Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Lê Thị Thảo

Phòng GD & ĐT Đam Rông Đề cương ôn tập toán lớp 8
Trường THCS Liêng Srônh Năm học 2009 - 2010
ĐẠI SỐ
A. đa thức:
I. Nhân đa thức:
1. Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với từng hạng tử của đa thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2.
2. Nhõn đa thức với đa thức
 + Nhõn đa thức với đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này lần lượt với cỏc 
hạng tử của đa thức kia.(rồi thu gọn nếu có thể)
 (A + B)(C - D) = A(C - D) + B(C - D) = AC - AD + BC - BD .
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -x(2x2+1) =  b/ 2x2(5x3 - x - ) =
c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y - 2xy)(-3x2y) =
e/ (2x + y)(2x - y) =  f/ (xy - 1)(xy + 5) = 
II. Chia đa thức:
1.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
 am : an = am - n ví dụ: x3: x2 = x
2. Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luỹ thừa cùng cơ số
 với nhau.
+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 .y:y0 = - 5x y
3. Chia đa cho đơn thức : 
Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b - 2ab.
4)Chia đa thức một biến đó sắp xếp: 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức bị chia, cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia
+ Tìm đa thức dư thứ nhất, 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức dư , cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia,
+ Tìm đa thức dư thứ hai,
Dừng lại khi hạng tử bậc cao nhất của đa thức dư có bậc bé hơn bậc của hạng tử bậc 
cao nhất của đa thức chia .
 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
 2x4- 8x3- 6x2
 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3
 - 5x3+ 20x2+10x
 - x2 - 4x - 3
 - x2 - 4x - 3
 0
 x2- 4x - 3
 2x2 - 5 x + 1
5. Hằng đẳng thức đáng nhớ:
 u-BèNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 v-BèNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 w-HIỆU HAI BèNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 x-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 y-HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
 z-LẬP PHƯơNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3
 { -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3
 Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =
d/ (x - 7)2 =  e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x - 1)2 = 
g/ x2 - (2y)2 =  h/ x2 - 1 =  i/ 4x2 - 9y2 =
k/ x3 - 1 = l/ 8 + x3 = m/ 8x3 + 27 =
n/ ( x +1)3 = p/ ( x - 2)3 =
6) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : 
Phương phỏp đặt nhõn tử chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thương của các hạng tử tương ứng với nhân tử chung 
Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x - 1).
 b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
 + Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
 jDạng 3 hạng tử: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 
 Ví dụ: x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2
 kDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình phương của một biểu thức:
 A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 Ví dụ: x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
lDạng hai hạng tử với phép tính cộng, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức 
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 Chú ý: “Bình bình phương thiếu của hiệu”
 Ví dụ: x3 + 1 = (x +1)(x2 - x +1)
mDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức
 A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
Ví dụ: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1). 
Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
 (Thường dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
 + áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - 3 = ( 2x3 + 2x) - (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) - 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x - 3)
 4. Phối hợp nhiều phương phỏp
+ Trước hết nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Tuỳ đó để sử phương pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y + 4) = 3x(y - 2)2 = 3xy( x -1 - y - a)(x - 1 + y + a)
Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 1 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2 
7/ x2- 4 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2
10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x 13/ x2+7x + 6 14/ x2 + 8x – 9 	 15/ x3 +1.
B. phân thức:
1. Khái niệm:
+ Phân thức có dạng: ; trong đú A, B là những đa thức và B khỏc đa thức 0 .
+ Tập xác định: Là những giá trị của biến làm cho mẫu khác 0.
Để tìm tập xác định (TXĐ) ta giải bài toán dạng tìm x biết, rồi loại bỏ giá trị đó trên tập R
Ví dụ: 
* Tìm TXĐ của : Ta giải bài toán: Tìm x biết 
Rồi loại bỏ giá trị trong tập R, ta được TXĐ: hoặc viết gọn TXĐ:
2. Tính chât cơ bản:
* Tớnh chất cơ bản của phõn thức : = => A ã D = B ã C
 = ( M 0 ) ; = (N là nhõn tử chung)
 * Qui tắc đổi dấu:
+ Đổi dấu cả tử và mẫu: = 
+ Đổi dấu phân thức và đổi dấu tử: = 
+ Đổi dấu phân thức và đổi dấu mẫu: 
3. Rút gọn phân thức: Phương pháp:
+ Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.( tìm nhân tử chung)
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ: Rút gọn phân thức:
* 
4. Quy đồng mẫu thức: Phương pháp:
žTìm mẫu chung:
+ Phân tích: - Phần hệ số thành thừa số nguyên tố.
- Phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung: - Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu.
- Phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
 žTìm nhân tử phụ:
+ Lấy MC chia cho từng mẫu ( đã phân tích thành nhân tử)
 žNhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ tương ứng. Ta được các phân thức mới có mẫu giống nhau.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
 và 
Giải: 
MC: 
 và 
5. Cộng Trừ phân thức: Phương pháp:
 — Quy đồng mẫu.
 — Cộng (hoặc) Trừ tử với tử; mẫu chung giữ nguyên.
 — Bỏ ngoăc bằng phương pháp nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
 — Thu gọn ( cộng trừ các hạng tử đồng dạng)
 — Phân tích tử thành nhân tử (nếu có thể). 
Ví dụ: +
6. Nhân phân thức: Phương pháp:
+ Lấy Tử nhân tử; Mẫu nhân mẫu. Rồi rút gọn nếu có thể. 
Ví dụ: 
7. Chia phân thức:
1. Phân thức nghịch đảo: Nghịch đảo của là .
2. Chia phân thức: . Rồi rút gọn nếu cóthể.
Ví dụ: 
 .
