Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

CHUYấN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
PHẦNN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1-Đinh nghĩa
2.Cỏc tớnh chất bất đẳng thức:
1.
6.
2.
7.
 n chẵn
3.
8.
 n chẵn
4.
9.
5.
10.
3.Một số hằng bất đẳng thức
1.
A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
4.
 ( dấu = xảy ra khi A.B 0)
2.
 với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
3.
 < A = 
5.
 ( dấu = xảy ra khi A.B 0)
4.Bất đẳng thức Cụ-si:
 *ĐL:Trung bỡnh cộng của n số khụng õm lớn hơn hoắc bằng trung bỡnh nhõn của n số đú.
 ,( khụng õm ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
 *Dạng đơn giản: .
3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kỡ , ta cú:
Dấu “=” xảy ra khi .
*Dạng đơn giản; .
*Biến dạng:
4.Một số bất đẳng thức được ỏp dụng:
1.
10
2.
11
3.
;
12
4.
13
5.
;
14
6
 hay 
15
7
;
16
8
17
9
18
PHẦN II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN.
PHƯƠNG PHÁP 1 : DÙNG ĐỊNH NGHĨA
KIẾN THỨC : Để chứng minh A > B 
 Ta chứng minh A - B > 0
 Lưu ý dựng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 VÍ DỤ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Lấi giải: a) Ta xột hiệu x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =
=đỳng với mọi x;y;z Vỡ (x-y)2 0 với"x ; y do đú dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y, dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy x + y + z xy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xột hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đỳng với mọi x;y;z. Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đỳng với mọi x;y;z .Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xột hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
VÍ DỤ 2: chứng minh rằng : a) ; b) 
c) Hóy tổng quỏt bài toỏn
Lấi giải: a) Ta xột hiệu: == 
 =. Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b) Ta xột hiệu: =Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c) Tổng quỏt 
 Túm lại cỏc bước để chứng minh AB tho định nghĩa
 Bước 1: Ta xột hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H= (C + D )hoặc H= (C + D )+.+ ( E + F )
 Bước 3:Kết luận A ³ B
VÍ DỤ Chứng minh "m,n,p,q ta đều cú 
 m+ n+ p+ q+1 ³ m ( n + p + q + 1 )
 Lấi giải:
 (luụn đỳng)
Dấu bằng xảy ra khi 
PHƯƠNG PHÁP 2 : DÙNG PHẫP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
LƯU í: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đỳng hoặc bất đẳng thức đó được chứng minh là đỳng.
 Chỳ ý cỏc hằng đẳng thức sau:
VÍ DỤ 1: Cho a, b, c, d, e là cỏc số thực chứng minh rằng:
 a) 
 b)
 c)
 Lấi giải: a) (bất đẳng thức này luụn đỳng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2 a = b )
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đỳng. Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.
 c) 
 Bất đẳng thức đỳng vậy ta cú điều phải chứng minh
VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng: 
 Lấi giải: 
 a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 ) 0 a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thức cuối đỳng vậy ta cú điều phải chứng minh. 
VÍ DỤ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh .
Lấi giải: vỡ :xy nờn x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vỡ x.y=1 nờn 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luụn luụn đỳng . Vậy ta cú điều phải chứng minh
VÍ DỤ 4:
 1) CM: P(x,y)= 
 2) CM: (Gợi ý :bỡnh PHƯƠNG 2 vế) 
 3) choba số thực khỏc khụng x, y, z thỏa món:
 Chứng minh rằng :cú đỳng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 Lấi giải: 
 Xột (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vỡ< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 õm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trưấng hợp sau xảy ra thỡ x, y, z >1 x.y.z>1 Mõu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trưấng hợp trờn tức là cú đỳng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC
* MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG
 1) Cỏc bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu ( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d) 
 2)Bất đẳng thức Cụ sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
 4) Bất đẳng thức Trờ- bư-sộp:
 Nếu 
 Nếu Dấu bằng xảy ra khi
 VÍ DỤ 1 Cho a, b ,c là cỏc số khụng õm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 a b c
 Lấi giải:
 Cỏch 1:Dựng bất đẳng thức phụ: Tacú ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
VÍ DỤ 2 1)Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 
 2)Cho x, y,z > 0 và x +y + z = 1 CMR: x + 2y + z 
 3)Cho a > 0 , b > 0, c> 0 CMR: 
 4)Cho x,y thỏa món ;CMR: x +y 	 
VÍ DỤ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng 
 Lấi giải: 
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
ỏp dụng BĐT Trờ- bư-sộp ta cú
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
VÍ DỤ 4: 
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Lấi giải:
Ta cú ; ; do abcd =1 nờn cd = (dựng )
 Ta cú (1) 
Mặt khỏc: =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad )
 =Vậy
VÍ DỤ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Lấi giải: Dựng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Ta cú ac+bd
mà 
VÍ DỤ 6: Chứng minh rằng 
Lấi giải: Dựng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cỏch 1: Xột cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta cú 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẮC CẦU
LƯU í: A>B và B>C thỡ A>C
 0< x <1 thỡ x<x
VÍ DỤ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa món a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacú 
 ( a – c ) ( b – d ) > cd
 ab – ad – bc + cd > cd
 ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
VÍ DỤ 2:
 Cho a,b,c > 0 thỏa món 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta cú :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta cú 
VÍ DỤ 3
 Cho 0 1- a – b – c - d	
 Giải:
 Ta cú (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nờn ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta cú (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
VÍ DỤ 4
1- Cho 0 < a, b, c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a 0 1+ > + b
 mà 0 , > ; Từ (1) và (2) 1+> + ; Vậy + < 1+
 Tương tự +
 +Ê 
 Cộng cỏc bất đẳng thức ta cú :
 b)Chứng minh rằng : Nếu thỡ ỗac+bd ờ=1998
 Giải:
Ta cú (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rỏ ràng (ac+bd)2 
 2-Bài tập : 1, Cho cỏc số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa món : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1
 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyờn nga phỏp 2003- 2004Thanh húa )
 2,Cho a;b;c thỏa món :a + b + c = 1 (?)
Chứng minh rằng: (
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤTCỦA TỶ SỐ
KIẾN THỨC
 1) Cho a, b ,c là cỏc số dương thỡ
 a – Nếu thỡ b – Nếu thỡ 
 2)Nếu b,d >0 thỡ từ 
`
 VÍ DỤ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tớnh chất của tỉ lệ thức ta cú
 (1) Mặt khỏc : (2)
 Từ (1) và (2) ta cú 
 < < (3)
 Tương tự ta cú (4) (5)
 (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta cú điều phải chứng minh
VÍ DỤ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < Vậy <điều phải chứng minh
VÍ DỤ 3 : Cho a;b;c;d là cỏc số nguyờn dương thỏa món : a+b = c+d =1000, tỡm giỏ trị lớn nhất của
GIẢI : Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả sử : Từ : vỡ a+b = c+d 
a, Nếu :b thỡ 999
b, Nếu: b=998 thỡ a=1 =Đạt giỏ trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giỏ trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁPLÀM TRỘI
LƯU í: 
 Dựng cỏc tớnh bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tớnh được tổng hữu hạn hoặc tớch hữu hạn.
