Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 
NĂM HỌC 2019-2020
Môn: Toán-Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 02 trang

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 318 mà chia hết cho 7?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng . Nếu tăng chiều rộng thêm , giảm chiều dài thì diện tích mảnh đất tăng thêm . Tính diện tích mảnh đất khi chưa thay đổi kích thước.
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 4 Với thì biểu thức được rút gọn bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 5 Phân tích đa thức ta được kết quả
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 6 Cho là một nghiệm của đa thức . Tính giá trị của biểu thức .
A. 
B. 
C. 
D. 	
Câu 7. Cho biểu thức . Biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 8. Cho hình vuông cạnh . Gọi là điểm trên cạnh , lấy điểm trên cạnh sao cho . Tia MN cắt đường thẳng tại điểm . Tính độ dài đoạn thẳng theo 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 9. Một bác nông dân có rào thép B40. 
Bác ấy muốn rào một sân vườn hình chữ nhật, 
bằng cách tận dụng một chiều dài của hình 
chữ nhật là bờ tường có sẵn, chỉ có ba mặt 
là bờ rào bằng thép. Hỏi diện tích sân vườn
 lớn nhất có thể là bao nhiêu? 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 10. Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là và .Tính chu vi hình thoi đã cho.
A. 
B. 
C. 
D. 

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,5 điểm)
Bài 1 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn .
c) Cho các số nguyên thỏa mãn và biểu thức . Chứng minh rằng 
Bài 2 (2,0 điểm). 
a) Giải phương trình 
b) Giải phương trình 
Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân có các đường cao cắt nhau tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Gọi là giao ba đường trung trực của tam giác . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức 
Bài 4 (0,5 điểm) 
	Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
-------------- Hết--------------
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: .................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT 
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8
ĐỀ THI CHỌN HSNK
NĂM HỌC 2019-2020
Hướng dẫn chấm có 06 trang

Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi cán bộ chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
Đáp án – thang điểm
(Mỗi câu trả lời đúng 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
`10
Đáp án
B
D
B
A
D
C
A
B
C
A
Câu 1. Dãy các số tự nhiên chia hết cho 7 và nhỏ hơn 318 là . 
Do đó có tất cả . Chọn phương án B.
Câu 2 
Chọn phương án D
Câu 3 
Gọi chiều rộng là chiều dài là 
Từ giả thiết suy ra 
Giải được 
Do đó diện tích mảnh đất khi chưa thay đổi kích thược bằng 
Chọn phương án B.
Câu 4. Vớii thì biểu thức 
Chọn phương án A.
Câu 5 Ta có 
Chọn phương án D.
Câu 6 Ta có 
Theo bài ra . Thực hiện biến đổi được 
Chọn phương án C.
Câu 7. 
Ta có 
Chọn phương án A.
Câu 8. 
Theo ĐL Ta-let 
Chọn phương án B.
Câu 9. 
Gọi chiều dài là , chiều rộng là .
Khi đó 
Diện tích sân vườn là 
Mặt khác 
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Từ đó suy ra
Khi 
Chọn phương án C.
Câu 10. 
Theo định lí Pi-ta-go độ dài mỗi cạnh hình thoi là 
Do đó chu vi hình thoi đã cho là 
Chọn phương án A.
Nội dung trình bày
Điểm
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn .
c) Cho các số nguyên thỏa mãn và biểu thức . Chứng minh rằng 
2,5
a) Với ta có 

0,25

0,25

0,25

0,25
b) Ta có 
(do nên )
0,25


Vì nên 
Mặt khác lẻ do đó 

0,25

Thử lại thu được 
Vậy 
Lưu ý: Không trừ điểm nếu quên kết luận. 
0,25
c) Ta có 
Do đó	
 
0,25
0,25
Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên
Do đó do đpcm.	

0,25
Bài 2 (2,0 điểm). 
a) Giải bất phương trình 	
b) Giải phương trình 
2,0
a) ĐKXĐ: 
0,25
Khi đó 
0,25
	
0,25
Kết hợp ĐKXĐ bất phương trình có nghiệm là 

0,25
b) Ta có

0,25

0,25

0,25
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 
0,25
Bài 3 (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân có các đường cao cắt nhau tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của .
c) Gọi là giao ba đường trung trực của tam giác . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các cạnh theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức 
a) 
Ta có (vì là các đường cao của )

0,25
Xét và có
chung
(chứng minh trên)
0,25
Do đó ∽ (g-g)
0,25
 Suy ra đpcm.
0,25
b) Gọi là trung điểm của . Ta cần chứng minh thẳng hàng.
0,25
 Dễ dàng chỉ ra được các tam giác vuông, 
0,25
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có

0,25
Suy ra là trung trực của , do đó qua đpcm.
0,25
c) Gọi là điểm đối xứng với qua . 
Theo tính chất đối xứng và giao điểm của 3 đường trung trực
lần lượt vuông tại .
0,25
Suy ra 
là hình bình hành.

Do đó thẳng hàng.
Từ đó suy ra là đường trung bình của 
Chứng minh tương tự 

0,25

Do đó 
Bài 4 (0,5 điểm) Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Với là độ dài ba cạnh tam giác ta có
Áp dụng BĐT trên khi ta có 

0,25
Mặt khác 
Chứng minh tương tự ta có 

Do đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi 
0,25
----------------------Hết----------------------