Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 8 - Vẽ đường phụ trong chứng minh hình học

VEÕ ÑÖÔØNG PHUÏ TRONG CHÖÙNG MINH HÌNH HOÏC
I-Mục Tiêu:
-Học xong chủ đề này học sinh biết Giải một số bài toán trong SGK
Kỹ năng trình bày bài toán, kỹ năng tìm ra hướng giải một bài tập.
II- Thời lượng: 4 tiết
III-Kiến thức:
A- MỘT SỐ VÍ DỤ HÌNH THÀNH NÊN PHƯƠNG PHÁP:
Thông thường cách vẽ đường phụ xuất phát từ cách tìm kiếm lời giải bằng phân tích đi lên
Vẽ đường phụ để liên kết những yếu tố đã cho với nhau : Đẩy chúng về phía nhau , tạo ra hình trung gian 
Vẽ đường phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết ( dựa vào kiến thức đã học )
Vẽ đường phụ để sử dụng một phương pháp nào đó đặc biệt để giải : Phương pháp tam giác đồng dạng , phương pháp diện tích ; phương pháp tứ giác nội tiếp ( lớp 9 ) hoặc phương pháp đại số v. v .
IV: Tài liệu tham khảo:
1. Vẽ các yếu tố phụ để giải toán hình ( NXB DG)
2.SGk toán 7-8
C¸ch 1: VÏ trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng, vÏ tia ph©n gi¸c cña mét gãc.
Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB. VÏ DH vu«ng gãc víi BC( H Î BC) th× DH = 4cm.
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC c©n t¹i A.
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB. VÏ DH vu«ng gãc víi BC( H Î BC) vµ DH = 4cm.
Yªu cÇu chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A.
2) H­íng suy nghÜ:
A
B
C
H
K
D
DABC c©n t¹i A Û AB = AC. Ta nghÜ ®Õn ®iÓm phô K lµ trung ®iÓm cña AB. VËy yÕu tè phô cÇn vÏ lµ trung ®iÓm cña BC.
3) Chøng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ; DH ^ BC
DH = 4 cm
KL
D ABC c©n t¹i A.
Gäi K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC, ta cã: BK = KC =cm.
L¹i cã: BD == 5 cm ( do D lµ trung ®iÓm cña AB)
XÐt D HBD cã: BHD = 900 ( gt), theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã:DH2 + BH2 = BD2
Þ BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9 Þ BH = 3 ( cm)
Tõ ®ã: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
Þ DH // AK ( ®­êng nèi trung ®iÓm 2 c¹nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø 3).
Ta cã: DH ^ BC, DH // AK Þ AK ^ BC.
XÐt D ABK vµ DACK cã:
BK = KC ( theo c¸ch lÊy ®iÓm K)
AKB = AKC = 900
AK lµ c¹nh chung
Þ D ABK = DACK (c – g- c)
Þ AB = AC Þ D ABC c©n t¹i A.
Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC cã ; chøng minh r»ng: AB = AC?( Gi¶i b»ng c¸ch vËn dông tr­êng hîp b»ng nhau gãc - c¹nh - gãc cña hai tam gi¸c).
 !) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho: tam gi¸c ABC cã ; Yªu cÇu: chøng minh r»ng: AB = AC.
A
B
C
I
1
2
1
2
A
B
C
I
1
2
2) H­íng suy nghÜ: 
§­êng phô cÇn vÏ thªm lµ tia ph©n gi¸c AI cña BAC (IÎ BC)
3) Chøng minh: 
GT
DABC; 
KL
AB = AC
1
VÏ tia ph©n gi¸c AI cña BAC (IÎ BC).
Þ. (1) 
 Mµ ( gt) 
Þ (2)
XÐt D ABI vµ D ACI ta cã:
( theo (2))
C¹nh AI chung
( theo (1))
Þ D ABI = D ACI ( g -c - g) 
Þ AB = AC (2 c¹nh t­¬ng øng)
4) NhËn xÐt:
 Trong c¸ch gi¶i trªn, ta ph¶i chøng minh AB = AC b»ng c¸ch kÎ thªm ®o¹n th¼ng AI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC ®Ó t¹o ra hai tam gi¸c b»ng nhau.
C¸ch 2: Trªn mét tia cho tr­íc, ®Æt mét ®o¹n th¼ng b»ng ®o¹n th¼ng cho tr­íc.
