Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Dương Đình Dũng (Có đáp án)

 đề thi vào lớp 10 - lam sơn
môn: toán học - Thời gian 150 phút
người ra đề : dương đình dũng
Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng n N* ta có
= 
b) Tính tổng
S = 
Câu 2: (2 điểm)
Tìm trên đường thẳng y = x + 1 những điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn 
y2 - 3y + 2x = 0
Câu 3: (1 điểm)
Tìm n Z sao cho n2 + 2006 là số chính phương
Câu 4: (2 điểm)
Cho đường (0, R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đường tròn (0) sao cho 0A = 2R. Tìm điểm M (0) sao cho P = MA + 2MB nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, đường vuông góc với AC tại C cắt AB và AD lần lượt tại E và F. Chứng minh :BE + DF= AC
Câu 6: (1 điểm)
Tìm x, y , z N* sao cho x + y + z = xyz
Hớng dẫn chấm
Câu 1:
a) ta có 
= 
b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2n = 99.
Ta có 
..
-------------------------------------- cộng theo từng vế
S = 1 - 
Vậy S = 
1.0
0.25
0.5
Câu 2: Điều kiện : x 0
Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của 
Hệ 
Giải (2) ta có y1 = 2
 y2 = 
Với y1 = 2 (1) trở thành x + 1 = ú (2 = 0 ú x = 1
Với y2 = (1) trở thành x + 1 = ú x - + 1 = 0
 ú (-)2 + = 0 vô n0
vậy điểm M cần tìm: M (1, 2) 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3:
Giải sử n2 + 2006 là số chính phơng => n2 + 2006 = m2 (m Z)
Ta có m2 - n2 = 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006
Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m2, n2 khác tính chẵn lẻ => m2 - n2 là số lẻ => vô lí
Hay m, n cùng tính chẵn lẻ
Khi đó 
Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n N để 
n2 + 2006 là số chính phơng
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4: 
Gọi C là giao điểm của 0A và (0)
I là trung điểm 0C => I cố định
Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA
Có góc Ô chung.
 (gt)
=> tam giác 0IM ~ tam giác 0MA => AM = 2IM.
Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI không đổi
Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng.
KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng. Khi đó M là giao điểm của BI và (0).
0.25
0.25
0.25
0.254
Câu 5:
áp dụng định lý ta lét
nhân 2 vế với AE.AF ta có
BE. AF + AE.DF = AE. AF
Lại có AE. AF = AC . EF = 2 SAEF
Nên BE. AF + AE . DF = AC. EF (1)
Mặt khác: AF2 = CP . EF => AF = 
 DF2 = CE. EF -> DF = 
Thay vào (1): BE
ú BE + DF = AC
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 6: 
Ta có : x, y, z N*
x + y + z = xyz ú (1)
Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử
1 x y z nên (1) 1 = 
 -> x2 3 do x N* => x = 1
khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2
do => => 
vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3
0.25
0.25
0.25
0.25