Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - Môn Đại số 8

A/. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trước hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và tư duy cao, do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo,  nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống. 
Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là nội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm được khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về phương trình. 
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn đề tài: “RÌn kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh cho häc sinh - m«n §¹i sè 8”.
Đối tượng nghiên cứu:
Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh.
Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 81, 83 ở trường THCS Phước Chỉ, năm học 2009 - 2010.
Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba dạng phương trình “phương trình đưa về dạng ax + b = 0, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong chương trình toán 8 hiện hành.
Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. 
Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra. 
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. 
B/. NỘI DUNG
Cơ sở lý luận 
Với sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và quản lý giáo dục, toàn cầu hóa như hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi cho nền giáo dục và đào tạo của nước ta trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và luôn luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Hiện nay ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập, trong đó việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một trong những biện pháp của quá trình đổi mới giáo dục theo hướng tích cực phù hợp với xu thế hiện nay.
Để đáp ứng được mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và giúp đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó,  tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập hoặc những cách giải do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những cách giải hay, những điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương trình sau này, như giải bất phương trình, chương trình lớp 9 sau này,  Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phương trình và các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể. 
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một cách nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 
Cơ sở thực tiễn 
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trong nhờ vào kết quả người khác. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích hợp. 
Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin. 
Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em hầu như không có.
Nội dung vấn đề
3.1. Những giải pháp mới của đề tài
@ Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
- Sắp xếp các dạng phương trình theo các mức độ. 
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình.
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
u Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản 
+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương pháp giải phương trình tích.
+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
v Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình.
3.2. Các phương trình thường gặp
A. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
j Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).
? Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung: 
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
„ Chú ý: Nếu a 0, phương trình có nghiệm x = 
Nếu a = 0, c 0, phương trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) 
 5 – x + 6 = 12 – 8x 
 – x + 8x = 12 – 11 
 7x = 1 
 x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
 –2x = 7 (sai từ trên)
 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: 
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
 x – 2x + x = 9 
 0x = 7 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.
? Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung: 
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. 
- Thực hiện cách giải như dạng 1. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: 
 (sai ở hạng tử thứ ba)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là: 
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng: 
 Vậy: S = 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của ... (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 
Hướng dẫn: (13) (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0 
 (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
 (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0
 (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0
 (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài toán tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
« Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 
Ví dụ 14: Giải phương trình (14) (BT.31.b/23) 
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3
(14) 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau:
1) Ta có: (14) 
* Ta có bài toán tương tự như sau:
2) 
3) (*)
Hướng dẫn: ; ; 
(*)
? Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x 0
(15) Đặt 
Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0 (y – 1)(y – 2) =0 y = 1 hoặc y = 2
Khi đó x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm) 
 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 x = 1 (nhận)
Vậy S = 
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc mứu trong quá trình giải phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình khác như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,
Biện pháp và kết quả thực hiện
j Biện pháp
Để thực hiện tốt kỹ năng giải phương trình của học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7.
Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân, chia đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm mục đích thực hiện các phép tính ở hai vế của phương trình, đưa phương trình về dạng tích không sai sót.
Khi học về phân thức ở chương II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững các tìm giá trị của ẩn để phân thức chứa mẫu thức được xác định nhằm giúp học sinh tìm được ĐKXĐ của phương trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác. Cần chú ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức chung trước để việc tìm ĐKXĐ của phương trình sẽ tiện hơn và không sót điều kiện. 
Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. 
ù Một số lưu ý khi giải phương trình, học sinh cần nhận xét:
Ü Quan sát đặc điểm của phương trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phương trình từ đó đưa ra cách biến đổi thích hợp.
Ü Nhận dạng phương trình:
Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp từng dạng phương trình đó.
„ Kinh nghiệm trong biến đổi phương trình:
Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích.
Khi biến đổi phương trình nếu nhận thấy hai vế của phương có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
Khi khử mẫu hai vế của phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ quả của phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phương trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ,  cho thích hợp.
k Kết quả 
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà. 
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thông kê, đánh giá qua hai lớp 81, 83 ở năm học 2009 – 2010 như sau: 
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát 
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp)
63
27
42,85%
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, ...
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1)
63
40
63,49%
* Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm được các dạng phương trình, kỹ năng biến đổi hợp lý, việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý. 
Lần 2: Kết quả khảo sát (kiểm tra 1 tiết)
Thời gian học kỳ II
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2)
63
58
92,06%
* Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phương trình, vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm của phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
á Tóm lại: 
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm của từng cách giải cho các dạng phương trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm chắc về cách giải phương trình, vận dụng và rèn luyện kỹ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập về phương trình được sắp xếp theo các mức độ nhận thức của học sinh. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C/. KẾT LUẬN
± Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
ù Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các bước giải phương trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo khoa. 
ù Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong việc vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. 
ù Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp giải cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải phương trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
ù Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.
± Hướng phổ biến áp dụng
Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho những đơn vị trường cùng loại hình. 
± Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp giải khác, phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào các bài toán thực tế.