Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8,9

Bài 1: a)Thực hiện phép tính:
 A = 
 b) Số có là số nguyên tố không?
Bài 2: Hãy viết các số 3599, 889, 9991 dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1.
Bài 3: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức : 
.
Bài 4: Cho Chứng minh rằng 
Bài 5: a) Tính A = 
 b) Tính A = 
Bài 6: Cho .Chứng minh rằng .
Bài 7: Rút gọn biểu thức :
 a) ; c) ;
 b) ; d) ;
Bài 8: a) Cho x + y = 5 . Tính giá trị của biểu thức 
A = .
 b) Cho x – y = 7. Tính giá trị của biểu thức B = .
 c) Cho x + 2y = 5. Tính giá trị của biểu thức C = .
Bài 9: a) Cho . Chứng minh rằng: a = b = c = 1.
 b) Cho . Chứng minh rằng: a = b = c.
 c) Cho . Chứng minh rằng: a = b = c.
Bài 10: Cho . Chứng minh rằng: a = b = c.
Bài 11: Cho a,b,c,d là các số khác 0 và .
Chứng minh rằng: .
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Bài 13: Cho Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
 A = 
Bài 14: Chưng minh rằng các biểu thức sau luôn có gia trị dương với mọi giá trị của biến:
 a) c).
 b) d).
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
 a) 	b) c) 
 d) 
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
 a) b) c) 
1/ Cho đa thức P(x) = 
Phân tích P(x) thành nhân tử.
CMR với mọi .
2/ a) Cho . b) Cho B = 
 1. Rút gọn A . 1. Rút gọn B. 
 2.Tìm để A là số nguyên. 2. Tìm để B là số nguyên.
3/ Tìm số tự nhiên n để n3 -3n2- 3n -1 chia hết cho n2+n + 1.
4/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho .
5/ Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 a) . c) .
 b) .
6/ a) CMR: với .
 b)CMR: Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
7/ Cho a, b là 2 số nguyên. CMR: 
Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a2 + b2 chia hết cho 13.
10a2 + 5b2 +12ab + 4a – 6b +13 0. Dấu “=” xảy ra khi nào?
8) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
 a) .
 b) Nếu thì tam giác đó là tam giác đều.
9/ Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức ( x -1), (x – 2), (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18.
10/ CMR:a) 2130 + 3921 chia hết cho 45.
 b) 8351634 + 8241142 chia hết cho 26.
11/ Cho biểu thức: .
Rút gọn A.
Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tri của x.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x khi đó.
12/ Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
13/ Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là 57120.
14/ CMR: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 +n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
15/ CMR: Với mọi n Z, n chẵn, ta có số n3 + 20n luôn chia hết cho 48.
16/ Cho A(x) = 8x2 – 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).
17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax2 + bx + c . Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
18/ CMR: a) 1110 – 1 chia hết cho 100.
 b) 9.10n +18 chia hết cho 27.
 c) 16n – 15n – 1 chia hết cho 225.
19/ CMR: x3 + y3 – z3 + 3xyz chia hết cho x + y – z . Tìm thương của phép chia.
20/ CMR: a) Đa thức x2001 + x2000 ++ x + 1 chia hết cho đa thức x181 + x180 +  + x + 1.
 b)Đa thức x9999 + x8888 + x7777 +  + x1111 + 1 chia hết cho đa thức x9 + x8 +  + x + 1.
21/ Xác định giá trị của a và b để: 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 chia hết cho đa thức x2 – x + b.
Bài 1: Tìm các chữ số x,y để là chính phương.
Bài 2: Viết theo thứ tự 4 chữ số liên tiếp nhau, sau đó đổi 2 chữ số đầu cho nhau, ta được một số gồm 4 chữ số là số chính phương. Tìm 4 chữ số liên tiếp.
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho 3 chữ số cuối giống nhau.
Bài 4: Một số chính phương có n + 4 chữ số, trong đó có n chữ số đầu tiên và 4 chữ số cuối cùng làm thành các số chính phương khác 0. Hỏi số chính phương đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 5: CMR: 	a. Số là một số chính phương.
Số là số chính phương.
Bài 5: CMR: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.
Bài 6: Cho a là số gồm 2n chữ số 1,b là số gồm n +1 chữ số 1,c là số gồm n chữ số 6 . CMR: a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 7a) Cho x là số nguyên. CMR: là bình phương của một số nguyên.
 b) Cho x, y, z, là các số tự nhiên. CMR: là số chính phương.
Bài 8 Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?
 a) ; b) ; c) ; d)
Bài 9: Cho a, b, c, d thỏa điều kiện .CMR:S = a + b + c + d là hợp số.
Bài 10Tìm số tự nhiên n để giá trị của các biểu thức sau là số nguyên tố:
 a) . b) . c) . d). e)
Bài 11Tìm các chữ số x, y sao cho :.