 (*) PHƯƠNG phỏp chung để tớnh tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quỏt u về hiệu của hai số hạng liờn tiếp nhau:
 Khi đú :
 S = 
 (*) PHƯƠNG phỏp chung về tớnh tớch hữu hạn
 P = 
 Biến đổi cỏc số hạng về thương của hai số hạng liờn tiếp nhau:
 = Khi đú P = 
 VÍ DỤ 1 :
 Với mọi số tự nhiờn n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta cú với k = 1,2,3,,n-1
 Do đú: 
 VÍ DỤ 2 :
 Chứng minh rằng: Với n là số nguyờn
 Giải : Ta cú Khi cho k chạy từ 1 đến n ta cú
 1 > 2
 Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú
 VÍ DỤ 3 : Chứng minh rằng 
 Giải: Ta cú 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta cú
 Vậy 
 PHƯƠNG PHÁP 7: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LƯU í: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giỏc thỡ : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
VÍ DỤ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giỏc chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vỡ a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giỏc nờn ta cú
 ị 
 Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta cú a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhõn vế cỏc bất đẳng thức ta được
VÍ DỤ2:
 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giỏc
 Chứng minh rằng 
 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giỏc cú chu vi bằng 2
 Chứng minh rằng 
 PHƯƠNG PHÁP 8: ĐỔI BIẾN SỐ
VÍ DỤ1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cú a= ; b = ; c =
ta cú (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cựng đỳng vỡ ( ; nờn ta cú điều phải chứng minh
 VÍ DỤ2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c < 1
 Chứng minh rằng (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = Ta cú 
 (1) Với x+y+z Theo bất đẳng thức Cụsi ta cú
 3. ; 3. .; Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
VÍ DỤ3: Cho x , y thỏa món CMR 
 Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tớnh S min
 Bài tập 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 
 2)Tổng quỏt m, n, p, q, a, b >0 
 CMR 
PHƯƠNG PHÁP 9: DÙNG TAM THỨC BẬC HAI
LƯU í : Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thỡ 
 Nếu thỡ 
 Nếu thỡ với hoặc ()
 với 
VÍ DỤ1: Chứng minh rằng (1)
 Giải: Ta cú (1) 
 Vậy với mọi x, y
VÍ DỤ2: Chứng minh rằng 
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 Ta cú Vỡ a = vậy (đpcm)
 PHƯƠNG PHÁP 10: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
KIẾN THỨC: Để chứng minh bất đẳng thức đỳng với ta thực hiện cỏc bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đỳng với 
 2 - Giả sử BĐT đỳng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đỳng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dựng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đỳng với mọi 
VÍ DỤ1:Chứng minh rằng (1)
 Giải :Với n =2 ta cú (đỳng)
 Vậy BĐT (1) đỳng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đỳng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đỳng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thỡ
 (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 k2+2k<k2+2k+1 Điều này đỳng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
VÍ DỤ2: Cho và a+b> 0 Chứng minh rằng (1)
Giải
 Ta thấy BĐT (1) đỳng với n=1
 Giả sử BĐT (1) đỳng với n=k ta phải chứng minh BĐT đỳng với n=k+1
 Thật vậy với n = k+1 ta cú 
 (1) (2)
 Vế trỏi (2) 
 (3)
 Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 Vậy BĐT (3)luụn đỳng ta cú (đpcm)
PHƯƠNG PHÁP 11: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
 LƯU í:
 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đú đỳng , ta hóy giả sử bất đẳng thức đú sai và kết hợp với cỏc giả thiế ... phộp toỏn mệnh đề cho ta :
 Như vậy để phủ định luận đề ta ghộp tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nú .
 Ta thưấng dựng 5 hỡnh thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dựng mệnh đề phản đảo : 
 B – Phủ định rụi suy trỏi giả thiết :
 C – Phủ định rồi suy trỏi với điều đỳng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trỏi ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
 VÍ DỤ 1:
 Cho ba số a,b,c thỏa món a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 Giải :
 Giả sử a 0 thỡ từ abc > 0 a 0 do đú a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0, Vỡ a 0 b + c < 0
 a 0, Vậy a > 0 tương tự ta cú b > 0 , c > 0
 VÍ DỤ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa món điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng cú ớt nhất một trong cỏc bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đỳng khi đú cộng cỏc vế ta được, (1)
 Theo giả thiết ta cú 4(b+d) 2ac (2), Từ (1) và (2) hay (vụ lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và cú ớt nhất một cỏc bất đẳng thức sai
VÍ DỤ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thỡ cú một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải :
 Ta cú (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – () vỡ xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > nờn (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ cú một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thỡ x,y,z > 1 xyz > 1 (trỏi giả thiết)
 Cũn nếu 2 trong 3 số đú dương thỡ (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vụ lý)
 Vậy cú một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
PHẦN II. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài tập 1. (Sử dụng PHƯƠNG phỏp làm trội).
