Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
III- Phương pháp đổi biến
Các bài toán
Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
IV- Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P = 
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta được k = -1
Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
, với 2m = a+ b + c.
Bài 2: Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử
V-Phưong pháp hệ số bất định
Các bài toán
Bài 1: Phõn tớch cỏc đa thức thành nhõn tử
Chuyờn đề 2: Xác định đa thức
* Định lớ Beout (BờZu) và ứng dụng:
1) Định lớ BờZu: 
 Dư trong phộp chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giỏ trị của f(x) tại x = a): 
(Beout, 1730 - 1783, nhà toỏn học Phỏp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thỡ f(x) chia hết cho x - a.
Áp dụng: Định lớ BờZu cú thể dựng để phõn tớch một đa thức thành nhõn tử. Thực hiện như sau:
 Bước 1: Chọn một giỏ trị x = a nào đú và thử xem x = a cú phải là nghiệm của f(x) khụng.
 Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lớ BờZu ta cú: 
Để tỡm p(x) thực hiện phộp chia f(x) cho x - a.
 Bước 3: Tiếp tục phõn tớch p(x) thành nhõn tử nếu cũn phõn tớch được. Sau đú viết kết quả cuối cựng cho hợp lớ.
Dạng 1: Tỡm đa thức thương bằng phương phỏp đồng nhất hệ số(phương phỏp hệ số bất định), phương phỏp giỏ trị riờng , thực hiện phộp chia đa thức.
*Phương phỏp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đõy :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thỡ cỏc hạng tử cựng bậc ở hai đa thức phải cú hệ số phải cú hệ số bằng nhau.
Vớ dụ: ; .
Nếu P(x) = Q(x) thỡ ta cú:
 a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
 2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
 - 3 = - p (hệ số hạng tử bậc khụng hay hạng tử tự do)
*Phương phỏp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa món deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thương và dư trong phộp chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x)
Khi đú ta cú: (Trong đú: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vỡ đẳng thức (I) đỳng với mọi x nờn ta cho x lấy một giỏ trị bất kỡ : 
( là hằng số). Sau đú ta đi giải phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh để tỡm cỏc hệ số của cỏc hạng tử trong cỏc đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số dư).
Vớ dụ: Bài 1(Phần bài tập ỏp dụng)
Gọi thương của phộp chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta cú: 
.
Vỡ đẳng thức đỳng với mọi x nờn cho x = -1 ta dược: 
Với a = -2 thỡ 
Với a = 3 thỡ 
*Phương phỏp 3:Thực hiện phộp chia đa thức (như SGK)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đa thức . Xác định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: 
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : chia hết cho đa thức: . Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 5: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn k để cho đa thức: chia hết cho nhị thức: .
Bài 6: Với giỏ trị nào của a và b thỡ đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 7: a) Xỏc định cỏc giỏ trị của a, b và c để đa thức: 
Chia hết cho .
 b) Xỏc định cỏc giỏ trị của a, b để đa thức: chia hết cho đa thức .
 c) Xỏc định a, b để chia hết cho .
Bài 8: Hóy xỏc định cỏc số a, b, c để cú đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xỏc định hằng số a sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia cho dư 4.
c) chia hết cho .
Bài 10: Xỏc định cỏc hằng số a và b sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia hết cho .
c) chia hết cho .
d) chia hết cho .
Bài 11: Tỡm cỏc hăng số a và b sao cho chia cho thỡ dư 7, chia cho thỡ dư -5.
Bài 12: Tỡm cỏc hằng số a, b, c sao cho chia hết cho , chia cho thỡ dư .
(Một số vấn đề phỏt triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức: và . Xỏc định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xỏc định a và b sao cho đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 15: Cho cỏc đa thức và . Xỏc định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyờn đề toỏn sơ cấp)
Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn
Phương phỏp:
 Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
 Bằng cỏch thay thế x lần lượt bằng cỏc giỏ trị vào biểu thức P(x) ta lần lượt tớnh được cỏc hệ số .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tỡm đa thức bậc hai P(x), biết: .
Giải
Đặt (1)
Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 
Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:
.
Bài 2: Tỡm đa thức bậc 3 P(x), biết: 
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 3: Tỡm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa món: 
 a) Xỏc định P(x).
 b) Suy ra giỏ trị của tổng .
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :
Đặt (2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:
(Tuyển chọn bài thi HSG Toỏn THCS)
Bài 5: cho đa thức . Cho biết 
 1) Tớnh a, b, c theo .
 2) Chứng minh rằng: khụng thể cựng õm hoặc cựng dương.
Bài 6: Tỡm một đa thức bậc hai, cho biết: