Chuyên đề Một số cách giải bài toán tìm chữ số Đại số 6 - Tạ Phạm Hải

Một số cách giải bài toán tìm chữ số của lớp 6
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng hà Thái bình
A.Kiến thức hỗ trợ 
Nếu a là một chữ số thì 0 Ê a Ê 9
Mỗi số tự nhiên chỉ có một cách phân tích thành tổng chuẩn .Ví dụ :
Các dấu hiệu chia hết cho 2 , 4 , 5 , 25 , 3 , 9
Tổng các chữ số của số tự nhiên n ký hiệu là S(n) . Ví dụ 
Các tính chất chia hết của một tổng , hiệu , tích 
B. Một số cách giải – ví dụ minh họa
I.phương pháp lựa chọn
Nội dung : 1) Tìm một dấu hiệu để lựa chọn
	2) Xét mọi trường hợp xảy ra để lựa chọn kết quả đúng
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biêt nó đồng thời thỏa mãn hai điều kiện :
Giải : Ta chọn dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a ( Vì sao ? Bạn hãy tự giải thích )
ĐK : 0 < a , b , c < 10 . Vì b = 2a nên a ∈ { 1 ; 2 ;3 ; 4 } , có bảng sau :
a
b
c
Kết luận
1
2
12
19
loại
2
4
24
31
loại
3
6
36
43
loại
4
8
48
55
5
485
chọn
	Đáp số: Số phải tìm là 485
Ví dụ 2 : Điền các chữ số thích hợp vào vị trí các dấu í và các chữ sao cho dãy tính sau đây là đúng 
Giải : Đk 0 < a < 10 .Dấu hiệu lựa chọn là các giá trị của a .
Vì 123 lẻ nên a lẻ và là ước của 123 vậy a ∈ { 1 ; 3 } , nên ta lựa chọn như sau :
Nếu a = 1 thì , vậy ta cần phân tích 122 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số có hai chữ số và một thừa số có một chữ số . Vậy chỉ có 122 = 61.2 ta có cách điền là ( 61.2 + 1).1 + 1 = 123 
Nếu a = 3 thì . Tương tự lý luận trên ta có 38 = 38.1 = 19.2 , ta có các cách điền như sau :
( 38.1 + 3 ).3 = 123 và ( 19.2 + 3 ).3 = 123
Đáp số : Ta có 3 cách điền như trên
Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : ĐK 0 < a , b , c < 10 và 0 Ê d < 10 
Ta có : Û .Vì b.3.37 < 37.37 mà 37 là một số nguyên tố nên và chỉ có một số chia hết cho 37 .
Nếu thì 
Xét ta có a = 3 và b = 7 thay vào đề bài ta được vậy số phải tìm là 
Xét thì a = 7 và b = 4 thay vào đề bài ta có vô lý ( Loại )
Nếu thì 
Xét thì c = 3 và d = 7 , thay vào đề bài ta được vì b.3 có tận cùng b mà b ≠ 0 nên b = 5 và a = 1 . Thử lại 15.37= 555 thỏa mãn , vậy số phải tìm là 
Xét thì c = 7 và d = 4 , Thay vào đề bài ta được Û 20.a + 2b = 3b vô lý 
Đáp số : Số phải tìm là 1537 ; 3721
Bài tập luyện tập phương pháp :
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu hai chữ số của số đó bằng 5 và tích hai chữ số của số đó bằng 24
Tìm số tự nhiên biết :
Tìm số tự nhiên biết 
II.Phương pháp chữ số tận cùng
Một số chú ý :
Hai số có chữ số tận cùng giống nhau thì tích của chúng chỉ có thể có tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì tận cùng chỉ có thể là một trong các số 0 ; 2 ; 6
Nội dung phương pháp này là căn cứ vào các đặc điểm về số tận cùng của các thành phần trong dãy tính để suy luận tìm ra kết quả .
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : 
Đặt phép toán đã cho thành cột dọc ta có
 abc Xét hàng đơn vị ta thấy c.3 có tận cùng là 7 nên c = 9 và phép cộng có nhớ 2 sang 
+ bc hàng chục . Xét hàng chục b.2 + 2( nhớ) có tận cùng 8 nên b.2 có tận cùng là 6 
 c	 nên b = 3 hoặc b = 8 .	
