Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải toán tìm cực trị Đại số Lớp 9 - Vũ Văn Khánh

Đặt vấn đề
 Toán học là một ôn học hiện đại của xã hội khoa học ngày nay nó là cơ sở của nhiều nghành khoa học khác 
 Môn toán là môn có kiến thức rộng ,phức tạp ,trìu tượng nhưng cực hay 
 Ơ bậc T.H.C.S cần trang bị những kién thức cơ bản nhưng có đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy toán cho học sinh ,tạo nền tảng tin cậy cho học sinh tiếp tục học tốt môn toán ở bậc T.H.P.T 
 Vì vậy việc bồi dưỡng ,hướng dẫn học sinh giải các bài toán khó ,phức tạp ở bậc T.H.C.S giúp các em giải toán nhanh chính xác ,có lời giải hay ngắn gọn là không thể thiếu đựơc .Trong đó có dạng toán ‘Tìm cực 
 Đề tài ‘Hướng dẫn học sinh giải toán tìm cực trị ‘của tôi nhằm hướng dẫn học sinh phân dạng ,có phương pháp giải cho từng dạng bài cụ thể ,có ứng dụng để giải bất phương trình ,chứng minh bất đẳng thức ,..từ đó gây dược hứng thú học tập môn toán ở học sinh T.H.C.S
Giải quyết vấn đề
 Để hướng dẩn học sinh’’ tìm cực trị”tôi đã tiến hành theo các bước sau :
 1,Tự đọc sách,tham khảo một số đề thi cấp huyện cấp tỉnh, .
 2, Phân dạng các bài toán “Tìm cực trị rồi tìm ra phương pháp giải cho từng dạng
 3, Qua quá trình dạy học tìm ra những mẹo giải cách giải hay ngắn gọn đồng thời tìm ra những sai lầm của học sinh để sửa chữa cũng như khắc sâu để học sinh không mắc phải lần sau khi gặp
 4, Giúp học sinh có những chú ý để nhớ phương pháp nhanh ,chính xác
 Nội dung như sau
Bước 1 Đọc và giới thiệu định nghiã gía trị cực trị của một biểu thức như sau :
 *Định nghĩa 1:Cho biểu thức f ( x;y;z),xác định trên miền D ,ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,z) trên miền D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn 
-Với mọi x,y,z,ẻ D thì f(x,y,z ) Ê M với M là 1 hằng số
-Tồn tại x,y,z,.ẻ D sao cho f(x,y,z,) =M 
 *Định nghĩa 2:Cho biểu thức f ( x;y;z),xác định tren miền D ,ta nói M là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,z) trên miền D nếu 2 đIều kiện sau được thoả mãn: 
 -Với mọi x,y,z,ẻ D thì f(x,y,z ) ³ M với M là 1 hằng số 
 -Tồn tại x,y,z,.ẻ D sao cho f(x,y,z,) =M
Bước 2: Phân dạng ,tìm ra phương pháp giải ,kinh nghiệm (nếu có ) ,khi giải bài toán tìm cực trị
Dạng 1: Dùng tam thức bậc 2. 
 *Phương pháp giải : Viết biểu thức dưới dạng tổng của bình phương của một nhị thức và một hằng số ,rồi xét giá trị của nó hoặc đưa về phương trình bậc hai rồi dựa vào đièu kiện có nghiệm của nó mà xét dấu của tam thức 
 *Ví dụ 1 : 
a,Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2x2 – 8x +1 
b, Tìm giá trị lớn nhất của B= -5x2 – 4x +1 
Giải
 A =2( –4x +4)-7 =2(x-2)2-7 ³7"x 
 ị MinA = -7 Û x - 2 = 0 Û x=2b, 
B = -5x2 – 4 x+1 =-5
 ị Û Û 
 *Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của: D = x2 + y2 biết rằng 
x2 ( x2 + 2y2 –3 ) + (y2 –2 )2 =1
 Giải
Từ 
	"x
Vì =D nên Û (D – 3 ) ( D –1 ) Ê 0Û1 Ê D Ê 3
ị Min D = 1Û x = 0 và D = 1Û x = 0 và y = ±1 
 Max D = 3 Û x = 0 và D = 3 Û x = 0 và y = ± 
Dạng 2 Đa thức có chứa giá trị tuyệt đối
 *Phương pháp : Phá dấu GTTĐ ,rồi tìm giá trị Min ,Max của biểu thức tìm được hoặc sử dụng tính chất của dấu GTTĐ
 *Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x-1)2 – 4 + 5 
 Giải 
Đặt = y ³ 0 Thì A = y2- 4y +5 =(y –2)2+1 ³ 1
 ị Min A =1 Û y =2 Û =2
 *Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
 Giải
B = 
Min B = 1 Û(x- 2) (3-x) =0 Û 
Dạng 3 :Đa thức bậc cao 
 *Phương pháp : Dùng ẩn phụ để đưa về tam thức bậc hai hoặc tổng của các tam thức bậc hai 
 *Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x(x-3)(x-4)(x-7) Giải
A = x(x-3)(x-4)(x-7) = (x2 –7x) (x2 –7x +12) 
Đặt x2 –7x +6 = y thì A = ( y-6) (y+6) =y2 –36 ³-36
Vậy Min y = - 36 Û y2 = 0 Û y =0 Û x2 -7x+6 =0 Û x=1hoặc x = 6