Bài 12Tìm các chữ số x, y, z sao cho với mọi n nguyên dương ta có các đẳng thức sau:
 a) b) 
Bài 1: Cho a, b, c là các số nguyên thoả a2 - b2 = 4c2. CMR biểu thức sau có giá trị là số chính phương. A = ( 5a - 3b + 8c )( 5a - 3b - 8c )
Bài 2: Cho a là số nguyên. CMR: P = ( a + 1)( a + 2)( a + 3 )( a + 4 ) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho x, y, z là các số nguyên. CM Q = 4x( x + y )( x + y + z )( x + z ) + y2z2 là số ch. phương.
Bài 4: Cho P = ( a+1)(a -2)( a +5 )( a +2 ) + 36
a) Chứng minh rằng: nếu a là số nguyên thì P có giá trị là số chính phương.
b) Tìm a để P = 0.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P + 1974.
Bài 5: Cho a là số nguyên. Chứng minh P = a4 - 6a3 + 5a2 + 12a + 4 là số chính phương.
Bài 6: Cho P = a4 - 4a3 - 2a2 + 12a + 9
a) Chứng minh: nếu a là số nguyên thì P là số chính phương.
b) Tìm a để P = 0.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P + 6.
d) Chứng minh nếu a là số nguyên lẻ thì P chia hết cho 16.
Bài 7: Chứng minh rằng:
a) Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.
b) Nếu 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.
c) Nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương.
d) Nếu mỗi số m, n đều là tổng của hai số ch. phương thì m.n cũng là tổng của hai số chính phương.
Bài 8: Cho a = 11  1 ( có 2n chữ số 1 ) và b = 44  4 ( có n chữ số 4 ). 
Chứng minh rằng: a - 2b + 1 là số chính phương. Với n N
Bài 9: Chứng minh rằng mỗi số sau đều là số chính phương.
a) 	A = 99  900  0 25 	( Có n chữ số 9 và n chữ số 0 ).n N
b)	B = 99  9 8 00  0 1	(Có n chữ số 9 và n chữ số 0 ). n N
c) 	C = 44  4 88  8 9	( Có n chữ số 4 và n -1 chữ số 8 ) n N.
d) 	D = 11  1 22 . 25.	( Có n chữ số 1 và có n + 1 chữ số 2 ) n N
e) 	E = 11  1 - 22  2.	( Có 2n chữ số 1 và n chữ số 2 ) n N
f)	F = 11  1 + 44  4 + 1.	( Có 2n chữ số 1 và n chữ số 4 ) n N
Bài 10: Cho a = 11  1 ( Có n chữ số 1 ) và b = 1 00  0 5. ( Có n - 1 chữ số 0 ). 
Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương. Với n N.
Bài 11: Cho dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước ta được dãy: 16; 1156; 111556;  
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Bài 12: Cho a = 11 .. 1 2. ( có n chữ số 1 ) và b = 11  1 4 ( có n chữ số 1 ) với n N
Chứng minh ab + 1 là số chính phương.
Bài 13 : Cho a = 11  1. ( có 2n chữ số 1 ) ; b = 11  1. ( có n + 1 chữ số 1 ) ; 
c = 66  6. ( có n chữ số 6 ) với n N. Chứng minh: a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 14: 
a) Chứng minh rằng: Mọi số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư bằng 0 hoặc 1.
b) Hỏi mọi số chính phương khi chia cho 4, cho 5, cho 8 thì số dư có thể là bao nhiêu ?
c) Chứng minh nếu số chính phương có tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng đơn vị phải bằng 2.
d) Chứng minh nếu số chính phương có tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục phải là chữ số lẻ.
Bài 15: Cho a là số nguyên. Chứng minh mỗi biểu thức sau có giá trị đều là số chính phương.
a) 	A = ( a2 + a + 1 )( a2 + 5a + 1 ) + 4a2 .
b)	B = ( a2 + 3a + 2 )( a2 + 3a + 6 ) + 4.
c) 	C = ( a2 + 4a + 1 )( a2 + 4a + 7 ) + 9.
d) 	D = ( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 )( a + 5 ) + 1.
Bài 16: Tìm số nguyên x sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị là số chính phương.
a) 	A = x2 - 4x - 25.	e) 	E = x4 + 8 x3 + 17 x2 + 4x + 6.
b) 	B = x2 + x + 6.	f) 	F = x4 - 8x3 + 14 x2 + 8x - 14.
c)	C = x2 + x + 13.	g) 	G = ( x2 - 6x - 1 )( x2 - 6x + 2 ) + 15
d) 	D = x( x - 1 )( x - 7 )( x - 8 ). 	h) 	H = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 4.
Bài 17 : Tìm số tự nhiên a sao cho nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều được số chính phương.
Bài 18: Tìm số tự nhiên sao cho nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều được 1 số chính phương.
Bài 19: Cho a là số nguyên dương, biết rằng trong 3 mệnh đề sau đây chỉ có một mệnh đề sai. Tìm a
(1) a + 45 là số chính phương.
(2) a có tận cùng là 7.
(3) a - 44 là số chính phương.
