 
2n - 1 chia hết cho 7
2n - 1 chia hết cho 7
n2 - 3n + 6 chia hết cho 5
n3 - n + 1 Chia hết cho 7
2.3n + 3 chia hết cho 11
10n - 1 chia hết cho 81
10n - 1 chia hết cho 11
10n -1 chia hết cho 121
V. Tính chia hết đối với đa thức
Tìm số dư của phép chia mà không thực hiện phép chia
Phương pháp:
* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số
Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý:
an - bn Chia hết cho a - b (a ạ b) 
a2n+1 + b2n+1 Chia hết cho a + b (a ạ - b) 
Ví dụ 1: 
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho x - 1
Giải:
Gọi f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an
Theo giả thiết: a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0
Số dư của phép chia f(x) cho x - 1 là
r = f(1) = a0 + a1 + .... + an-1 + an = 0
Vậy f(x) chia hết cho x - 1
Ví dụ 2: 
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) chia hết cho x + 1
Tìm thương và số dư của phép chia các đa thức
Phương pháp: 
- Đặt phép chia
- Dùng sơ đồ Hoóc-ne
Đa thức bị chia
Đa thức chia là x - a thương là số dư r
Với
b0 = a0
b1 = a.b0 + a1
b2 = a.b1 + a2
..................
bn-1 = a.bn-2 + an-1
r = abn-1 + an
3. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức
Phương pháp:
* Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là đa thức chia
Ví dụ 1: 
Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi một số tự nhiên n.
Giải:
x8n + x4n + 1 	= x8n + 2x4n + 1 - x4n
	= (x4n + 1)2 - (x2n)2
	= (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1)
x4n + x2n +1	= x4n + 2x2n +1- x2n
	= (x2n + 1)2 - (xn)2
	= (x2n + xn +1) (x2n - xn +1)
Vậy x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1
* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Ví dụ 2: 
Chứng minh rằng x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n
Giải:
x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 + 1 - x2 + x2 + x + 1
	= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + 1
Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1
Do đó x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x2 + x + 1
Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
* Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh f(x) chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc 
f(x) - g(x) chia hết cho g(x)
Ví dụ 3: 
Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x)
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1
g(x) = x9 + x8 + x7 + .... + x + 1
Giải:
f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 +... + x11 - x 
	= x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + ... + x(x10 - 1)
Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10 - 1, mà x10 - 1 chia hết cho g(x)
Vậy f(x) chia hết cho g(x)
* Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
Ví dụ: 
Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chứng ming rằng f(x) chia hết cho x2 - x
Giải: 
Đa thức x2 - x có hai nghiệm là x = 0 và x = 1. Ta sẽ chứng minh x=0 và x = 1 cũng là nghiệm của đa thức f(x)
Chủ đề 2: Giải phương trình
A. Kiến thức cơ bản
- Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu.
	- Có kỹ năng giải phương trình một cách thành thạo
B. Nội dung
I. Phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1: 
Giải phương trình a2x + b = a(x + b)
Giải:
a2x + b = a(x + b) 
Û a2x + b = ax + ab 
Û a2x - ax = ab - b
Û ax(a - 1) = b(a - 1) (1)
Nếu a ạ 0, a ạ 1thì phương trình có nghiệm duy nhất 
Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phương trình nghiệm đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b ạ 0
Kết luận: 
Nếu a ạ 0, a ạ 1thì phương trình có nghiệm duy nhất 
Nếu a = 1 hoặc a = 0 và b = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = 0 và b ạ 0, phương trình vô nghiệm
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
II. Phương trình tích
Định nghĩa: 
Phương trình tích một ẩn là phương trình có dạng:
A(x).B(x)... = 0 (1)
Trong đó A(x), B(x), ... là các đa thức
Cách giải:
Giải từng phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, .... rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Chú ý: 
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương trình về dạng phương trình tích. Ngoài ra ta còn dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
(x + 3)3 - (x + 1)3 = 56
Giải:
(x + 3)3 - (x + 1)3 = 56
Û x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- 1 = 56
Û 6x2 + 24x -30 = 0
Û 6(x2 + 4x - 5) = 0
Û x2 - x + 5x - 5 = 0
Û x(x - 1) + 5(x - 1) = 0
Û (x - 1)(x + 5) = 0
Kết luận: S = {1; -5}
Chú ý: 
Có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x + 2 là trung bình cộng của x + 3 và x + 1)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(x -  ... thế kỉ thứ III trước công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng ngập trong nước thì trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn
	Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc (vật có khối lượng 100 gam trì trọng lượng bằng 1 niutơn)
Giải:
	Gọi trọng lượng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5). Trọng lượng vàng trong mũ là 5 - x (niutơn)
	Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm (niutơn), trọng lượng vàng giảm (niutơn)
	Ta có phương trình: 
	Giải phương trình ta được x = 1
Vậy trọng lượng bạc trong mũ là 1 niutơn. 
