Tài liệu ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán

 I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ
 1. Các công thức biến đổi căn thức( SGK)
 2. Một số kiến thức khác cần lưu ý 
 - xác định khi A 0
 -Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0
 - Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu 
 - Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 
 - Quy tắc rút gọn và đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc
 - Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia phân thức
II-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
 1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Trong căn 0 ,Mẫu 0 , biểu thức chia 0
 2)Rút gọn biểu thức 
 -Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thường tìm cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn .Cụ thể là :
 + Số thì phân tích thành tích các số chính phương 
 +Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn
 -Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn đồng dạng
 - Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở mẫu trước,có thể không phải quy đồng mẫu nữa.
 -Nếu biểu thức chứa các phân thức chưa rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trước
 -Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trước khi
 -Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu “-“ , cách viết căn
 Chú ý : Một số bài toán như : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức 
 -Cần rút gọn biểu thức trước.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp
 -Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
 -Cần rút gọn biểu thức trước
 -Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
III-Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
1) ;	2) ;	3) 
4) ;	5) 	6) 
7) ;	8) 	9) 
10) ;	 11) 	 	12) 
13) 14) 	15) 
16) 	 17) 	18) 
19) 	 20) 	21) 
22) 	 23) 	24) 
25) 	26) 	27) 
28) 	 29) 	 30) 
31) 	 32) 	33) 
34) 	 35) 	 36)
37) 	 38) 	39) 
40) 	41) 	 42) 
43) 	44) 45) 
46) 47) 
48) 	49) 
50) 	 51) 52) 
Dạng 2 : Bài tập rút gọn biểu thức hữu tỉ 
 1. 
Dạng 3: Bài tập tổng hợp
Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
; 	; 	 
Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trường hợp sau: 
 a) và ; b) và ; c) x = 2m và y = m+2
Bài 4
Tính giá trị của biểu thức:	A = với ; .
 Đặt . Tính giá trị của các biểu thức sau:	
	a. M-N	b. M3-N3
Chứng minh: (với và ).
Chứng minh ; ; 
Chứng minh đẳng thức: 
Bài 6: Rút gọn các bt sau:
3. 
5) 	6) 
7) 	8) với 	
9) (với a; b ³ 0 và a ạ b)	10) 	
11) 	11) với x ạ 2.
13)với 
Bài 7: Cho Tính .
Bài 8: Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức P	b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;	 b) Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2.
Bài 10: Cho biểu thức : 
Rút gọn biểu thức P;	b) Tìm x để .
Bài 11. Cho biểu thức 
a) Rút gọn A 	b) Tìm x để A = 3
Bài 12. Cho 
a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x = 	b) Tìm x để A > 0
Bài 13: Cho biểu thức 
a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định.	 b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN
Bài 14: Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định	b) Rút gọn K 
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
Bài 15: Cho biểu thức 
a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa	b) Rút gọn biểu thức 	
c) Tìm x để biểu thức có GTLN
Bài 16: Cho biêủ thức 
a) Rút gọn A	 	b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức: Với x ³ 0 và x ạ 1
a) Rút gọn biểu thức Q 	b) Tìm giá trị của x để 
Bài 18: Cho biểu thức A =
a/ Rút gon A	b/ Tính giá trị của A khi x = 841
Bài 19: Cho biểu thức 
1/Rút gọn biểu thức P. 	2/Tìm a để 
Bài 20: Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .	b) Rút gọn biểu thức A .
c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .
Bài 21: Cho biểu thức: .
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A được xác định.	b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 22 . Cho biểu thức: A = .
1/. Tìm điều kiện đối với để biểu thức A được xác định.	
2/. Rút gọn biểu thức A.
Bài 25: Rút gọn các biểu thức:
a) với .	b)
Bài 26: Rút gọn biểu thức . 
Bài 27: Cho 
a) Rút gọn P 	b) Tìm x để P < 1	
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho 
a) Rút gọn N 	 b) Tính N khi 	
c) C/m: Nếu thì N có giá trị ko đổi
Bài 29: Cho 
a) Rút gọn K 	b) CMR: Nếu thì là số nguyên chia hết cho 3
Bài 30: Cho 
a) Rút gọn K 	b) Tính giá trị của K khi 	
c) Tìm giá trị của x để K >1
Bài 31 : Cho 
a) Rút gọn P 	b) Tìm x để P < -1/2	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 32: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A;	b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 33: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức B;	b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 34: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức C;	b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 35: Rút gọn biểu thức :
a) ;	b) ;
c) ;	d) 
Bài 36: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức .	b) Tính giá trị của khi 
Bài 37: Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 38:	Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức A . 	b) Tính giá trị của A khi x = 
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 39: Cho biểu thức : A = 
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . 	b) Rút gọn biểu thức A . 
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . 
Bài 40: Cho biểu thức : A = 
1) Rút gọn biểu thức A . 	2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a . 
Bài 41: Cho biểu thức : P = 
a) Rút gọn P . 	b) Tính giá trị của P với a = 9 . 
