20 Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8

20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
 A. MỤC TIÊU: 
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử 
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử 
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP 
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: 
Định lí bổ sung: 
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước 
dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)
a - 1
 và f(-1)
a + 1
 đều là số nguyên. 
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4 
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2) 
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4 
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4   , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm 
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x – 2 
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 =        3 2 2 22 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)x x x x x x x x x x           =   22 2x x x   
www.VNMATH.com
1
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Cách 2:    3 2 3 2 3 2 24 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x                 
 =    2 22 2 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x           
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 
Nhận xét: 1, 5  không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên 
f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ 
Ta nhận thấy x = 1
3
 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên 
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =      3 2 2 3 2 23 6 2 15 5 3 6 2 15 5x x x x x x x x x x           
 = 2 2(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)x x x x x x x x         
Vì 2 2 22 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0x x x x x          với mọi x nên không phân tích được thành 
nhân tử nữa 
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1 
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) 
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: 
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2) 
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên 
không phân tích được nữa 
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) 
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) 
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) 
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) 
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: 
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương: 
www.VNMATH.com
2
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung 
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; 
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1 
III. ĐẶT BIẾN PHỤ: 
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng 
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) 
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 ) 
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 
Giả sử x  0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – 2
6 1 + 
x x
) = x2 [(x2 + 2
1 
x
) + 6(x - 1 
x
) + 7 ] 
www.VNMATH.com
3
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Đặt x - 1 
x
 = y thì x2 + 2
1 
x
 = y2 + 2, do đó 
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 
1 
x
)2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau: 
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 ) 
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = 2 2 2 2 2( )( ) ( +zx)x y z x y z xy yz      
= 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)x y z xy yz x y z xy yz          
Đặt 2 2 2x y z  = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2 2 2x y z  + xy + yz + zx)2 
Ví dụ 4: B = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 42( ) ( ) 2( )( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z             
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: 
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 
Ta lại có: a – b2 = - 2( 2 2 2 2 2 2x y y z z x  ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 
B = - 4( 2 2 2 2 2 2x y y z z x  ) + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 8 8 8 8 ( )x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz x y z            
Ví dụ 5: 3 3 3 3( ) 4( ) 12a b c a b c abc      
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2 
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + 
2 2m - n
4
). Ta có: 
C = (m + c)3 – 4. 
3 2
3 2 2m + 3mn 4c 3c(m - n )
4
  = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) 
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) 
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: 
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 
Nhận xét: các số  1,  3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên 
củng không có nghiệm hữu tỉ 
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
www.VNMATH.com
4
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
         
Xét bd = 3 với b, d  Z, b   1, 3  với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành 
6
8 2 8 4
3 14 8 2
3
a c
ac c c
a c ac a
bd
                    
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có: 
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c  
4 3
1
2 7
5
2 6
4
2 8
a
a
b a
b
c b
c
c
               
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng 
nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4) 
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) 
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 

12
4
10
3
3 5
6
12
2
3 12
ac
a
bc ad
c
c a
b
bd
d
d b
                 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 
www.VNMATH.com
5
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
BÀI TẬP: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
CHUYÊN  2 - S LC V CHNH HP, 
CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP 
A. MỤC TIÊU: 
* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp 
* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế 
* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS 
B. KIẾN THỨC: 
I. Chỉnh hợp: 
1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp 
X ( 1  k  n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy 
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu kn A 
2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử 
1) x3 - 7x + 6 
2) x3 - 9x2 + 6x + 16 
3) x3 - 6x2 - x + 30 
4) 2x3 - x2 + 5x + 3 
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 
8) 4x4 - 32x2 + 1 
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
10) 64x4 + y4 
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 
12) x3 + 3xy + y3 - 1 
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 
14) x8 + x + 1 
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 
17) x4 - 8x + 63 
k
n A = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)] 
www.VNMATH.com
6
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
II. Hoán vị: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp 
X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy 
Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn 
2. Tính số hoán vị của n phần tử 
( n! : n giai thừa) 
III. Tổ hợp: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử 
trong n phần tử của tập hợp X ( 0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy 
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu kn C 
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
C. Ví dụ: 
1. Ví dụ 1: 
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 
a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ 
số trên 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên 
c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên 
Giải: 
a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là 
c ...          
 Vì :  2 2 01 0; 1 1 1xx x x x x x              
 Vaäy ñeå A nhaän giaù trò nguyeân thì: 0x  hoaëc 1x   
Ví duï 2: Tìm ;x y Z thoaû maõn: 2 2 22 1 2 .y x x y x y x y      
 (2)        22 . 1 . 1 . 1 1 0 *y x x x y x        
www.VNMATH.com
108
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 Vôùi:  1; * 1 0 1x x     khoâng phaûi laø ngieäm cuûa phöông trình. Neân: 
  2 12 0 **
1
y x y
x
    . 
 Phöông trình coù nghieäm nguyeân     01 1 (1) 1; 1
11
x
x U
xx
           