Bài 20: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x2 - 2y2 = 5.	c) 2x + 3 = y2 ( x N )	e) x2 - 3y2 = 17.
b) x2 - 5y2 = 17.	d) x2 + 1 = 2y ( y N ).	g) x2 = 4y + 5.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 LÝ THUYẾT:
1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
Mười số chính phương đầu tiên là 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81
2/ Một số tính chất của số chính phương:
Số chính phương tận cùng bằng các chữ số: 0; 1; 4; 5; 6; 9 và không tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8
Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là luỹ thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.. Chẳng hạn: 3600 = 24. 32. 52
Từ đó suy ra số chính phương N chia hết cho 2 thì chia hết cho 22 = 4; số chính phương N chia hết cho 23 thì chia hết cho 24 = 16.
 Tổng quát: Nếu số chính phương N chia hết cho p2k+1 thì N chia hết cho p2k+2 (p là số nguyên tố)
Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
	Thật vậy, xét các trường hợp: + (3k)2 = 9k2 3
	+ (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 chia cho 3 dư 1
	+ (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 chia cho 3 dư 1
 Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1; Chia cho 5 dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4
	Số chính phương lẻ chia cho hoặc chia cho 8 đều dư 1.
Giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
	n2 không tồn tại x Z thoã mãn (1)
	n2 x2 = (n + 1)2 
Nếu 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong 2 số nguyên đó là số 0.
3/ Nhận biết một số chính phương:
Để chứng minh N là một số chính phương ta có thể:
	 + Biến đổi N thành bình phương của một số thự nhiên (hoặc số nguyên)
	 + Vận dụng tính chất: Nếu 2 số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a và b cũng là một số chính phương.
 Để chứng minh N không phải là số chính phương ta có thể:
	+ Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận cùng.
	+ Chứng minh n chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
	 + Xét số dư khi chia N cho 3 có số dư là 2; hoặc N chia cho 4, cho 5 có số dư là 2; 3 thì N không phải là số chính phương.
	+ Chứng minh N nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp.
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
	(a b)2 = a2 2ab + b2
 III/ BÀI TẬP
BÀI TẬP
BÀI GIẢI
Bài 1: 
Cho A = + 1. Chứng minh rằng A là một số chính phương.
Bài 1: A = + 1. Đặt = a thì: = 9a. Do đó: + 1 = 10n = 9a + 1
A = a. 10n + a – 8a + 1 = a(9a + 1) + a – 8a + 1 = 9a2 – 6a + 1 = 
 = (3a – 1)2. Vậy A là một số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng:
a/ Tổng của 3 số chính phương liên tiếp không phải là một số chính phương.
b/ Tổng: 
S = 12 + 22 + 32 + ... + 302 không phải là số chính phương.
Bài 2: a/ Gọi 3 số chính phương liên tiếp là (n – 1)2; n2; (n + 1)2. Tổng của chúng là: (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 = 3n2 + 2
Tổng này chia cho 3 dư 2 nên không phải là số chính phương.
b/ Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng:
S = (12 + 22 + 32) + (42 + 52 + 62) + ... + (282 + 292 + 302)
Mỗi nhóm chia 3 dư 2 nên: S = (3k1 + 2) + (3k2 + 2) + ... + (3k10 + 2) = 
= 3k1 + 3k2 + ... + 3k10 + 18 + 2 = 3k + 2 (k = k1 + ... + k10 + 6)
S cho 3 dư 2 nên S không phải là số chíng phương.
Lưu ý: Vì S chia cho 3 dư 2 nên khẳng định là số chính phương; Nếu số dư là 0 hay 1 thì chưa khẳng định điều gì. Không nên vội vàng kết luận số đó là số chính phương.
Bài 1: CMR nếu thì trong 3 số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau.
Bài 2: Tìm x biết rằng: .
Bài 3: Tìm giá trị của k để pt: có nghiệm y = 1.
Bài 4: Tìm giá trị của m để :
 a/ Pt: có no gấp 6 lần no của pt: .
 b/ Pt: có no gấp 18 lần no của pt: .
Bài 5: Giải các PT sau: 
 a/ .
b/ .
 c/ .
Bài 6: Giải các PT sau: 
a/ . b/ .
c/ 	d/ .
Bài 7: Giải các PT sau: 
a/ .
b/ .
Bài 8: Giải các PT sau: 
 a/ . b/ .
 c/ .	 d/ .
Bài 9: Giải các PT sau: 
 a/ . b/ .
 c/ .
 d/ .
Bài 10: Giải các PT sau :
 a) ; b) ; c) ;
 d) ; e) ; g) ;
 h) ; i) ;
Bài 11: Giải các PT sau : 
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ; g) ;
Bài 12: Giải các PT sau :
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ; g) ;
Bài 13: Giải các PT sau :
 a) ; b) ; 
 c) ;	 d) ;
Bài 14: Giải các PT sau :
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ;	 g) ;
 h) ;	 i) ;
 k) ;	 l) ;
 m) ; 
Bài 15: Giải các PT sau :
 a) ; 	 b) ;
 c) ;	 d) ;
 e) ;	 g) ;
 h) ;	 i) ;
 k) ; l) ;
Bài 16: CMR các PT sau vô nghiệm: 
 a) ; b) ; c) ;
Bài 17: Giải các PT sau: 
 a) ;	b) ;
 c) ; d) ; 
 e) ; g) ;