Các bài tập cơ bản và nâng cao Hình học Lớp 8

Các bài tập hình học lớp 8
Phần 1: Hình thang
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có . Đường phân giác của góc A cắt CD tại M, đường phân giác của góc C cắt AB tại N. Chứng minh tứ giác AMCN là hình thang.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có , AD = AB = BC. Kẻ BH vuông góc với CD tại H, BK vuông góc với AD tại K. Chứng minh:
BH = BK.
DB là tia phân giác của 
Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Chứng minh HE = HF.
Chứng minh tứ giác BCEF là hình thang cân.
Bài 4: Cho tam giác ABC, , đường cao AH. Lấy M thuộc BC sao cho MC = AC. Kẻ MI vuông góc với AB tại I.
Chứng minh AN là tia phân giác của 
Tứ giác ACMI là hình gì?
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M thuộc BC. Lấy điểm N thuộc BC sao cho M là trung điểm của BN. Đường thẳng qua C vuông góc với AM cắt AB tại E, đường thẳng qua N vuông góc với CE cắt AC tại F và cắt AB tại D.
Chứng minh AB = AD.
Chứng minh CE = DF.
Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
Phần 2: Hình bình hành
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành.
Chứng minh AF = CE.
BD cắt AF và CE lần lượt tại M và N, chứng minh DM = MN = NB.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại I. Kẻ AE vuông góc với BD tại E, CF vuông góc với BD tại F. Chứng minh:
BF = DF.
Tứ giác AECF là hình bình hành.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, ; AB = 2AD. Gọi Elà trung điểm của AB.
Chứng minh DE là tia phân giác của .
Đường thẳng qua E vuông góc với AC tại I cắt CD tại F, c/m IA = IC.
Chứng minh F là trung điểm của CD.
Bài 9: Cho tam giác ABC, . Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE, Dựng hình bình hành ADFE.
Chứng minh FB = FC.
Chứng minh tam giác BCF đều.
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Dựng hình bình hành AEDF.
Chứng minh DA = BC.
Chứng minh DA BC.
Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Kẻ EM AH tại M, FN AH tại N. 
Chứng minh ME = AH.
Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành.
Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành.
b) Chứng minh AD EF.
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của cắt CD tại E, tia phân giác của cắt AB tại F. Chứng minh:
a) và là các tam giác cân.
b) Tứ giác BEDF là hình bình hành.
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD, , AB > AD. Qua C kẻ đường thẳng d BC, lấy E và F thuộc d sao cho CE = CF = CB. Qua C kẻ đường thẳng d’ CD, lấy M và N thuộc d’ sao cho CM = CN = CD (E và M nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh:
Tứ giác MENF là hình bình hành.
Bài 15: Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Lấy E và F lần lượt là điểm đối xứng với I qua M và N. Chứng minh EF // BC.
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. AN và DM cắt BC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
BC = CE = FB.
EF = 3 MN.
Phần 3: Hình chữ nhật
Bài 17: Cho tam giác ABC, , đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
Chứng minh .
Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh .
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, M thuộc AC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AD.
Tứ giác AEMF là hình gì?
Chứng minh EF // BD.
Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ tại H. Gọi M; I; K; O lần lượt là trung điểm của AH; AB; CD; CI.
Chứng minh tứ giác IBCK là hình chữ nhật.
Chứng minh tam giác OBM cân.
Bài 20: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ DEAC tại E. Gọi H; I; K lần lượt là trung điểm của DE; CE; AB.
Chứng minh tứ giác AHIK là hình bình hành.
Chứng minh .
Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2 AD, M thuộc CD sao cho . Trên đường trung trực của AB lấy điểm N sao cho điểm N nằm trong HCN và .
Chứng minh tam giác AMN đều.
Chứng minh tam giác AMB cân.
Bài 22: Cho hình chữ nhật ABCD, M thuộc BD. Gọi N là điểm đối xứng với C qua M.
Chứng minh AN // BD.
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của N trên AB và AD. Chứng minh FE // AC.
Chứng minh E; N; F thẳng hàng.
Phần 4: hình thoi
Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác của cắt AB tại E và cắt CD tại F. Đường phân giác của góc AOD cắt AD tại H và cắt BC tại I. Chứng minh tứ giác EIFH là hình thoi.
Bài 24: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, AB < CD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD, E; F lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
AD cắt BC tại I. Chứng minh MN // tia phân giác của .
Bài 25: Cho tam giác ABC, AB < AC. AH vuông góc với BC tại H. Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt tia phân giác của góc B tại K, BK cắt AH tại I. Kẻ KD vuông góc với BC tại D. Chứng minh tứ giác AIDK là hình thoi.