 Ví duï 3: Tìm ;x y Z  thoaû maõn:  23 1 1x y   (3) 
 Ta coù: 
 (3)    23 1 1 2x y y y      .3x laø soá leû  ; 2y y  laø hai soá leû lieân tieáp 
 ; 2 1 ; 2y y y y     laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân: 
 
  
3 *
3 2 3
2 3 **
m
m n
n
y
m n x m n
y
          
  Vôùi: 0; 1 1; 1.m n y x      
  Vôùi: 1; 1m n   Töø         
3
* ; ** ; 2 1
2 3
y
y y
y
    

 ( voâ lí) 
 Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 1
1
x
y
  
 - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc 
  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø 
nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau. 
 - AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp: 
 *Baát ñaúng thöùc Coâ – si: 
 Cho n soá khoâng aâm: 1 2 3; ; ;......; na a a a . Khi ñoù: 
 1 2 3 1 2 3
...... . . .......n n n
a a a a a a a a
n
     . Daáu “=” xaûy ra 1 2 3 ...... na a a a     
 * Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: 
 Cho 2n soá thöïc: 1 2 3; ; ;......; na a a a vaø 1 2 3; ; ;......; nb b b b . Khi ñoù: 
www.VNMATH.com
109
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
     21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3. . . .... . . . .... . ....n n n na b a b a b a b a a a a b b b b             . 
 Daáu “=” xaûy ra  1;i ia kb i n   . 
 *Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái: 
. 0
. 0
a b a b
a b
a b a b
        
 Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû: . . . 3x y y z z x
z x y
   (1) 
 AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: 33. . . . . .3 3. . . 3. . .x y y z z x x y y z z x x y z
z x y z x y
     . 
 3 . . 1 . . 1 1x y z x y z x y z        
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y z   
 Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình:    2 2 21 3 1x y x y     (2) 
 (Toaùn Tuoåi thô 2) 
 Theo Bunhiacoâpxki,ta coù: 
       2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 3 1x y x y x y          
 Daáu “=” xaûy ra 1 1
1 1 1
x y x y      
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y  
 Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân x thoaû maõn: 
 3 10 101 990 1000 2004x x x x x          (3) 
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
 Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø a a  
 Ta coù:(3) 3 10 101 990 1000 2004x x x x x           . 
www.VNMATH.com
110
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 Maø 
3 3
10 10
101 101 2004 101 2003 101 1
990 990
1000 1000
x x
x x
a a x x x x
x x
x x
                       
 Do ñoù:        1 101 1 101 1;0;1 102; 101; 100x x x             . 
 Vôùi 101 2004 2003x     (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:  102; 100x   
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 3 2 3x y z xy y z      
 V× x,y,z lμ c¸c sè nguyªn nªn 
 2 2 2 3 2 3x y z xy y z      
 2 22 2 2 2 233 2 3 0 3 3 2 1 04 4y yx y z xy y z x xy y z z                           
 2 2 23 1 1 0
2 2
y yx z                (*) Mμ  
2 2
23 1 1 0
2 2
y yx z               ,x y R  
  2 2 23 1 1 0
2 2
y yx z               
0
2 1
1 0 2
2
11 0
yx
x
y y
zz
            
 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lμ 
1
2
1
x
y
z
  
PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm 
(phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm 
 - Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá 
chính phöông; chöõ soá taän cuøng .. ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ 
nghieäm 
 Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 6 3 43 1x x y   
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
www.VNMATH.com
111
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 Ta thaáy vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh 
phöông trình voâ nghieäm vôùi 0x  
 + Vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng 
 + Vôùi 0x  . Khi ñoù: 
    2 26 3 6 3 6 3 3 4 32 1 3 1 4 4 1 2x x x x x x x y x             (*) 
 Vì    3 31 ; 2x x  laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*) 
 Vaäy 0; 1x y   laø nghieäm cuûa phöông trình. 
Ví duï 2: Tìm ;x y Z  thoaû: 2 2 11 3 yx x    (2) 
 (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû ) 
 Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi  0;1;2;...;9b . Khi ñoù:  2 1x x  coù chöõ soá taän 
cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*) 
 Maët khaùc: 2 13 y laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. (**) 
 Töø (*) vaø (**) suy ra phöông trình voâ nghieäm. 
Ví duï 3: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 2 26 13 100x xy y   (3) 
 (3)        2 2 2 2
5
3 4 25
25
y
x y
y n n
          
