Đề thi học sinh giỏi giao lưu Toán Lớp 8 - Trường THCS Phú Cát

đề THI HS GIỏI GIAO LƯU LớP 8 THCS PHú CáTMÔN:TOáN
Bài 1(4đ)
a Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản "nẻN ;
b,Cho phân số (nẻN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Bài 2 (4đ)
 a, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
 b, Chứng minh rằng số:
	a = không phải là một số nguyên.
Bài 3:(4đ) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .
Rút gọn phân thức :
Bài 4:(4 điểm) 	Giải phương trình:
	1) 	(x+1)4 + (x+3)4 = 16
	2) 	
Bài 5:(4 điểm)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông?
Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ABCD và MNPQ.
Đáp án
Bài 1(mỗi ý đúng 2đ)
Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ị 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d ị d = 1.
 Vậy phân số là phân số tối giản.
Ta có . Để A chưa tối giản thì phân số phải chưa tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29 
ị n + 5 =29k (k ẻ N) hay n=29k – 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 
ị 1 ≤ k ≤ 69 hay kẻ{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. 
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690.
Bài 2 (4đ)mỗi ý đúng 2đ
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 hay x = A = . A đạt GTLN là 4 
b,Ta có:
	a = 	 
	= ; 	 
	Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên 	
Bài 3 : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1đ)
 B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1đ) 
 2) (2đ) 
 Bài 4:(4 điểm) 	Giải phương trình:
Đặt y = x + 2 ta được phương trình: 
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 
y4 + 6y2 -7 = 0	 1 điểm
Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là
 z1 = 1 và z2 = -7.	 1 điểm
y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 không có nghiệm.	 
	2) 	
	 1 điểm
	= 0 	 
	Vì 	 1 điểm
Bài 5:(4 điểm)
Vẽ hình, viết giả thiết - kết luận đúng	0.5 điểm
b
c
a
d
q
p
n
m
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành	 	 1 điểm
b) MNPQ là hình vuông khi và chỉ khi AC = BD, ACBD	 1 điểm
c) 	SABCD =; 	SMNPQ =;	0.5 điểm
	1 điểm