 487	+ Nếu b = 3 thì a = 4 ta có đáp số là 439
	+ Nếu b = 8 thì a = 3 ta có đáp số là 389
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : 
 ĐK : 0 < a ; b < 10 ; 0 Ê c < 10 .Đặt phép toán thành cột dọc ta có 
 bc Xét hàng đơn vị c.7 có tận cùng là c nên c = 0 hoặc c = 5. Nếu c = 0 thì xét 
 x 7 phép nhân ở hàng chục b.7 có tận cùng là b mà b ≠ 0 nên b = 5 khi đó a = 3
 abc Nếu c = 5 thì có nhớ 3 sang hàng chục , Xét phép nhân ở hàng chục lúc này là b.7 + 3( nhớ) có tận cùng b điều này không xảy ra vì nếu b lẻ thì b.7 + 3 chẵn và nếu b chẵn thì b.7 + 3 lại có tận cùng lẻ.
	Đáp số : Số phải tìm là 350
Ví dụ 3 : Tìm số tự nhiên biết với a , b , c, d là các chữ số khác nhau và khác 0 .
Giải :
	Chuyển thành phép nhân rồi đặt thành cột dọc ta có : 
 abc Xét phép nhân ở hàng đơn vị ta có c.c có tận cùng là c mà c ≠ 0 nên c = 1 hoặc
 x c c = 5 hoặc c = 6 . Lại vì a , b , c , d khác nhau nên c ≠ 1
 dac Nếu c = 5 , vì tích là số có 3 chữ số nên a = 1.Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ là 5.b + 2( nhớ từ hàng đơn vị) có tận cùng là 1 vô lí .
Nếu c = 6 ta cũng suy ra a = 1 . Khi đó phép nhân ở hàng chục sẽ là 6.b + 3( nhớ từ hàng đơn vị) có tận cùng là 1 nên 6.b có tận cùng là 8 , vậy b = 3 hoặc b = 8 .
	Với b = 3 thì d = 8 , ta được đáp số là 1368
	Với b = 8 thì d = 11 ( loại )
Bài tập luyện tập phương pháp
Bài 1 : Tìm số tự nhiên biết 
Bài 2 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết thêm một chữ số vào bên trái số đó thì được số mới gấp k lần số ban đầu với k là một số chẵn nhỏ hơn 10
Bài 3 : Tìm biết 
III. Phương pháp chặn
Nội dung : Xét sự lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một thành phần thích hợp trong dãy tính để thu hẹp khu vực phải khảo sát , từ đó dễ dàng sử dụng các tính chất của phép tính và chữ số để tìm ra kết quả
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : 
ĐK : 0 Ê x ,y , z Ê 9 và x≠ 0.
	Ta thấy x < 3 vì nếu x ≥ 3 thì 
	 x > 1 vì nếu x = 1 thì . Vậy x = 2 . Khi đó ta có . Vậy số phải tìm là 214
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải :
ĐK : 0 Ê a , b , c , d Ê 9 và a≠ 0. Bài tập đã cho viết được thành : Tìm số tự nhiên biết .( Vì sao bạn đọc tự giải thích nhé ).
	Ta thấy a < 4 vì nếu a ≥ 4 thì 
	 a > 2 vì nếu a Ê 2 thì 
	Vậy a = 3 , khi đó ta có . Bằng cách lý luận như trên ta thấy b 7 vì nếu b Ê 7 thì . Vậy b = 8 , khi đó . Đến đây chỉ có thể có một phân tích là 100 = 99 + 1.
Từ đây có đáp số : = 3891
Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu ờ trong sơ đồ phép nhân sau đây để phép tính là đúng .	 
 624
	 ờờ
	 ờờờ
	 2ờờờ
	 ờờờờờ
Giải :
Vì tích riêng thứ nhất là số có 3 chữ số nên ờhàng đơn vị của số nhân phải bằng 1. Từ đó suy ra tích riêng thứ nhất là 624 . Xét tích riêng thứ hai 624.ờ = 2ờờờ nên ờ hàng chục của số nhân phải lớn hơn 3 vì nếu nhỏ hơn hoặc bằng 3 thì ta có 
	624.ờ Ê 624.3 = 1872 < 2ờờờ.
Mặt khác ờ hàng chục của số nhân phải nhỏ hơn 5 vì nếu lớn hơn hoặc bằng 5 thì :
	 624.ờ≥ 624.5 = 3120 > 2ờờờ . Vậy ờ này bằng 4 , thay vào phép tính và thực hiện phép nhân là có được cách điền chữ số thích hợp cho sơ đồ phép tính .
Bài tập luyện tập phương pháp
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết :
Tìm số tự nhiên biết 
IV. Phương pháp dùng cấu tạo số và tính chất của phép tính
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : 
ĐK : 0 < a , b , c < 10 . Ta có : 
Û 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c Û 89a = b + 10c = . Vậy a = 1 . b = 9 ; c = 8 
Đáp số : số phải tìm là 198
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm chen vào giữa hai chữ số của số đó một số có hai chữ số kém số phải tìm một đơn vị thì được số mới gấp 91 lần sô phải tìm .