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm tập xác định của các phân thức sau: 
a/ b/ c/ d/ e/ 
 2. rút gọn biểu thức:
j k l 
m n o
3. Tính:
j + k - l 
m n o p q r
 Hình Học:
HèNH THANG CÂN: 
PHƯƠNG PHÁP: 
Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang.
Hai gúc kề một đỏy bằng nhau hoặc hai đường chộo bằng nhau.
BÀI TẬP: 
BÀI 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia AC lấy điểm D, trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Tứ giỏc DECB là hỡnh gớ? Vỡ sao?
BÀI 2: Tứ giỏc ABCD cú AB = BC = AD, . Chứng minh rằng: 
a, DB là tia phõn giỏc của gúc D.
b, ABCD là hỡnh thang cõn.
HèNH BèNH HÀNH: 
PHƯƠNG PHÁP:
- Thường sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh bỡnh hành về cạnh đối hoặc về đường chộo. 
BÀI TẬP: 
BÀI 1: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Vẽ cỏc điểm M, N sao cho D là trung điểm của GM, E là trung điờm của GN. Chứng minh rằngBNMC là hỡnh bỡnh hành.
BÀI 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Gọi O là trung điểm của DE, gọi K là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng ADKE là hỡnh bỡnh hành.
BÀI 3: Cho tam giỏc ABC cú . Ở phớa ngoài tam giỏc ABC, vẽ cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC cú chứa A, vẽ tam giỏc đều BCK. Chứng minh rằng ADKE là hỡnh bỡnh hành.
HèNH CHỮ NHẬT: 
PHƯƠNG PHÁP: sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh chữ nhật.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Chứng minh rằng cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc của hỡnh bỡnh hành cắt nhau tạo thành một hỡnh chữ nhật và đường chộo của hỡnh chữ nhật này song song với cạnh của hỡnh bỡnh hành.
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm cỏc cạnh AB. BC. CD, DA. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, cỏc đường trung tuyến BM, CN, cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giỏc BEDC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC.
Tứ giỏc ADME là hỡnh gỡ? Vỡ sao? Tớnh chu vi của tứ giỏc đú.
Điểm M ở v trớ nào trờn cạnh BC thỡ đoạn thẳng DE cú độ dài nhỏ nhất?
HèNH THOI: 
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh thoi.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Chứng minh rằng trung điểm cỏc cạnh của một hỡnh thang cõn là cỏc đỉnh của một hỡnh thoi.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC. Qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ cỏc đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.
 a, Tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
 b, Điểm D ở vị trớ nào trờn BC thỡ AEDF là hỡnh thoi?
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD cú , cỏc tia DA và CB cắt nhau tại E, cỏc tia AB và DC cắt nhau tại F. 
 a, Chứng minh rằng .
 b, Tia phõn giỏc của gúc E cắt AB, CD theo thứ tự ở I và K. Chứng minh rằng GKHI là hỡnh thoi.
Bài 4: Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F là chõn đương vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC. Gọi I là trung điểm AM, D là trung điểm của BC.
 a, Tớnh số đo cỏc gúc DIE và DIF.
 b, Chứng minh rằng DEIF là hỡnh thoi.
HèNH VUễNG: 
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng dấu hiệu nhận biết
Cỏch 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh chữ nhật cú thờm một trong cỏc dấu hiệu: hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chộo vuụng gúc, một đường chộo là dường phõn giỏc của một gúc.
Cỏch 2: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thoi cú thờm một trong cỏc dấu hiệu: một gúc vuụng, hai đường chộo bằng nhau.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Cho hỡnh thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chộo. Cỏc tia phõn giỏc của bốn gúc đỉnh O cắt cỏc cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Chứng minh rằng EFGH là hỡnh vuụng.
Bài 2: Cho đoạn thẳng AM. Trờn đường vuụng gúc với AM tại M, lấy điểm K sao cho . Kẻ MB vuụng gúc với AK (B AK). Gọi C là điểm đối xứng với B qua M. Đường vuụng gúc với AB tại A và vuụng gúc với BC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh vuụng.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Gọi M, N theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giỏc AMDN là hỡnh vuụng.
Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự cỏc điểm E, K, P, Q sao cho À = BK = CP = DQ. Tứ giỏc EKPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 5: Hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hỡnh vuụng.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ cỏc đường vuụng gúc với BC, chỳng cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Bài 7: Cho hỡnh vuụng DEBC. Trờn cạnh CD lấy điểm A, trờn tia đối của tia DC lấy điểm K, trờn tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hỡnh vuụng DKIH ( H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằnh ABMI là hỡnh vuụng.
BÀI TẬP TỔNG HỢP: 
Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú BC = 2AB, . gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B.
Tứ giỏc ABEF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tứ giỏc AIEF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tứ giỏc BICD là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tớnh số đo gúc AED.
Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD(AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.
Tứ giỏc EMFN là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Hỡnh thang ABCD cú thờm điều kiện gỡ thỡ EMFN là hỡnh thoi?
Hỡnh thang ABCD cú thờm điều kiện gỡ thỡ EMFN là hỡnh vuụng?
Bài 3: Cho tam giỏc ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
 a, Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 b, Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh chữ nhật?
 c, Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh thoi?
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC. 
 a, Xỏc định dạng của cỏc tứ giỏc AEMF, AMBH, AMCK.
 b, Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A.
 c, Tam giỏc vuụng ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ AEMF là hỡnh vuụng?
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm M của AC.
 a, Tứ giỏc ADCE là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
 b, Tứ giỏc ABDM là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 c, Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ ADCE là hỡnh vuụng?
 d, Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ ABDM là hỡnh thang cõn?
 Liờng Srụnh, ngày 25 thỏng 11 năm 2009
	GVBM
 Lờ Thị Thảo