Bài 42: Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn P.	b) Tìm a để 
Bài 43: Cho biểu thức 
a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Bài 44:. Cho 
a) Rút gọn P.	b) Tìm a biết P > .	c) Tìm a biết P = .
Bài 45. Cho 
a) Chứng minh 	b) Tính P khi 
Bài 46. Cho với a < 0, b < 0.
a) Chứng minh .	b) Rút gọn .
Bài 47. Cho 
a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của B khi .
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thoả mãn .
Bài 48: Cho 
a) Tìm ĐKXĐ của M.	b) Rút gọn M.	c) Tính giá trị của M tại a =
Bài 49: Cho biểu thức:
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?	
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
Bài 50: Cho biểu thức:.
1. Rút gọn biểu thức A.	
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Bài 51; Cho biểu thức:.
1. Rút gọn biểu thức trên	2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
Bài 52; Cho biểu thức .
1. Rút gọn biểu thức A	 Tính giá trị của A khi 
Bài 53: Cho biểu thức:.
a. Chứng minh 	b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Bài 54: Cho biểu thức:.
1. Rút gọn A.	2. Tìm x để A = 0.
Bài 55: Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức.	2. Giải phương trình A=2x.	3. Tính giá trị của A khi .
Bài 56: Cho biểu thức: F= 
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.	2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2.
Bài 57: Cho biểu thức: với a, b là hai số dơng khác nhau
1. Rút gọn biểu thức N.	2. Tính giá trị của N khi: .
Bài 58: Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức T.	2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x ≠ 1 luôn có T < 1/3.
Bài 59: Lập pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 no là: Từ đó tính P=
Bài 60: Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức M.	2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 61: Cho A=
a) Chứng minh A<0.	b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên
Bài 62: Cho 
1. Rút gọn A.	2. Tìm x để A=-1.
Bài 63: Cho biểu thức 
a) Rút gọn A 	b) Tìm x để A = 3
Bài 64. 
a) Tìm điều kiện của để xác định. b) Rút gọn 	c) Tìm các giá trị của để 
Bài 65: Cho 
a, Rút gọn A	b, Khi a >1.Hãy so sánh A với 
c, Tìm a để A = 2 	d, Tìm ?
Bài 66.Cho 
a, Rút gọn A	b, Tìm x để 	 c, Tìm x để 
Bài 67: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức M; 	b) So sánh M với 1.
Bài 68: Cho các biểu thức và 
Rút gọn biểu thức P và Q;	b) Tìm giá trị của x để P = Q.
**********&*********
Phần thứhai
A>kiếnthức cần nhớ 
-Hàm số bậc nhất : y = ax + b đồng biến khi a > 0 . Khi đó Đths tạo với rrục hoành ox một góc nhọn .Nghịch biến thì ngược lại.
-ĐK hai đường thẳng song song là : 
-ĐK hai đường thẳng cắt nhau là : a a’.Nếu có thêm b =b’ thì 2 đt cắt nhau tại một điểm trên trục tung oy.
-ĐK hai đường thẳng vuông góc là tích a.a’ = -1
-Đt hs y=ax( a0) đi qua gốc toạ độ
-Đths y=ax+b (a0,b0)không đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam giác 
B> Bài tập 
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10 
Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)
Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
Đường thẳng d qua gốc toạ độ 
Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5
Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 
Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5
Vẽ đồ thị với m=6
Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45o
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135o
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30o , 60o
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y 
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x 
Bài4 
Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
 d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 
Bài 5 
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm 
 a)A(-1 ; 3) ; b) B( ; -5) ; c) C(2 ; -1)
 2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần tư thứ IV
Bài 6:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4
a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi thì (d1)luôn đi qua một điểm A cố định, ( ... à tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần lợt tại M , N , P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D . Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng tròn
3*. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC , AB lần lợt tại E và F. 
Chứng minh BE. CF = 2 BI .CI
Bài 37 :Cho đờng tròn tâm(O). AB là dây cố định của đờng tròn không đi qua tâm. M là một điểm trên dây cung lớn AB sao cho tam giác MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.
1. Chứng minh tam giác ADI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác ADPI là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh PI = MQ.
4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N. Khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung điểm của MN chuyển động trên đờng nào.
Bài 38 Cho 3 điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy). Gọi (O) là đờng tròn đi qua B và C. Từ A vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đt (O). ( E và F là các tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh EG // AB
c) Nối EF cắt AC tại K, Chứng minh AK . AI = AB . AC
Bài39: Cho đờng tròn(O;R) và dây AC cố định không đi qua tâm . B là một điểm bất kì trên đờng tròn (O;R) ( B không trùng với A và C).Kẻ đường kính BBGọi H là trực tâm của của tam giác ABC.
Chứng minh AH//BC
Chứng minh rằng HBđi qua trung điểm của AC
Khi điểm B chạy trên đờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA và C) . Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đờng tròn cố định .
