Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng môn Toán - Năm học 2012-2013 - Bùi Thanh Hoa

Chuyên đề :
HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
I. Kiến thức vận dụng:
1. Kiến thức cơ bản
Hs biết vận dụng 7 hằng đẳng thức để làm các bài tập cơ bản, bài tạp vận dụng, bài tập nâng cao. Biết nhận dạng một số bài toán có ứng dụng của hằng đẳng thức.
2. Kiến thức nâng cao:
Gv đưa vào 5 hằng dẳng thức nâng cao và một số bài toán vận dụng hằng đẳng thức đê ứng dụng làm các bài tập nâng cao.
3. Lý thuyết cơ bản
1.3: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng: =
2. Bình phương của một hiệu: = 
3. Hiệu của hai bình phương: 
4. Lập phương của tổng: 
5. Lập phương của hiệu: 
6. Tổng hai lập phương: 
7. Hiệu hai lập phương: 
*2.3; Một số hằng đẳng thức tổng quát 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + a bn-2 + bn-1)
a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b +  + a2k-3b2 –b2k-1)
a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 _  + b2k)
(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +n a bn-1 + bn
(a -b)n = an – n an-1b + an-2b2- -a2bn-2 +n a bn-1 - bn
Bài tập vận dụng tại lớp:
A. Bài tập vận dụng lý thuyết:
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1 
2. 
3. 
4. 
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) 
 A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) +  + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
 A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + 2004 + 2005
 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
 B = 
 B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
 B = 264 – 1 – 264 
 B = - 1 
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 
Giải
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 
Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
 Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
 * Chú ý: 
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A > m với m là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A < t với t là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t (kí hiệu maxA)
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu (a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac) thì a = b = c
Giải
 (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac)
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac 
a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 
(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2) = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
(a – b)2 = 0 hay (b – c)2 = 0 hay (c – a)2 = 0
 a = b hay b = c hay c = a 
a = b = c 
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải
a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì (25n – 6n) (25 – 6) nên (25n – 6n) 19 và 19.6n 19
Vậy 7.52n + 12.6n 19 (n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n 
 = 12.(144n – 11n) + 133.11n 133
Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1) do đó (an – bn) (a- b)
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
 Û (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
 Û (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
 Û (x + y + z)2 = 0 ; (x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 7: Cho x = ; y = . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Ta có : y = = + 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay xy + 4 = là số chính phương.
B. Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc	= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
	= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)
	= (a + b + c) [(a + b)2 – c(a + b) + c2 ]– 3ab (a + b + c)
	= (a + b + c) (a2 + 2ab + b2 – ac - ab + c2 - 3ab) 
	= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) 
	= (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
	 (a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2] = 0
	Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: 	Phân tích đa thức (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
	Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x - y) (y - z) (z - x)
Bài 2:	Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
	Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
	Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + - y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (-y2 – z2) = 3(x2 + y2) (x + z)(x - z)(y2 +z 2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
	(x + y + z)3 – x3 - y3 - z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3.
	= (x + y)3 + 3 (x + y) (x + y + z) – x3 - y3 - z3
	= x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 - y3 - z3.
	= 3(x + y) (xy + yz + xz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	(x + y + z)3 – (x + y - z)3 -(x – y + z)3 -(-x + y + z)3
	Đặt x + y – z = a; x – y + z = b, -x + y + z = c.
	=>x + y + z = a + b + c
	=>(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho tính P = 
	Từ => 
	=> P = 
Bài 2: Cho abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc tính A = 
	Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a + b + c = 0 thì A = 
	Nếu a = b = c thì A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8
	=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P = 
	Đặt a = xy, b = yz, c = zx.
	Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 
	Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
	P = 
	 = 
	Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a - b)c3 + (b - c)a3 + (c - a)b3
	Ta biến đổi b - c = b – a + a - c
	Ta được A = (a - b)c3 + (b - a)a3 + (a - c)b3 = (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c).
	Vì a + b + c = 0 -> A = 0
Bài 5: Cho x + y + z = 0 tính giá trị biểu thức B = 
	 vì x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz => B =
Bài 6: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 0 tính giá trị biểu thức. M=
	ta có a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = 0
	 =
	Mà a + b + c 0 => (a + b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 => a = b = c
	=> M = 
Bài 7: Cho a + b + c = 0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức
	A = ;	B =	
	Ta có A = vi a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
	A = 
	B = 
	Từ a + b + c = 0 => a + b = - c => a2 + b2 + 2ab = c2 -> c2 - a2 - b2= 2ab
	TT: a2 - b2 - c2 = 2bc; b2 - c2 - a2 = 2ac
	Nên B = ta có a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
	-> B = 
Bài 8: Cho a + b + c= 0 tính giá trị biểu thức: 
A = 
 Đặt B = 
Ta có B . 
= 1 + 
Tương Tự . B .	B. 
	Bậy A = 
	Vì a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x - 3)3 = (2x + 1)3.
