Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Vinh Xuân (Có đáp án)

Trường THCS Vinh Xuõn
Đề thi học sinh giỏi lớp 8
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu1:( 5điểm)
1.Chứng minh rằng: (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ.
2.So sánh :Với 
Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.
Chứng minh : a2+b2+c2+2abc<2.
Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,zZ+ thỏa mãn các phương trình sau:
1/ xy-4x=35-5y
2/ x+y+z=xyz
Câu 4:(4điểm)
1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x2+5y2
2/ Cho a+b=1 Chứng minh: 
Câu 5: (4điểm) Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đường thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E).
 Chứng minh : Các đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy.
 Hết.
đáp án
Câu 1:
1 Biến đổi: B= (a+b+c)3 -(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a)3
* a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B8
* a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B8
Mà (3;8)=1B 
2: Ta có: = 
A==<
Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0a<1,b<1,c<1
 (1-a) (1-b)(1-c)>01-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0
 -1+
-1+
1Hay : a2+b2+c2+2abc<2.
Câu 3:
1/ Biến đổi phương trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trường hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)
 2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x
 Suy ra : xyz=x+y+z (*)
 Nếu x=y=z Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba
Sốkhông bằng nhau.
Từ (*)hoặc xy=2. Nếu xy=1(vì x,y)
(vô lí ). Nếu xy=2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3
Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó.
Câu 4: 1/Có x= khi đó M==
Vậy Mmin =5 khi y=
 2/Có a=1-b 
Vế trái :
= Suy ra ddpcm
Câu 5:
Goi giao điểm của EM và DC ; FM 
và BC ; BF và DE lần lượt là E/ ;F/ và O
Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/ 
bằng nhau 
(1).
Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật 
CF/FD.Tương tự có:FBlà trực tâm tam giác CEF(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy.
 .