 Do ñoù:    5; 4; 3;0;3;4;5 3;9;11;13y x      
Phöông trình coù nghieäm nguyeân:                 ; 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3x y     
 PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang) 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån 
maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1 
 - Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng 
soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn. 
 - Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. 
www.VNMATH.com
112
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Giaûi phöông trình: 3 3 33 9 0x y z   (1) 
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
 Ta thaáy  3 3 3 3 3 33 9 0 3 9 3x y z x y z       maø  3 33 9 3y z   neân 3 3x  
 Ta coù: (1)  3 3 3 3 13 9 3 3 3 3x y z x x x x         
 Khi ñoù: (1)    3 3 3 3 3 3 31 1 127 3 9 3 9 3 3 3 3 3x y z x y z y y y y             . 
  3 3 3 31 1 19 27 3 3 3 3 3x y z z z y z         . 
 * Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi 0 0 0; ;x y z laø nghieäm cuûa (1) vaø thì 
 0 0 0; ;3 x y zU vaø 0 0 00 ; ; 9x y z  . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: 0 0 0 0x y z   
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 0 0 0 0x y z   
c¸c bμi tËp KH¸C 
1/Dïng ®Þnh nghÜa 
 1) Cho abc = 1 vμ 363 a . . Chøng minh r»ng 
3
2a b2+c2> ab+bc+ac 
Gi¶i 
Ta cã hiÖu: 
www.VNMATH.com
113
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 
3
2a b2+c2- ab- bc – ac = 
4
2a 
12
2a b2+c2- ab- bc – ac 
= ( 
4
2a b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 
12
2a 3bc =(
2
a -b- c)2 +
a
abca
12
363  
 =(
2
a -b- c)2 +
a
abca
12
363  >0 (v× abc=1 vμ a3 > 36 nªn a >0 ) 
VËy : 
3
2a b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 
2) Chøng minh r»ng 
 a) )1.(21 2244  zxxyxzyx 
 b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : 036245 22  baabba 
 c) 024222 22  baabba 
 Gi¶i : 
 a) XÐt hiÖu : 
 H = xxzxyxzyx 22221 222244  =      22222 1 xzxyx 
 H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
 b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H =     1112 22  bba 
  H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
 c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H =    22 11  bba 
  H  0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
Ii / Dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng 
 1) Cho x > y vμ xy =1 .Chøng minh r»ng :    82
222


yx
yx 
 Gi¶i : 
Ta cã     22 2222  yxxyyxyx (v× xy = 1) 
        4.4 24222  yxyxyx 
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 
www.VNMATH.com
114
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
      224 .844 yxyxyx       044 24  yxyx    22 2 0x y     
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
2) Cho xy  1 .Chøng minh r»ng : 
xyyx  1
2
1
1
1
1
22 
 Gi¶i : 
Ta cã 
xyyx  1
2
1
1
1
1
22  01
1
1
1
1
1
1
1
222 







 xyyyx 
        01.11.1 2
2
2
2



xyy
yxy
xyx
xxy        01.1 )(1.1 )( 22    xyy yxyxyx xyx 
         01.1.1 122
2


xyyx
xyxy 
B§T cuèi nμy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô 
 1) Cho a , b, c lμ c¸c sè thùc vμ a + b +c =1 
 Chøng minh r»ng 
3
1222  cba 
 Gi¶i : 
 ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vμ (a,b,c) 
 Ta cã     2222 .111.1.1.1 cbacba  
     2222 .3 cbacba  
  
3
1222  cba (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 
2) Cho a,b,c lμ c¸c sè d−¬ng 
 Chøng minh r»ng   9111. 

 
cba
cba (1) 
 Gi¶i : 
 (1)  9111 
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a  93 

 

 

 
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a 
www.VNMATH.com
115
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 ¸p dông B§T phô 2
x
y
y
x Víi x,y > 0 
 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng 
 VËy   9111. 

 
cba
cba (®pcm) 
Iv / dïng ph−¬ng ph¸p b¾c cÇu 
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 
 accbbacba 222333 3222  
 Gi¶i : 
 Do a <1  2a <1 vμ b <1 Nªn    0101.1 2222  bababa 
 Hay baba  221 (1) 
 MÆt kh¸c 0 <a,b <1  32 aa  ; 3bb   3321 baa  
 VËy baba 233 1 
 T−¬ng tù ta cã : 
acca
cbcb
233
233
1
1

 
 accbbacba 222333 3222  (®pcm) 
2) So s¸nh 31 11 vμ 17 14 
Gi¶i : 
 Ta thÊy 1131 <  1111 5 55 5632 2 2 2   
 MÆt kh¸c  1456 4.14 4 14 142 2 2 16 17    
 Vëy 31 11 < 17 14 (®pcm) 
V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 
vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: 
 222222 )()( dcbadbca  
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski 
 ta cã ac + bd  2222 . dcba  
 mμ       222222 2 dcbdacbadbca    22222222 .2 dcdcbaba  
www.VNMATH.com
116
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 222222 )()( dcbadbca  
www.VNMATH.com
117