 *Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =(x +8)2 + (x+6)2
 Giải
Đặt x +7=y Ta được B =(y+1)2+ (y –1)2 = 2y4 +12y2 +2 ³ 2 ị Min B =2 
 Û y = 0 Û x= - 7
Dạng 4 Phân thức có tử là một hằng số mẫu là một tam thức bậc hai
 *Phương pháp :Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của riêng mẫu,từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của phân thức
 *Ví dụ 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
 Giaỉ
A =
Vì (3x-1)2 + 4 ³ 4 " x do đó A = 
Min A =
Dạng 5 :Phân thức có mẫu là một nhị thức
 *Phương pháp : Nhóm tử thành tổng của bình phương nhị thức ở mẩu với một hằng số rồi tách thành tổng và đặt ẩn phụ .Hoặc tách tử thành tổng của 1 hằng số với bình phương của 1 nhị thức 
 *Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
A = = 
Đăt y = Điều kiện x ạ 1 ; y ạ 0
A = 3 – 2y +y2 
Do đó Min A = 2
 *Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :B = 
Điều kiện x ạ 0;B = =
Do đó Min B = -3 Û 2x –1 = 0 Û x = 
 *Ví dụ 3 :Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức C = Giải
Vì = 1
Suy ra Min 
 Max C = 1 Û x = 0
Vì dấu bằng xảy ra khi x2=1 Û x = ±1
Mà x2 +1 ³ 0 nên 
Suy ra Max =2 khi x = ± 1 .Do đó Min C = Khi x = ± 1
Dạng 6 :Xét biểu thức phụ 
 *Phương pháp : Xét biểu thức phụ của biểu thức Alà ; -A , A2 , 
Rồi suy ra giá trị của biểu thức A
 *Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = vói 0 < x < 1
 Giaỉ
Xét biểu thức 
Vì 0 < x < 1 nên và 
Ap dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương này ta được : C = 
Dấu bằng xảy ra khi 
Suy ra Min C = 
Xét hiệu B – C = 3 ị B = C+3 ị MinB = Û x = 
Dạng 7 :Phân thức có mẫu là một biểu thức dương
 *Phương pháp:Viết biểu thức thành tổng hoặc hiệu của một hằng số và một biểu thức có tử là bình phương của một nhị thức và mẫu là mẫu của biểu thức đã cho rồi xét giá trị của nó
 *Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
 Giải
A= 
Suy ra Min A = -1 
Dạng 8 : Biến đổi và tìm cực trị của biểu thức đối với biến mới
 *Phương pháp : Biến đổi biểu thức nhờ diều kiện của biến ,từ đó xét giá trị của biểu thức với biến mới lập được
 *Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 1 biêủ thức
A = x;y>0 và x+y = 
 Giải
A = =
Ta có x+y = 
Đặt x+y = t (t > 0) thì x4 +y4 =100 - 40t + 2t2 ị A = 100 - 40t + 2t2 +t4+ 1
 = t4 - 2t2 - 40t +101
Tìm giá trị MinA = 
Min A = 45
Vậy x,y là nghiệm của phương trình X2 -
 Hoặc 
Tìm giá trị Ma x
Ta có 
A = t4 - 2t2 - 40t +101 = t(t3 + 2t – 40 ) +101
Do 
Vì t ³ 0 nên A Ê 101 hoặc 
Dạng 9: Vận dụng bất đẳng thức một cách linh hoạt
 *Phương pháp: áp dụng các bất đẳng thức 
;bất đẳng thức Cô si ;Bất đẳng thức Bunhiacôpski ;làm giảm một tổng ;làm tăng một tổng ;Làm trội một tích
Ví dụ :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = biết 
 Giải
H==5.5= 25
Max H = 25 Û
Dạng 10 :Chia khoảng để tìm cực trị
 *Phương pháp :chia khoảng theo đIều kiện rồi sử dụng các bất đẳng thức
Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x(x2 – 6) biết 
 Giaỉ
D = x3 – 6x
Xét số 
Vì 0 Êx Ê3 nên x3 >0 . áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số không âm ta đươc ị Min A = - 4Với 
Dạng 11: Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của một biểu thức khi biết quan hệ giữa các biến của nó
 *Phương pháp :Xuất phát từ mối quan hệ giửa các biến đó làm giảm luỹ thừa giưa các biến ,sau đó đưa về luỹ thừa của một tổng (hiệu ) của một bình phương với một hằng số
 *Ví dụ : Tìm giá tọi nhỏ nhất của biểu thức A = x3 +y3 +xy biết x+y =1
 Giaỉ
A = 
Từ x+y =1ị y=1-x Thay vào biểu thức
A = x2 + (1-x)2 = 2x2 –2x+1 = 
