Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Trực Ninh (Có đáp án)

PHềNG GD-ĐT TRỰC NINH
TRƯỜNG THCS TRỰC BèNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MễN TOáN 8
NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài 120 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề)
Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = 
	a) Rút gọn biểu thức A
	b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình: 
	a) 
	b) 
Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.
 Chứng minh rằng: = 0
Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x ẻ Q thì giá trị của đa thức :
 M = là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
----------------------------------------------Hết-------------------------------------------------
Hướng dẫn chấm toán 8
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
- Rút gọn: A = = 
 = 
1điểm
1điểm
b
Với mọi x ≠ - 1 thì A = = 
Vì 
1điểm
1điểm
2
a
* Với x³ 1 (*) ị x - 1 ³ 0 ị ta có phương trình 
 x2 -3x + 2 + x-1 = 0 ( Thoả mãn điều kiện *)
* Với x< 1 (**) ị x - 1 Ê 0 ị ta có phương trình 
 x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 
 + x - 1 = 0 ( Không thỏa mãn điều kiện **)
 + x - 3 = 0 ( Không thoả mãn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1
1điểm
1điểm
b
* Điều kiện x ≠ 0 (1)
* pt 
 hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8 
0.5điểm
1điểm
0.5điểm
3
Ta có vì xy ạ 0 ị x, y ạ 0 ị x, y ạ 0 ị y-1ạ 0 và x-1 ạ 0
1điểm
1điểm
1điểm
4
Ta có: M = 
Đặt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( đpcm)
1điểm
1điểm
1điểm
a
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1.5điểm
1điểm
b
Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông cân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
1.5điểm
1điểm
c
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
Do đó: 
1điểm
b
* Điều kiện x ≠ 0 (1)
* pt 
 hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8 
0.5điểm
1điểm
0.5điểm