Chiếc mũ chứa 100 gam bạc.
Chú ý: 
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi người ta còn biểu thị những đại lượng chưa biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhưng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán.
Ví dụ 2: 
Một người đi nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường.
Giải: 
Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h). Ta biểu thị một nửa quãng đường AB là a km (a > 0).
Thời gian người đó đi nửa đầu quãng đường là giờ, thời gian người đó đi nửa sau quãng đường là giờ,
	Ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được x = 24
Vậy vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường là 24km/h.
Bài tập:
1) Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ 15 phút lại gặp một xe buýt đi cùng chiều vượt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy ngược lại. Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đường (trên chiều từ A đến B cũng như chiều ngược lại). Hỏi cứ sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lượt rời bến?
2) Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau.
	Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó?
Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức
Mục tiêu
Học sinh nắm được các tính chất của bất đẳng thức, nắm được các hằng bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Biết chứng minh bất đẳng thức một cách thành thạo.
Kiến thức cơ bản
Các tính chất của bất đẳng thức
- Tính bắc cầu: 	a > b ; b > c ị a > c
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
	a > b ị a + c ị b + c
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:
	a > b ; c > 0 ị ac > bc
	a > b ; c < 0 ị ac < bc
- Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều,
	a > b ; c > d ị a + c > b + d
- Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:
	a > b ; c b – d
- Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
	a > b ³ 0 ; c > d ³ 0 ị ac > bd
- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
	a > b > 0 ị an > bn 
	a > b Û an > bn với n lẻ
	 Û an > bn với n chẵn
- So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ dương:
Nếu m > n > 0 thì: 	a > 1 ị am > an
	a = 1 ị am = an
	0 < a < 1 ị am < an
- Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
	a > b , ab > 0 ị 
Các hằng bất đẳng thức:
	1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a2 ³ 0 ; -a2 Ê 0, cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
	 Xẩy ra đẳng thức khi a = 0
	 Xẩy ra đẳng thức khi a ³ 0
	 Xẩy ra đẳng thức khi ab ³ 0
 Xẩy ra đẳng thức khi ab > 0 và 
2. Một số hằng bất đẳng thức khác có thể sử dụng như một bổ đề để giải toán.
a2 + b2 ³ 2ab;
 Hay (a + b)2 ³ 4ab (bất đẳng thức Cô-si);
 với a, b > 0
 với a, b > 0
(a2 + b2)(x2 + y2) ³ (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
Dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
	(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ³ -1
Giải: Xét hiệu
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) + 1
Đặt x2 - 5x + 5 = y ta được
(y - 1)(y + 1) + 1 = y2 ³ 0
Vậy 	(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ³ -1
Dùng phép biến đổi tương đương
Ví dụ 2: 
Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng: (1)
Ta có: 
Û ab + a + b + 1 ³ 9ab 	(vì ab > 0)
Û a + b + 1 ³ 8ab 	(vì a + b = 1)
Û 2 ³ 8ab
Û 1 ³ 4ab
Û (a + b)2 ³ 4ab	(vì a + b = 1)
Û (a - b)2 ³ 0	luôn đúng
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b
Dùng các tính chất của bất đẳng thức
Ví dụ 3: 
Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: 
Giải: Ta có
	a + b + 1 > 0 	(1)
Bình phương hai vế:
	(a + b)2 > 1ị a2 + 2ab + b2 > 1 	(2)
Mặt khác
	(a - b)2 ³ 0 ị a2 - 2ab + b2 ³ 0	(3)
Cộng từng vế (2) và (3)
	2(a2 + b2) > 1 ị a2 + b2 > 	(4)
Bình phương hai vế của (4)
	a4 + 2a2b2 + b4 > 	(5)
Mặt khác
	(a2 - b2)2 ³ 0 ị a4 - 2a2b2 + b4 ³ 0	(6)
Cộng từng vế (5) và (6)
	2(a4 + b4) > ị a4 + b4 > 
Dùng phương pháp phản chứng
Ví dụ 4: 
Cho a2 + b2 Ê 2. Chứng minh rằng: a + b Ê 2
Giải: 
Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế ta được:
	a2 + 2ab + b2 > 4 	(1)
Mặt khác ta có: 
	(a - b)2 ³ 0 ị 2ab Ê a2 + b2 ị a2 + 2ab + b2 Ê 2(a2 + b2)
Mà 2(a2 + b2) Ê 4 (giả thiết), do đó 
	a2 + 2ab + b2 Ê 4	Mâu thuẫn với (1)
Vậy a + b Ê 2
Bài tập áp dụng: 
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số dương:
a) 
b) 
3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
	a) 
Gợi ý: 
áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0
	b) 
	c) 
4) Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng
5) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì
a) 
b) 
c) 
Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Mục tiêu
Học sinh nắm được thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Các khái niệm cơ bản
Cho biểu thức f(x,y,...)
Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y,...) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì 
f(x,y,...) Ê M (M là hằng số) 	(1)
Tồn tại x0 , y0 .... sao cho
f(x0, y0, ....) = M	(2)
Cho biểu thức f(x,y,...)
Ta nói M là GTNN của biểu thức f(x,y,...) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
Với mọi x, y,... để f(x,y,...) xác định thì 	(1’)
f(x,y,...) ³ m (m là hằng số)
Tồn tại x0 , y0 .... sao cho
f(x0, y0, ....) = m	(2’)
	Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) và (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức
	Chẳng hạn ta xét biểu thức	
	A = (x - 1)2 + (x - 3)2
	Mặc dù A ³ 0 nhưng chưa thể kết luận GTNN của A = 0 vì không tồ tại giá trị nào của x để A = 0
Nội dung
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa một biến
Tam thức bậc hai
Ví dụ 1: 
Tìm GTNN của A = 2x2 - 8x + 1
Tìm GTLN của B = -5x2 - 4x + 1
Giải:
A = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ³ -7
Min A = -7 khi và chỉ khi x = 2
B = -5x2 - 4x + 1 = 
Max B = khi và chỉ khi x = 
áp dụng: 
Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Tìm GTLN của P nếu a < 0
Đa thức bậc cao hơn hai
Ví dụ 2: 
Tìm GTNN của 	A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)
Giải: 
Ta có: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12)
Đặt x2 - 7x + 6 = y thì
	A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ³ -36
Vậy Min A = -36 Û x2 - 7x + 6 = 0 Û x1 = 1; x2 = 6
Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai
Ví dụ 3: 
Tìm GTNN của 
Giải:
Ta thấy (3x - 1)2 ³ 0 nên (3x - 1)2 + 4 ³ 4
Do đó ị 
ị 
Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
Ví du 4: 
Tìm GTNN của
Giải:
Ta có:
Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến
Ví dụ 1: 
Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
Giải: 
Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:
A 	= (x + y)(x2 - xy + y2) + xy
	= x2 - xy + y2 + xy
	= x2 + y2
Đến đay có nhiều cách giải:
Cách 1: 
Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x:
Thay y = x - 1vào biểu thức A ta được
Min A = khi và chỉ khi x = , y = 
Cách 2: 
Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A:
Bài tập:
1) Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2
b) Tìm GTLN của B = xz + yz + zx
c) Tìm GTNN của A + B
2) Tìm GTNN của các biểu thức
A = (x + 8)4 + (x + 5)4 
B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5)
3) Tìm GTNN, GTLN của
4) Tìm GTNN của
 với a, b > 0
 với a, b, c > 0
 với a, b, c, d > 0
Chủ đề 5: Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học
Mục tiêu
Sử dụng các công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng để chứng minh hình học
Có kỹ năng sử dụng các công thức tính diện tích để chứng minh hình học
 Sử dụng các công thức tính diện tích để chứng minh hình học.
Ví dụ 1: 
Cho tam giác đều ABC.
Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao tam giác.
Quan hệ trên thay đổi như thế nào nếu điểm M thuộc miền ngoài tam giác
Giải:
	 Gọi a và h là cạnh và chiều cao của tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB
Nếu M thuộc miền trong rABC thì
SMBC + SMAC + SMAB = SABC
Nếu M thuộc miền ngoài rABC và thuộc miền trong góc A 
(miền 2) thì:
SMAC + SMAB - SMBC = SABC
Tương tự: 
Nếu M thuộc miền ngoài rABC và thuộc miền trong góc B (miền 3) thì: 
Nếu M thuộc miền ngoài rABC và thuộc miền trong góc C (miền 4) thì: 
Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì:
Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì:
Nếu M thuộc miền trong góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì:
Bài tập:
1) Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF, CE. Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC
Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác của góc AIC , ta vẽ DH ^ AF, DK ^ IC, rồi chứng minh DH = DK. Hai đoạn thẳng này là các đường cao của rAFD và rCED có cạnh đáy tương ứng là AF và CE, do đo chỉ cần chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD)
2) Cho rABC có , D là điểm nằm giữa A và C. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn hơn đường cao kẻ từ A và nhỏ hơn đường cao kẻ từ C của rABC
Gợi ý: Gọi AH, CK là các đường cao của rABC. Kẻ AE và CF vuông góc với BD. Ta cần chứng tỏ AH < AE + CF < CK
Cần biểu diễn các đoạn thằng AE, CF, AH, CK theo diện tích rABC