Bước 3: Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán ‘cực trị ‘.Đối vớí công dụng ,từng ví dụ ,tôi thường phát hiện ở các em ,em nào có cách giải hay chặt chẽ hoặc thiếu chặt chẽ hoặc sai hoặc còn sai lầm từ đó tìm cách khuyến khích ,sửa chữa uốn nắn hoặc phân tích các nguyên nhân ,đưa ra các cơ sở để các em thấy và công nhận .Từ đó giúp các em có lời giải thật tốt và đạt kết quả cao >sau đây là những sai lầm của học sinh thường gặp khi giải toán cực trị :
Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1 của định nghỉa
 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 
 -Lời giải sai : Vì tử có giá trị bằng 1 không đổi nên a có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất
Ta có : x2 –6x +12 = (x-3)2 +3 ³ 3ị Min x2 –6x +12= 3Û x=3
ị Max A =Û x=3
 -Phân tích sai lầm trong lời giải trên : tuy đáp số của lời giải không sai nhưng lời giải không được chặt chẽ khi khẳng định A có tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẩu có giá trị nhỏ nhất mà chưa đưa ra khẳng định cả tử và mẫu đều dương Chẳng hạn ví dụ xét biểu thức: B = 
Với lập luận phân thức A có tử không đổi nên giá trị lớn nhất có khi mẫu nhỏ nhất ,do mẫu nhỏ nhất bằng –4 khi x= 0 nên MaxB = Ûx=0 điều này không đúng vì không phải là giá trị lớn nhất của B chẳng hạn x=3 thì B = 
 Mắc sai lầm ở chỗ các em chưa lắm chắc tính chất của bất đẳng thức mà đã máymóc áp dụng quy tắc ra cách hai phân số có tử mà mẫu là ssố tự nhiên sang số nguyên
-Lời giải đúng : Do mẫu x2 –6x +12= (x-3)2 +3 ³ 3ị Min x2 –6x +12= 3Û x=3.Mặt khác tử và mẫu dương nên ị Max A = 3Û x=3
Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 của định nghĩa
 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x+
 -Lời giải sai :
A =
 -Phân tích lời giải sai : sau khi chứng minh được Min A =thì chưa chỉ ra trường hợp xảy ra dáu bằng để A =nghĩa là tìm x từ 
 - Lời giải đúng là : Để tồn tại thì x ³ 0.Do đó 
Bước 4: Qua phân tích dạng ,qua thực tế giảng dạy học sinh ,tôi đã rút ra chú ý sau đây khi dạy học sinh tìm cực trị
Khi giải bài toán tìm cực trị ta có thể :
 1, Đổi biến của biểu thức
 2, Thay đổi điều kiện để biểu thứcnày đạt giá trị bởi đièu kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị .Chẳng hạn ;
 -A lớn nhất khi A nhỏ nhất
 lớn nhất khi B nhỏ nhất (B > 0)
 C lớn nhất khi C2 lớn nhất (C > 0)
 3,Tìm giá trị trong từng khoảng của biến ,sau đó so sánh các giá trị với nhau để tìm giá trị cực trị của biểu thức trong tập xác định của nó
 4, Sử dụng linh hoạt và chính xác các bất đẳng thức đã học
 5, Trong các biểu thức ,cần chú ý đến hai mệnh đề sau cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng
 -Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.
 - Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau 
 6, Chú ý cho điều kiện hai của định nghĩa giá trị cực trị là chỉ ra sự tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng hức
 Sau 4 bước đã tiến hành trên ,tôi đã nhận thấy rằng học sinh khá giỏi có hứng thú giải toán hơn ,đạc biệt là giải toán cực trị
 Học sinh đã phân được dạng toán tìm cực trị có phương pháp cho từng dạng bài không khó khăn
 Khi chưa áp dụng những kinh nghiệm này thì học sinh còn mắc sai lầm khi tìm cực trị của một biểu thức .sau khi định hướng phương pháp giải tôi thấy học sinh đỡ mắc sai lầm hơn rất nhiều 
 Bài học kinh nghiệm 
 Sau khi áp dụng kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giải toán tìm cực trị trong đại số “tôi đã thu được kết quả sau
 -Học sinh khá giỏi tìm cực trị nhanh hơn không còn nhầm lẫn trong quá trình giải ,gây được hứng thú học tập cho học sinh
 -Đã nâng cao đựoc hiệu quả theo tôi còn phải đọc sách nhiều ,có thời gian tiếp xúc hướng dẫn học sinh nhièu hơn nữa ,phải tự nghiên cứu cho phương pháp của mình nhiều hơn nữa để phương pháp tốt hơn và đạt hiệu quả cao hơn
để có kết quả cao hơn trong việc dạy học đồng thời nâng cao trình độ bản thân ,tôi còn phải tự bồi dưỡng ,học hỏi đồng nghiệp nhiều hơn nữa.
 *****************************