Bµi to¸n 3: Chøng minh ®Þnh lÝ: Trong tam gi¸c vu«ng, trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn ( Bµi 25/ 67- SGK to¸n 7 tËp 2)
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AM lµ ®­êng trung tuyÕn øng víi c¹ng huyÒn, yªu cÇu chøng minh: 
2) H­íng suy nghÜ: 
Ta cÇn t¹o ra ®o¹n th¼ng b»ng 2.AM råi t×m c¸ch chøng minh BC b»ng ®o¹n th¼ng ®ã. Nh­ vËy dÔ nhËn ra r»ng, yÕu tè phô cÇn vÏ thªm lµ ®iÓm D sao cho M lµ trung ®iÓm cña AD.
3) Chøng minh:
GT
B
A
C
M
D
1
1
2
DABC; ;
AM lµ trung tuyÕn
KL
 Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho: MD = MA.
XÐt D MAC vµ D MDB ta cã:
MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D)
M1 = M2 ( v× ®èi ®Ønh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAC = D MDB ( c - g - c) 
Þ AB = CD (2 c¹nh t­¬ng øng) (1)
vµ (2 gãc t­¬ng øng).
Þ AB // CD ( v× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau)
L¹i cã: AC ^ AB ( gt) 
Þ AC ^CD (Quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc) hay (2)
XÐt D ABC vµ D CDA cã:
AB = CD ( Theo (1))
( Theo (2))
AC lµ c¹nh chung
Þ D ABC = D CDA ( c - g - c) 
Þ BC = AD (2 c¹nh t­¬ng øng) Mµ Þ 
Bµi to¸n 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. So s¸nh BAM vµ MAC ?( Bµi 7/ 24 SBT to¸n 7 tËp 2)
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho tam gi¸c ABC cã AB < AC, M lµ trung ®iÓm cña BC. 
Yªu cÇu : So s¸nh BAM vµ MAC?
2) H­íng suy nghÜ: 
Hai gãc BAM vµ MAC kh«ng thuéc vÒ mét tam gi¸c. Do vËy ta t×m mét tam gi¸c cã hai gãc b»ng hai gãc BAM vµ MAC vµ liªn quan ®Õn AB, AC v× ®· cã AB < AC. Tõ ®ã dÉn ®Õn viÖc 
lÊy ®iÓm D trªn tia ®èi cña tia MA sao cho MD = MA. §iÓm D lµ yÕu tè phô cÇn vÏ thªm ®Ó gi¶i ®­îc bµi to¸n nµy.
B
A
 C
§
M
2
1
1
2
3) Lêi gi¶i: 
GT
DABC; AB < AC
M lµ trung ®iÓm BC
KL
So s¸nh BAM vµ MAC?
Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho: MD = MA.
XÐt D MAB vµ D MDC ta cã:
MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D)
M1 = M2 ( v× ®èi ®Ønh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAB = D MDC ( c - g - c) 
Þ AB = CD (2 c¹nh t­¬ng øng) (1)
vµ (2 gãc t­¬ng øng). (2)
Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt) ÞCD < AC. (3) 
XÐt DACD cã: 
 CD < AC ( theo (3))
 (Quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong mét tam gi¸c)
Mµ ( theo (2))
hay BAM < MAC.
C¸ch 3: Nèi hai ®iÓm cã s½n trong h×nh hoÆc vÏ thªm giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng.
B
A
C
D
Bµi to¸n 5: Cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bµi 38/ 124 SGK To¸n 7 tËp 1)
( Bµi to¸n cßn ®­îc ph¸t biÓu d­íi d¹ng: Chøng minh ®Þnh lÝ: 
Hai ®o¹n th¼ng song song bÞ ch¾n gi÷a hai ®­êng th¼ng song song th× b»ng nhau)
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
 Bµi cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD. 
Yªu cÇu chøng minh: AB = CD, AC = BD.
2) H­íng suy nghÜ:
®Ó chøng minh AB = CD, AC = BD cÇn t¹o ra tam gi¸c chøa c¸c cÆp c¹nh trªn, yÕu tè phô cÇn vÏ lµ nèi B víi C hoÆc nèi A víi D.
3) Chøng minh:
GT
B
A
C
D
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
XÐt D ABD vµ D DCA cã:
BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
AD lµ c¹nh chung
ADB = DAC( so le trong AC // BD)
Þ D ABD = D DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( c¸c c¹nh t­¬ng øng)
C¸ch 4: Tõ mét ®iÓm cho tr­íc, vÏ mét ®­êng th¼ng song song hay vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng.