Giải : 
	Gọi số phải tìm là , số viết thêm chen vào giữa là với c = b – 1 và a > 0 . Theo bài ra ta có : 
Từ (1) ta có :
Mà c = b – 1 nên ta có 19a + b – 1 = 9b Hay 19a = 8b + 1 . Do 8b + 1 Ê 8.9 + 1 = 73 nên ta có 19a Ê 73 Û a Ê 3 ; lại vì 8b + 1 lẻ nên a lẻ . Vậy a = 1 hoặc a = 3.
	Nếu a = 1 thì 8b = 18 vô lý
	Nếu a = 3 thì 8b = 56 Û b = 7 , Vậy số phải tìm là 37
Ví dụ 3 : Điền chữ số thích hợp vào các dấu ờ trong sơ đồ phép chia sau để cho phép tính là đúng . 1 0 ờờ ờ
 	 ờờ 2 ờ 7
	 0 ờờ
	 ờờ
	 0
Giải : Số dư thứ nhất là 0 nên tích riêng thứ nhất là 10 và ờ chia là 5 . Vì ờ hàng chục của số bị chia hạ xuống không chia được , phải hạ tiếp ờ hàng đơn vị nên ờ hàng chục của thương là 0 , khi đó tích riêng thứ hai cũng là hai sao cuối của số bị chia và bằng 7.5 = 35 . Từ đó ta có cách điền thích hợp là 1035 5
	 10 207
	035
	 35
	 0
Bài tập luyện tập phương pháp
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết 
IV.Phương pháp vận dụng tính chất 
 của phép chia các số tự nhiên
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biết rằng 
Giải : 
ĐK : 0 Ê x,y Ê 9 và x ≠ 0 . 
Ta thấy và nên . Vậy ị y = 0 , thay vào đề bài ta có vậy x = 1 
Đáp số : số phải tìm là 10
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên biết 
Giải : 
ĐK : 0 Ê a , b , c Ê 9 và a ≠ 0.
Ta có Û ị vậy với k là số tự nhiên nhỏ hơn 10. Thay vào bài ta có : . Ta tiếp tục biến đổi như sau : . Vì k < 10 nên k = 5, thay vào được và bài toán trở thành tìm b biết 
	 Vì 945 105
 	 Vì 0 < 60 + 5b Ê 60 + 45 = 105 nên b = 9 
	Vậy số phải tìm là 195
Ví dụ 3 : Cho một số tự nhiên khác 0 , Nếu viết thêm một số tự nhiên có 2 chữ số ( cả 2 chữ số đều khác 0) vào bên phải số đó thì ta được số mới hơn số đã cho là 1993 đơn vị . Tìm số đã cho và số viết thêm .
Giải : 
	Gọi số đã cho là N và số viết thêm là với xy ≠ 0 . Theo bài ra ta có :
	 trong đó N trong số là số trăm của số này.
	Û N.100 + – N = 99N + = 1993 .
	Nếu = 99 thì 1993 chia hết cho 99 vô lý
	Nếu < 99 thì là số dư trong phép chia 1993 cho 99 mà 1993 chia cho 99 được thương là 20 và dư là 13 .
	Đáp số : Số đx cho là 20 và số viết thêm là 13
Ví dụ 4 : tìm số tự nhiên biết rằng 
Giải : 
ĐK : 0 < x , y < 10 .
Ta có : 
	Û 
 Û x2.121 + y2.121 = x.11.100 + y.11
	11x2 + 11.y2 = 100.x + y hay 11.( x2 + y2) = 99.x + ( x + y ),(ô) ⇒ x + y 11.
Vậy x + y = 11 vì x và y là các chữ số khác 0 . Thay x + y = 11 vào biểu thức (ô) ta có :
11.( x2 + y2) = 99.x + 11 . Vậy : x2 + y2 = 9..x + 1. Ta có bảng lựa chọn như sau :
 x
 x2 + y2 = 9..x + 1
 y2
 y
 Thử lại
 1
 1 + y2 = 10
 9
 3
 13
112 + 992 = 9922
 2
 4 + y2 = 19
 15
 Không có
 Loại
 3
 9 + y2 = 28
 19
 Không có
 Loại
 4
 16 + y2 = 37
 21
 Không có
 Loại
 5
 25 + y2 = 46
 21 
 Không có
 Loại
 6
 36 + y2 = 55
 19
 Không có
 Loại
 7
 49 + y2 = 64
 15
 Không có
 Loại
 8
 64 + y2 = 73
 9
 3
 83
 882 + 332 = 8833
 9
 81 + y2 = 82
 1
 1
 91 
992 + 112 = 9922
Từ bảng trên ta có đáp số là 83
Bài tập luyện tập phương pháp
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết ( x + y) = 900
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó
Tìm số tự nhiên N và số tự nhiên biết N.10001 = 
V. Phối hợp linh hoạt các phương pháp 
 khi giải bài tập tìm chữ số lớp 6
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên biết rằng 
Giải : ĐK : 0 Ê a , b Ê 9 và a ≠ 0
Cách 1 : 
Û ( Dùng phân tích số )
Û 100a + b = 9(10a + b)	 ( Chia hai vế cho 11 )
Û 99a + ( a + b) = 9(10a + b) (1) ị ( a + b) 9 
Vậy a + b = 9 hoặc a + b = 18	( Dùng tính chất chia hết )
	Nếu a + b = 9 , thay vào (1) ta có 11a + 1 = 10a + b Û a + 1 = b mà a + b = 9
 nên a = 4 và b = 5 . Ta có số phải tìm là 45
	Nếu a + b = 19 thì a = b = 9 thay vào (1) ta có 99.9 +18 = 9.(10.9 + 9) có thể tính nhanh như sau Û 99 + 2 = 90 + 9 vô lý , vậy trường hợp này không xảy ra.