Phần 5: Hình vuông
Bài 26: Cho tam giác ABC, , M là trung điểm của BC. Vẽ về phía ngoài tam giác đường trung trực Mx của BC, lấy D thuộc Mx sao cho MD = MA.
Chứng minh 
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, chứng minh tứ giác ADEF là hình vuông.
Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFH.
Chứng minh EC = BH.
Chứng minh EC FH.
Gọi I là trung điểm của BC, M và N là tâm các hình vuông ABDE và ACFH. Tam giác IMN là tam giác gì?
Bài 28: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm I và điểm K nằm trong hình vuông sao cho , . 
Chứng minh tam giác AIK đều.
Chứng minh DK AI.
Chứng minh .
Bài 29: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E thuộc BC, đường thẳng qua Avuông góc với AE cắt CD tại F.
Chứng minh 
Gọi M là trung điểm của EF, AM cắt CD tại K, đường thẳng qua E song song với CD cắt AM tại H. Chứng minh tứ giác HEKF là hình thoi.
Bài 30: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF.
Chứng minh AE BC
AE cắt BC tại H, chứng minh .
Bài 31: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Lấy D thuộc AC sao cho CD = AB. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của DB, AC, BC. Đường thẳng qua E vuông góc với MN cắt AC tại F.
Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
Chứng minh M là trung điểm của AD.
Bài 32: Cho tam giác ABC, , AB < AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AH chứa C dựng hình vuông AHKE, KE cắt AC tại M.
Chứng minh tam giác MAB vuông cân.
Dựng hình vuông AMNB, AN cắt BM tại F, Chứng minh H; E; F thẳng hàng.
Chứng minh HE // KN.
Bài 33: Cho tam giác ABC, , AC = 2AB. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi F là trung điểm của AC, FM cắt tia phân giác của góc A tại E.
Chứng minh tứ giác ABEF là hình vuông.
Chứng minh CE // BF.
BF cắt AM và AH lần lượt tại P và Q, chứng minh APEQ là hình thoi.
Bài 34: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho: AE = CF.
Chứng minh tam giác DEF vuông cân.
Gọi I là trung điểm của EF, Chứng minh tam giác BID cân.
Chứng minh A; C; I thẳng hàng.
Bài 35: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra bên ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF và ADBH. Chứng minh:
AC = HF.
AC HF
 vuông cân.
Bài 36: Cho hình vuông ABCD, lấy M và N lần lượt thuộc AB và BC sao cho AM = BN. Chứng minh: 
CM = DN
CM DN.
Bài 37: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của AB, đường thẳng qua D vuông góc với CM tại I cắt BC tại N. 
Chứng minh N là trung điểm của BC.
Gọi K là trung điểm của CD, chứng minh AK DN
Chứng minh ADI cân.
Phần 6: Các bài toán tổng hợp
Bài 38: Cho hình bình hành ABCD, AD = 2AB, M là trung điểm của AD. Kẻ CE AB tại E, MF CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh:
Tứ giác MNCD là hình thoi.
MEC cân.
Bài 39: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho CM = AN. Đường thẳng qua M // DN cắt đường thẳng qua N // DM tại I. Chứng minh tứ giác MIND là hình vuông.
Bài 40: Cho hình thoi ABCD có . Lấy điêm M thuộc AB, điểm N thuộc BC sao cho AM = BN.
Chứng minh DMN đều.
Lấy điểm E đối xứng với N qua CD, kẻ MI BC tại I, EK BC tại K, chứng minh .
Chứng minh ME // BC.
Bài 41: Cho hình vuông ABCD, E thuộc AC. Đường thẳng qua E // AB cắt BC và AD lần lượt tại H và F. Kẻ EG CD tại G.
Chứng minh tứ giác EHCG là hình vuông.
Chứng minh EB = GF và EB GF.
Bài 42: CHo tam giác ABC, , đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D và F trên BC. 
Chứng minh DM + FN = BC.
Chứng minh D; A; F thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của AH và EG. Chứng minh IE = IG.
Bài 43: Cho hình vuông ABCD, M thuộc AB, N là trung điểm của DM, AN cắt CD tại K. 
Chứng minh tứ giác ADKM là hình chữ nhật.
Lấy E thuộc BC sao cho BE = BM. Chứng minh BK AE.
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh IN AE.
Gọi H là giao điểm của AE và BK. Chứng minh 
Bài 44: Cho tam giác ABC, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C vuông góc với AC tại điểm D. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh H; M; D thẳng hàng.
Gọi I là trung điểm của AD, chứng minh IM BC.
Chứng minh AH = 2IM.
Bài 45: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Kẻ hai đường cao BE và CF. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên EF, I là trung điểm của BC.
Chứng minh tam giác IEF là tam giác cân.
Chứng minh MF = NE.
Bài 46: Cho tam giác ABC, hai đường cao A