Cho a,b,c là 3 số dương chứng minh rằng:
HD. *Ta luụn cú: , cộng vế vớ vế ta được;
 *Ta lại cú: tương tự ta cú: ,
Cộng vế với vế ta được: 
Bài tập 2. (Sử dụng PHƯƠNG phỏp làm trội).
Chứng minh rằng với mọi n > 1 thỡ 
HD. Với n > 1 ta cú , nờn ta cú:
Bài tập 3. (Sử dụng PHƯƠNG phỏp làm trội).
Chứng minh cỏc bất đẳng thức với n là cỏc số tự nhiờn.
a);
b) 
c) 
HD. a) 
Với n > 1 thỡ , với n = 0 thỡ . Vậy BĐT luụn đỳng với n là số tự nhiờn.
b) Với n > 1 ta cú , nờn ta cú:
;
c)Với n = 0 thỡ 1 1ta cú: , nờn ta cú:
Ta đi chứng minh ,
Vậy với n là số tự nhiờn.
Bài tập 4. (Sử dụng tớnh chất hai biểu thức cú tử thức bằng nhau BT nào cú MT lớn hơn thỡ nhỏ hơn) 
a)Cho a > b > 0 Chứng minh rằng: ;
từ đú ỏp dụng so sỏnh giỏ trị cỏc phõn thức:
b);
c) 
HD. a) vỡ và .
b)
Vỡ hai BT cú tử thức bằng nhau và .
c)Tương tự cõu a.
Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cụ Si)
Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau:
a);
b), với a,b,c dương;
c)
d)Với a, b, c là cỏc số dương ta luụn cú: ;
e) Với a, b, c là cỏc số dương ta luụn cú:.
HD. a) 
vỡ với mọi a,b,c.
b)Với a,b,c dương ỏp dung bất đẳng thức Cụ Si ta cú: .
c) 
 vỡ với mọi a,b.
d) Với a,b,c dương ỏp dung bất đẳng thức Cụ Si ta cú: 
 .
e)Đặt , ta cú ,
ta cú: 
ta cú nờn .
Bài tập 6.( Sử dụng BĐT Cụ Si)
a) Cho , Chứng minh:;
b) Cho , Chứng minh:;
c) Cho , Chứng minh: .
HD. a)Với ta cú
.
b) Với ta cú: ,
Áp dụng BĐT Cụ Si ta cú: ,nờn ta cú:
;Vậy .
c) Với , nờn ta cú: 
vỡ .
Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cụ Si)
Cho a, b, c là cỏc số khụng õm thoả món: Chứng minh:
a);
b) .
HD.a)Ta nhỡn tổng a + 1 dưới tớch 1.( a + 1 ) và ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si với x,y khụng õm ta được: 
,cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được:
b) ỏp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cụp-xki với hai bộ ba số 1 ta được:
Bài tập 8.( Sử dụng HĐT)
Cho,Chứng minh rằng: .
HD. Với , ta cú: .
vỡ .
Bài tập 9.
Cho a, b, c là cỏc số dương tuỳ ý.Chứng minh rằng:.
HD.Ta cú 
 ,tương tự ta cú: , cộng vế với vế ta được:
Bài tập 10. ( Sử dụng BĐT Cụ-Si)
Cho a, b, c là cỏc số dương.Chứng minh cỏc bất đẳng thức:
a).
b) ;
c) .
HD.
a)ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si: .Theo bất đẳng thức Cụ-si ta cú:
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy 
b)Tương tự cõu a) ta cú: 
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy .
c) Làm tương tự cõu a, b.
Bài tập 11. ( Sử dụng BĐT Cụ-Si)
Cho a, b, c là cỏc số dương.Chứng minh cỏc bất đẳng thức:
.
HD. ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si: .ta cú:
Tương tự ta cú:, cộng vế với vế ta được: 
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:, trỏi với giả thiết a,b,c là ba số dương.Vậy đẳng thức khụng xảy ra.Vậy .