	Đáp số : số phải tìm là 45
Cách 2 : 
Û . Đặt thành cột dọc ta có 
 aabb Xét phép cộng ở hàng đơn vị ta thấy b + b có tận cùng là 0 vậy b = 0 hoặc b = 5
 + ab Nếu b = 0 , khi đó xét phép cộng ở hàng chục ta thấy 0 + a có tận cùng 0 nên 
 ab00 phải có a = 0 , vô lý .
Nếu b = 5 thì khi đó xét phép cộng ở hàng chục 5 + a + 1( nhớ)có tận cùng là 0 nên a = 4 . Thử lại 99.45 = 4455 đúng . Đáp số : Số phải tìm là 45
Cách 3 : 
Û (1) .Từ (1) : b.9 có tận cùng là b nên b = 0 hoặc b = 5 . 	Nếu b = 0 thì thay vào (1) có a.100 = a.10.9 vô lý . 
	Nếu b = 5 thay vào (1) ta có 100a + 5 = 90a + 45 Û 10a = 40 Û a = 4 
	Đáp số : số phải tìm là 45.
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n biết rằng 2n + 3S(n) = 191 . S(n) là tổng các chữ số của n
Giải : 
Dùng phương pháp chặn để giảm bớt trường hợp phải xét
Vì S(n) ≥ 1 nên 2n Ê 188 hay n Ê 94. Vậy n chỉ có thể có một hoặc hai chữ số
Nếu n có chữ số thì S(n) = n . Khi đó ta có 2n + 3S(n) = 2n + 3n = 5n = 191, loại vì 191 không chia hết cho 5
Nếu n là số có 2 chữ số , đặt n = thì S(n) = a + b . Thay vào đề bài ta có :
	2. + 3( a + b) = 191 (*)
b. Dùng cấu tạo số để phân tích thu gọn dãy tính
	(*) Û 2( 10a + b) + 3a + 3b = 191 Û 20a + 2b + 3a + 3b = 191 Û 23a + 5b = 191
 c. Dùng phương pháp số tận cùng để tìm đáp số 
	Vì 5b có tận cùng là 0 hoặc 5 nên để tổng có tận cùng là 1 thì 23a phải có tận cùng là 1 hoặc 6 suy ra khi đó a bằng 7 hoặc 2 .
Nếu a = 7 thì b = ( 191 – 23.7 ) : 5 = 6 , ta có đáp số n = 76
Nếu a = 2 thì b = ( 191 – 23.2 ) : 5 = 29 > 9 ( loại ) 
 Đáp số : Số phải tìm là 76.
Bài tập luyện tập phương pháp
Tìm số tư nhiên biết = 1962 + a + b + c + d
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 555
Tìm số tự nhiên biết
Bài tập luyện tập chung
Tìm số tự nhiên  :
Tìm số tự nhiên biết : 
Tìm số tự nhiên biết :
Tìm số tự nhiên biết :
Tìm số tự nhiên n biết rằng 
n + S(n) = 230 d) n + S(n) = 814	
n + 2S(n) = 96	 e) n + 5S(n) = 2088
2n + 3S(n) = 4044	f) n – 5S(n) = 1992
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 90 và dư 13 .
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số sao cho khi chia số đó cho 9 ta được thương cũng là một số có 4 chữ số như thế nhưng được viết theo thứ tự ngược lại .
Tìm số tự nhiên biết 
Tìm số tự nhiên biết 
Một ô tô đi với vận tốc đều , lúc 12 giờ nó vượt cột cây số ghi km , lúc 13 giờ cùng ngày vượt cột cây số ghi km , lúc 14 giờ cùng ngày nó vượt cột cây số ghi km . Tính vận tốc của ô tô đó .