(3x - 2)3 – (x - 2)3 = (2x + 1)3 => (3x - 2)3 – (x - 3)3 – (2x + 1)3 = 0
=> (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 0 =>
=> Nhận xét: Ta có 3x - 2 - x + x - 2x - 1 = 0 =>
Áp dụng nhận xét ta có (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x - 2)(-x + 3)(-2x - 1) = 0
=>(x + y)(-x + 2)(-y - 2) = 2
Vì x; y ÎZ ta có: 2 = 1.1.2 = (-2)(-1).1 = (-1)(-1).2 = (-1)..2(-1)
chỉ xảy ra trường hợp 	«	
 Chú ý:x = 2;y = -2 => phương trình vô nghiệm
 KL: Phương trình có nghiệm x = 0; y = -1
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 	 x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1
Ta có x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1 
(x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz - yz) = 1
Ta xét x2 + y2 + z2 – xy – xz = [(x - y2 + (y- z)2 + (z - x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra
Từ 1 ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 1	3
Từ 2, 3 => xy + yz + zx = 0	
Nên x2 + y2 + z2 = 1
giả sử x2 y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1
Nếu không t/m
NếuT/m phương trình
và TH: 	và 
DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.
	Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
	Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc 
	Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a + b + c 0 nên ta có a = b = c (a, b, c >0) 
	=> Là tam giác đều.
Bài 2: Cho a + bc + c + d = 0 cmr a3 + b3 + c3 + d3 = 3 (d + c) (ab - cd)
	Đặt c + d = x ta có a + b + x = 0 a3 + b3 + x3 = 3abx hay a3 + b3 + (c + d)3
	=3ab(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab (c + d) - 3cd(c + b)
	= 3(c + d)(ab - cd)
Bài 3: CMR nếu x + y + z = 0 thì 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
	từ x + y + z = 0 -x = y + z (y + z)5 = -x5.
	y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
	x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2yzz + 2yz2 + z3) = 0
	x5 + y5 + z5 + 5yz(y + z)(y2 + yz + z2) = 0
	 2(x3 + y5 + z5) - 5yzx((y2 + z2) + (y + z)2)= 0
	 2(x3 + y5 + z5)- 5yzx((x2 + y2 + z2)= 0
	2(x5 + y5 + z5) = 5yzx (x2 + y2 + z2) đpcm.
C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất
Bài tập 1 : Cho , biết
a/ . Tính 
b/ . Tính 
a. Xét . Mà 
b. (Tương tự) Xét 
Bài tập 2: 
a/ Cho và . Tính 
b/ Cho và . Tính theo a
a/ Ta có: 
Ta có: 	
Vậy 
b/ 
Bài tập 3: Cho và . Tính các biểu thức sau theo a
Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có: 
Ta tính được 	 	
Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số
a/ 
b/ à
c/ 
d/ 
e/ 
f/ 
Gợi ý:
a/ Thay 
Sau khi thay, ta được 
b/ Đáp số: 
c/ Đáp số: 
d/ Đáp số: 
e/ Đáp số: 
f/ Đặt 
III. Bài tập ở nhà :
Nhớ kỹ các hằng đẳng thức đã học, hiểu và nắm vững các dạng bài tập đã làm ,vận dụng làm các bài tập: 
156-164: Bài tập nâng cao và các chuyên đề.
67-70 : Sách 500 bài toán cơ bản và nâng cao.
103-106: Các bài toán hay và khó đại số 8.
Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử để làm các bài tập sau.
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của x, y, z thoả mãn đẳng thức: (x – y + z)2 = x2 – y2 + z2
Bài 2 : Tìm các cặp số nguyên sao cho tổng hai số nguyên ấy bằng tích của chúng.
Bài 3: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng P = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bằng bình phương của một số thực.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu x là một số tự nhiên lẻ thì A = x4 + 2x3 – 16x2 _ 2x + 15 chia hết cho 16.
Bài 5:Tìm GTNN (giá trị nhỏ nhất) của đa thức f(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2040.
Bài 6: Biết x = y = 10. Tìm GTLN (giá trị lớn nhất) của P = xy.
Bài 7:Tìm đa thức dư trong phép chia (x2005 + x200 + x20 + x2): (x2 – 1). 
Bai 8: Cmr : Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thoả mãn a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì tam giác ABC đều.
Bài 9: Cmr: Nếu a, b, c là 3 số thoả mãn a + b = c thì ta có đẳng thức a2 + b2 + c2 + 2( ab – ac _ bc) = 0 
Bài 10: Cmr nếu n là số tự nhiên lẻ thì:
 A = n3 = 3n2 _ n _ 3 chia hết cho 8.
IV. Kiến thức bổ sung:
Hướng dẫn HS tham khảo thêm một số bài toán về chứng minh chia hết có vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, trong tích có chứa thừa số hoặc nhân tử cần cm chia hết. Một số bài toán về tìm GTLN; GTNN.