Bài tập 12. ( Sử dụng BĐT Cụ-Si)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc.Chứng minh rằng:
a)
b)
c);
d);
e);
f);
g).
HD. a) * 
vỡ với mọi a,b,c.
 *
Ta cú:
Cộng vế với vế ta được:.
Bài tập 13 ( Bài tập dựng định nghĩa) 
 HD 1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
 Ta cú hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vỡ abc=1 và a3 > 36 nờn a >0 )
 Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta cú 
 c) 
 Giải :
 a) Xột hiệu H = = 
 H0 ta cú điều phải chứng minh
 b) Vế trỏi cú thể viết H = H > 0 ta cú điều phải chứng minh
 c) vế trỏi cú thể viết H = H 0 ta cú điều phải chứng minh
Bài tập 14 ( Bài tập dựng biến đổi tương đương) 
 HD. 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Ta cú (vỡ xy = 1) 
 Do đú BĐT cần chứng minh tương đương với 
 BĐT cuối đỳng nờn ta cú điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Ta cú 
 BĐT cuối này đỳng do xy > 1 .Vậy ta cú điều phải chứng minh
Bài tập 15 ( Bài tập dựng bất đẳng thức phụ ) 
HD 1) Cho a , b, c là cỏc số thực và a + b + c = 1Chứng minh rằng 
 Giải ỏp dụng BĐT BunhiaCụpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta cú 
 (vỡ a+b+c =1 ) (đpcm)
 2) Cho a,b,c là cỏc số dương : Chứng minh rằng (1)
 Giải : (1) 
 ỏp dụng BĐT phụ Với x,y > 0 Ta cú BĐT cuối cựng luụn đỳng
 Vậy (đpcm).
Bài tập 16 ( Bài tập dựng phương phỏp bắc cầu) 
HD 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 Giải Do a <1 <1 và b <1, nờn 
 hay (1) Mặt khỏc 0 <a,b <1 ; 
 Vậy 
 Tương tự ta cú (đpcm)
 2) So sỏnh 31 và 17
 Giải :Ta thấy < , Mặt khỏc 
 Vậy 31 < 17 (đpcm)
Bài tập 17 ( Bài tập dựng tớnh chất tỉ số) 
HD 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :Vỡ a ,b ,c ,d > 0 nờn ta cú:
 (1) (2)
 (3 Cộng cỏc vế của 4 bất đẳng thức trờn ta cú :
 (đpcm)
 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giỏc, Chứng minh rằng 
 Giải :Vỡ a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giỏc nờn ta cú a,b,c > 0, Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) Mặt khỏc 
 Vậy ta cú Tương tự ta cú 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trờn ta cú :
 (đpcm)
Bài tập 18 ( Bài tập ỏp dụng phương phỏp làm trội) 
HD 1) Chứng minh BĐT sau :
 a) ; b) 
 Giải : a) Ta cú 
 Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đú cộng lại ta cú
 (đpcm)
 b) Ta cú 
 < (đpcm)
Bài tập 19 ( Bài tập ỏp dụng bất đẳng thức để tỡm cực trị) 
HD DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TèM CƯC TRỊ
 LƯU í
 - Nếu f(x) A thỡ f(x) cú giỏ trị nhỏ nhất là A
 - Nếu f(x) B thỡ f(x) cú giỏ trị lớn nhất là B
 Vớ dụ 1 :
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
 Giải :Ta cú |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và (2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta cú từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T cú giỏ trị nhỏ nhất là 4 khi 
 Vớ dụ 2 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
 Giải : Vỡ x,y,z > 0 ,ỏp dụng BĐT Cụsi ta cú x+ y + z 
 ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cú 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=, Vậy S 
 Vậy S cú giỏ trị lớn nhất là khi x=y=z=
 Vớ dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1, Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 Ta cú (1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta cú 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy cú giỏ trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
 Vớ dụ 4 :Trong tam giỏc vuụng cú cựng cạnh huyền , tam giỏc vuụng nào cú diện tớch lớn nhất
 Giải : Gọi cạnh huyền của tam giỏc là 2a
 Đưấng cao thuộc cạnh huyền là h
 Hỡnh chiếu cỏc cạnh gúc vuụng lờn cạnh huyền là x 
 Ta cú S = Vỡ a khụng đổi mà x+y = 2a
 Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất 
 Vậy trong cỏc tam giỏc cú cựng cạnh huyền thỡ tam giỏc vuụng cõn cú diện tớch lớn nhất 
 Bài tập 20 ( Bài tập ỏp dụng bất đẳng thức để giải PT, HPT.