Bµi to¸n 6: Tam gi¸c ABC cã ®­êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng nhau. Chøng minh r»ng D ABC lµ tam gi¸c vu«ng vµ D ABM lµ tam gi¸c ®Òu?
1) Ph©n tÝch bµi to¸n: 
Bµi cho D ABC cã ®­êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng nhau. Yªu cÇu ta chøng minh D ABC lµ tam gi¸c vu«ng vµ D ABM lµ tam gi¸c ®Òu.
 2)H­íng suy nghÜ: 
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
Muèn chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ta cÇn kÎ thªm ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AC vµ chøng minh ®­êng th¼ng ®ã song song víi AB, tõ ®ã suy suy ra AB ^ AC vµ suy ra 
= 900.
3) Chøng minh: 
GT
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyÕn AM;
KL
D ABC vu«ng ;
D ABM ®Òu
VÏ MI ^ AC ( I Î AC)
XÐt D MAI vµ D MAH cã:
( gt)
AM lµ c¹nh chung) Þ D MAI = D MAH ( c¹nh huyÒn - gãc nhän)
 (gt) 
Þ MI = MH ( 2 c¹nh t­¬ng øng) (1)
XÐt D ABH vµ D AMH cã:
( gt)
AH lµ c¹nh chung Þ D ABHI = D AMH ( g - c - g)
( gt)	 Þ BH = MH ( 2 c¹nh t­¬ng øng) (2)
MÆt kh¸c: H Î BM , Tõ (1) vµ (2) Þ 
XÐt D vu«ng MIC cã: nªn tõ ®ã suy ra: HAC = 600 .
Þ .
VËy D ABC vu«ng t¹i A.
V× ; 
L¹i cã AM = ( tÝnh chÊt trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn trong tam gi¸c vu«ng)
 D ABM c©n vµ cã 1 gãc b»ng 600 nªn nã lµ tam gi¸c ®Òu.
Bµi to¸n 7: Cho tam gi¸c ABC ( AB < AC). Tõ trung ®iÓm M cña BC kÎ ®­êng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t tia nµy t¹i H, c¾t tia AB t¹i D vµ AC t¹i E. Chøng minh r»ng: BD = CE.
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho D ABC ( AB < AC). Tõ trung ®iÓm M cña BC kÎ ®­êng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t tia nµy t¹i H, c¾t tia AB t¹i D vµ AC t¹i E.
Yªu cÇu chøng minh: BD = CE.
2) H­íng suy nghÜ: 
D
A
B
C
H
M
F
E
Muèn chøng minh BD = CE, ta t×m c¸ch t¹o ra ®o¹n th¼ng thø ba,råi chøng minh chóng b»ng ®o¹n th¼ng thø ba ®ã. §­êng phô cÇn vÏ thªm lµ ®­êng th¼ng qua B vµ song song víi AC c¾t DE ë F, BF chÝnh lµ ®o¹n th¼ng thø ba ®ã.
3) Chøng minh:
GT
DABC;AB < AC; 
AH lµ tia ph©n gi¸c BAC
DE ^ AH ;
KL
BD = CE
VÏ ®­êng th¼ng qua B vµ song song víi AC, gäi F lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng nµy víi ®­êng th¼ng DE.
XÐt D MBF vµ D MCE cã: 
MBF = MCE ( so le trong cña BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( ®èi ®Ønh)
Þ D MBF = D MCE (g - c - g)
Þ BF = CE ( 2 c¹nh t­¬ng øng) (1)
MÆt kh¸c D ADE cã AH ^ DE vµ AH còng lµ tia ph©n gi¸c cña DAE ( gt)
Do ®ã: D ADE c©n t¹i A Þ BDF = AED 
Mµ BF // CE ( theo c¸ch vÏ) Þ 
Do ®ã: BDF = BFD 
D BDF c©n t¹i B
BF = BD (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: BD = CE
C¸ch 6: Ph­¬ng ph¸p “ tam gi¸c ®Òu”
Bµi to¸n 8: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, A = 200. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = BC. Chøng minh r»ng DCA = 
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho DABC c©n t¹i A, = 200 ; AD = BC ( D ÎAB)
A
B
C
D
M
Yªu cÇu chøng minh: = .