Bài 40: Cho đt tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC là tứ giác nội tiếp và KB,KC là tiếp tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?
d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
Bài 41: Cho (O;R) và dây ABAB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2=CB.CA
d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP
Bài 42: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M.
Chứng minh APMO nội tiếp
Chứng minh rằng BM//OP
Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Cmtứ giác OBNP là hình bình hành .
Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minhI, J, K thẳng hàng.
Bài 43: Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đt ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE
c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,
Bài 44:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn. Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D.
Chứng minh CD//AB
Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
Chứng minh:tích KM.KN không đổi
Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần lượt là C,,D,.Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC,D, đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 45:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB,AC, lần lượt tại E,F.
Chứng minhtứ giác AEHF là hình chữ nhật. 
Chứng minhAE.AB=AF.AC
Chứng minh rằng BEFC nội tiếp
Đường thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 46:Cho đường tròn tâm (O;R), hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy một điểm M( khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
tứ giác OMNP nội tiếp được.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Tứ giác OMNP nội tiếp
Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và một đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vè đường tròn đường kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đttại điểm thứ hai P.
Chứng minh ABMD nội tiếp
Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động
Bài 48: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ một tia vương góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
 Tứ giác BHCA nội tiếp 
KC. KA=KH.KB .
Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
Bài 49 : cho đường tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C là một điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đường tròn tại điểm thư hai D. Chứng minh :
MA2 = MC.MD
MB.BD = BC.MD
Đường tròn ngoại tiếp DBCD tiếp xúc với MB tại B.
Tổng bán kính của hai đtngoại tiếp DBCD và DACD không đổi khi C di động trên đoạn AB.
Bài 50: Cho DABC có góc A > 90o. Đường tròn (O), đường kính AB cắt đường tròn (O/) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt Đường tròn (O), đường tròn (O/) lần lượt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.
Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
Chứng minh tỷ số không đổi.
Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc một đường tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích DHMN lớn nhất.
Bài 51:Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần lượt trên hai tia dó lấy hai điểm C và D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
Chứng minh góc CPD bằng 900. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 900
Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB
Chứng minh điểm M chạy trên nửa đường tròn cố định khi C;D lần lượt di động trên Ax, By nhưng vẫn thoả mãn (1).
Bài 52: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Các đường thẳngCD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được.
Chứng minh AD.AB = AG.AE
AC//FG.
Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài53 Cho đường trũn (O), một đường kớnh AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I. Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C khụng trựng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 
a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong đường trũn. 
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC. 
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. 
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất. 
Bài 54 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC), đường cao AH. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E và nửa đường trũn đường kớnh CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật. 
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đt đường kớnh BH và CH. c) Tứ giỏc BCFE nội tiếp. 
Bài 55 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. 
Bài 56 : Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R, đường thẳng d khụng qua O và cắt đường trũn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trờn d (C nằm ngoài đường trũn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường trũn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. 
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cựng nằm trờn một đường trũn. 
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO. 
c) Đoạn thẳng CO cắt đường trũn (O) tại I, chứng minh I cỏch đều CM, CN và MN. 
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt cỏc tia CM, CN lần lượt tại E và F. 
Xỏc định vị trớ của C trờn d sao cho diện tớch tam giỏc CEF là nhỏ nhất. 
Bài 1 :a. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : 
	b. Cho a,b >0 thoả mãn a+ b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Bài 2 : Chứng minh bất đẳng thức:
	với a³ c ³ 0, b ³ c
	với a, b, c, d > 0
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của: với x >0
Bài 5 : 
Chứng minh bất đẳng thức : 
Tìm giá trị lớn nhất của : 
Giải phơng trình : 
d✰) Giải phơng trình: 
Bài 6 : 
 1. Chứng minh bất đẳng thức : a. xy + yz + zx Ê x2 + y2 +z2 
	 b. 	
2. Cho x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 + y2 +z2
Tìm giá trị lớn nhất của T = xy + yz + zx
Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A= x2 –4x + 3
B = 3x2 –6x -1
C = x2 +3x + 5
D =3 x2 –2x + 9
Bài 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x2 –4xy + 5y2 + 10x –22y + 30
B = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 100
C = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x +4
D = x2 + y2 – xy –x –y +1 
Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A= - 4x2 –4x + 3 C= 1 + 6y – 5y2 – 12xy – 9x2
B=5 - 8x- x2 D = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 11 : Cho x, y, z ³ 0 thoả mãn :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :T = 5x – 6y + 7z
Bài 12 : Cho x, y, z ẻ N thoả mãn :
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Bài 13✰ : Cho x2 + y2 + z2 Ê 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 F = x + y + z + xy + yz + zx 
Bài 14 : Chứng minh rằng :
 với k ẻ N và k ³ 2
 với n ẻ N và n ³ 2
 với n ẻ N và n ³ 2
Bài 15 : Cho hai số x, y thoả mãn x > y và x.y = 1. Chứng minh : 
Bài 16 : Cho a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh :
ab + bc + ca Ê a2 + b2 + c2 Ê 2 (ab + bc + ca)