 1) Giải phương trỡnh sau 
 Giải :Ta cú 
 Vậy 
 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 Vậy khi x = -1
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = -1
Vớ dụ 2 :Giải phương trỡnh 
 Giải :ỏp dụng BĐT BunhiaCốpski ta cú :
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1 , Mặt khỏc , Dấu (=) xảy ra khi y = -
 Vậy khi x =1 và y =-, Vậy nghiệm của phương trỡnh là 
 Vớ dụ 3 :Giải hệ phương trỡnh sau: 
 Giải : ỏp dụng BĐT Cụsi ta cú 
 Vỡ x+y+z = 1, Nờn , Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
 Vậy cú nghiệm x = y = z =
 Vớ dụ 4 : Giải hệ phương trỡnh sau 
 Từ PHƯƠNG trỡnh (1) hay 
 Từ phương trỡnh (2) 
 Nếu x = thỡ y = 2
 Nếu x = - thỡ y = -2
 Vậy hệ PHƯƠNG trỡnh cú nghiệm và 
 Bài tập 20 ( Bài tập ỏp dụng bất đẳng thức để giải phương trỡnh nghiệm nguyờn.
 1) Tỡm cỏc số nguyờn x,y,z thoả món 
 Giải :Vỡ x,y,z là cỏc số nguyờn nờn 
 (*) Mà 
 Cỏc số x,y,z phải tỡm là 
 Vớ dụ 2: Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh 
 Giải : Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả sử Ta cú 
 Mà z nguyờn dương vậy z = 1, Thay z = 1 vào phương trỡnh ta được 
 Theo giả sử xy nờn 1 = mà y nguyờn dương
 Nờn y = 1 hoặc y = 2
 Với y = 1 khụng thớch hợp 
 Với y = 2 ta cú x = 2
 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trỡnh
 Hoỏn vị cỏc số trờn ta được cỏc nghiệm của phương trỡnh là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)
 Vớ dụ 3 : Tỡm cỏc cặp số nguyờn thoả món phương trỡnh (*)
 Giải : (*) Với x 0 , y > 0 
 Ta cú 
 Đặt (k nguyờn dương vỡ x nguyờn dương Ta cúNhưng 
 Mà giữa k và k+1 là hai số nguyờn dương liờn tiếp khụng tồn tại một số nguyờn dương nào cả
 Nờn khụng cú cặp số nguyờn dương nào thoả món phương trỡnh .
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất là : 
 Bài tập 21 CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
( BĐT Bunhiacụpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).
GiảI Xột hiệu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)
=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0 
Dấu “=” xảy ra khi 
Bằng cỏch làm tương tự ta cú thể phỏt triển bài toỏn BĐT Bunhiacụpxki tổng quỏt:
(a21 + a22 ++ a2n)(x21 + x22 ++ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 ++ anxn )2
Dấu “=” xảy ra khi 
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thỡ ax = 1 (x = )
Từ bài toỏn 2 ta cú thể đặt ra bài toỏn:
Bài tập 22 Cho ba số a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng: (a + b + c)( ++) ≥ 9
Giải Theo bài toỏn 2 (BĐT Bunhiacụpxki):
 (a + b + c)( ++) ≥ Û (a + b + c)( ++) ≥ 32 = 9
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( ++)≥ 9
Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta được BĐT: 2(a + b + c)( ++)≥ 9
 Û ( +++3) ≥ 9 Û ++≥