2) H­íng suy nghÜ: 
®Ò bµi cho tam gi¸c c©n ABC cã gãc ë ®Ønh lµ 200, 
suy ra gãc ë ®¸y lµ 800. 
Ta thÊy 800 - 200 = 600 lµ sè ®o mçi gãc cña 
tam gi¸c ®Òu Þ VÏ tam gi¸c ®Òu BMC
3) Chøng minh:
GT
DABC; AB = AC; A = 200
AD = BC (D ÎAB)
KL
DCA = .
Ta cã: DABC; AB = AC; A = 200 ( gt)
Suy ra: 
VÏ tam gi¸c ®Òu BCM ( M vµ A cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê BC), 
ta ®­îc: AD = BC = CM.
D MAB = D MAC ( c - c - c) Þ = 200 : 2 = 100
 = 800 -600 = 200
XÐt DCAD vµ DACM cã:
AD = CM ( chøng minh trªn)
AC lµ c¹nh chung
Þ DCAD = DACM ( c - g - c )
Þ = 100, do ®ã: = 
Bµi to¸n 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, = 150. Trªn tia BA lÊy ®iÓm O sao cho 
BO = 2 AC. Chøng minh r»ng tam gi¸c OBC c©n.
1) Ph©n tÝch bµi to¸n:
Bµi cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, = 150. Trªn tia BA lÊy ®iÓm O sao cho BO = 2 AC. 
Yªu cÇu chøng minh D OBC c©n t¹i O.
2) H­íng suy nghÜ: 
Ta thÊy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600 lµ sè ®o cña mçi gãc trong tam gi¸c ®Òu Þ sö dông ph­¬ng ph¸p tam gi¸c ®Òu vµo viÖc gi¶i bµi to¸n.
3) Chøng minh:
GT
O
B
H
A A
C
M
DABC; = 900; = 150
O Î tia BA: BO = 2AC
KL
D OBC c©n t¹i O.
Ta cã: DABC; = 900; = 150 (gt)
Þ = 750
VÏ tam gi¸c ®Òu BCM 
( M vµ A cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê BC)
Ta cã: OBM = 150
Gäi H lµ trung ®iÓm cña OB th× D HMB = D ABC ( c – g- c)
Þ = 900
Þ D MOB c©n t¹i M Þ BMO = 1500
Þ CMO = 3600 ( 1500 + 600 ) = 1500
DMOB = DMOC ( c - g - c) Þ OB = OC, vËy D OBC c©n t¹i O.
B . Bµi t©p luyÖn tËp
Baøi 1:Cho hình thang vuoâng ABCD () coù DC =2AB =BC. Tính soá ño goùc ABC.
Gôïi yù: Veõ hình xong ta döï ñoaùn raèng tam giaùc BDC ñeàu. Ñeå chöùng minh tam giaùc BDC ñeàu ta chæ caàn chöùng minh tam giaùc BDC caân taïi ñænh B laø ñuû.
Ta veõ theâm ñöôøng phuï BH vuoâng goùc vôùi DC ( H thuoäc DC) Neáu ta chöùng minh ñöôïc BH laø trung tuyeán cuûa tam giaùc BDC thì suy ra tam giaùc BDC laø tam giaùc ñeàu vì vöøa caân taïi C vöøa caân taïi B.
Baøi 2 : Cho töù giaùc loài ABCD coù AB vaø CD khoâng song song vôùi nhau. Goïi M , N laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, AD. Chöùng minh raèng: MN <
HD: ( veõ trung ñieåm I cuûa caïnh BC).
Baøi 3 : Cho töù giaùc ABCD ( AB khoâng song song vôù CD). Giaû söû M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD thoûa maõn MN= . Chöùng minh ABCD laø hình thang.
HD: ( veõ trung ñieåm I cuûa caïnh BD).
Baøi 4: Cho goùc vuoâng xOy, ñieåm A thuoäc tia Ox sao cho OA = 3cm. Laáy ñieåm B laø moät ñieåm baát kì thuoäc tia Oy. Goïi C laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua B. Khi B di chuyeån treân tia Oy thì ñieåm C di chuyeån treân ñöôøng naøo?
HD: Deã thaáy raèng neáu veõ theâm CD vuoâng goùc Oy ( D thuoäc Oy), Chöùng minh CD coù ñoä daøi khoâng ñoåi. Töø ñoù seõ coù lôøi giaûi baøi toaùn.