Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề chứng minh bất thức
Phần I. kiến thức cơ bản.
1-Đinhnghĩa
2.Các tính chất bất đẳng thức:
1.
6.
2.
7.
 n chẵn
3.
8.
 n chẵn
4.
9.
5.
10.
3.Một số hằng bất đẳng thức
1.
A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
4.
 ( dấu = xảy ra khi A.B 0)
2.
 với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
3.
 < A = 
5.
 ( dấu = xảy ra khi A.B 0)
4.Bất đẳng thức Cô-si:
 *ĐL:Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoắc bằng trung bình nhân của n số đó.
 ,( không âm ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
 *Dạng đơn giản: .
3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì , ta có:
Dấu “=” xảy ra khi .
*Dạng đơn giản; .
*Biến dạng:
4.Một số bất đẳng thức được áp dụng:
1.
10
2.
11
3.
;
12
4.
13
5.
;
14
6
 hay 
15
7
;
16
8
17
9
18
Phần II. Một số phương pháp cơ bản.
Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
 Kiến thức : Để chứng minh A > B 
 Ta chứng minh A - B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Lời giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =
=đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với"x ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y, dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy x + y + z xy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z. Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z .Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dờu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) ; b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
Lời giải: a) Ta xét hiệu: == 
 =. Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b)Ta xét hiệu: =Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát 
 Tóm lại các bước để chứng minh AB tho định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H= (C + D )hoặc H= (C + D )+.+ ( E + F )
 Bước 3:Kết luận A ³ B
Ví dụ Chứng minh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1 ³ m ( n + p + q + 1 )
 Lời giải:
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau:
 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
 a) 
 b)
 c)
 Lời giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2 a = b )
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
 Lời giải: 
 a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 ) 0 a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh .
Lời giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
 1)CM: P(x,y)= 
 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 
 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 Lời giải: 
 Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
* một số bất đẳng thức hay dùng
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu ( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d) 
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu Dấu bằng xảy ra khi
 Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 a b c
 Lời giải:
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2 1)Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 
 2)Cho x, y,z > 0 và x +y + z = 1 CMR: x + 2y + z 
 3)Cho a > 0 , b > 0, c> 0 CMR: 
 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x +y 	 
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng 
 Lời giải: 
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Ví dụ 4: 
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Lời giải:
Ta có ; ; do abcd =1 nên cd = (dùng )
 Ta có (1) 
Mặt khác: =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad )
 =Vậy
Ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Ta có ac+bd
mà 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng 
Lời giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
Lưu ý: A>B và b>c thì A>c
 0< x <1 thì x<x
ví dụ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacó 
 ( a – c ) ( b – d ) > cd
 ab – ad – bc + cd > cd
 ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
 Cho a,b,c > 0 thỏa mãn 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
ví dụ 3
 Cho 0 1- a – b – c - d	
 Giải:
 Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 < a, b, c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a 0 1+ > + b
 mà 0 , > ; Từ (1) và (2) 1+> + ; Vậy + < 1+
 Tương tự +
 +Ê 
 Cộng các bất đẳng thức ta có :
 b)Chứng minh rằng : Nếu thì ỗac+bd ờ=1998
 Giải:
Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rỏ ràng (ac+bd)2 
 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1
 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a + b + c = 1 (?)
Chứng minh rằng: (
Phương pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì b – Nếu thì 
 2)Nếu b,d >0 thì từ 
`
 ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1) Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
 < < (3)
 Tương tự ta có (4) (5)
 (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có điều phải chứng minh
ví dụ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < Vậy <điều phải chứng minh
ví dụ 3 : Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000, tìm giá trị lớn nhất của
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : vì a+b = c+d 
a, Nếu :b thì 999
b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 6: Phương pháplàm trội
Lưu ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
 P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
 = Khi đó P = 
 Ví dụ 1 :
 Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó: 
 Ví dụ 2 :
 Chứng minh rằng: Với n là số nguyên
 Giải : Ta có Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
 Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 ị 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ2:
 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng 
 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 Chứng minh rằng 
 Phương pháp 8: đổi biến số
Ví dụ1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 Ví dụ2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c < 1
 Chứng minh rằng (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = Ta có 
 (1) Với x+y+z Theo bất đẳng thức Côsi ta có
 3. ; 3. .; Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
Ví dụ3: Cho x , y thỏa mãn CMR 
 Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tính S min
 Bài tập 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR 
Phương pháp 9: dùng tam thức bậc hai
Lưu ý : Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
Ví dụ1: Chứng minh rằng (1)
 Giải: Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, y
Ví dụ2: Chứng minh rằng 
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 Ta có Vì a = vậy (đpcm)
 Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học
Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
Ví dụ1:Chứng minh rằng (1)
 Giải :Với n =2 ta có (đúng)
 Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thì
 (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
Ví dụ2: Cho và a+b> 0 Chứng minh rằng (1)
Giải
 Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
 Thật vậy với n = k+1 ta có 
 (1) (2)
 Vế trái (2) 
 (3)
 Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
Phương pháp 11: Chứng minh phản chứng
 Lưu ý:
 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các ... phép toán mệnh đề cho ta :
 Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : 
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
 Ví dụ 1:
 Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 Giải :
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0, Vì a 0 b + c < 0
 a 0, Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được, (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2), Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải :
 Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – () vì xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Phần II. Bài tập áp dụng.
Bài tập 1. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Cho a,b,c là 3 số dương chứng minh rằng:
HD. *Ta luôn có: , cộng vế ví vế ta được;
 *Ta lại có: tương tự ta có: ,
Cộng vế với vế ta được: 
Bài tập 2. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì 
HD. Với n > 1 ta có , nên ta có:
Bài tập 3. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên.
a);
b) 
c) 
HD. a) 
Với n > 1 thì , với n = 0 thì . Vậy BĐT luôn đúng với n là số tự nhiên.
b) Với n > 1 ta có , nên ta có:
;
c)Với n = 0 thì 1 1ta có: , nên ta có:
Ta đi chứng minh ,
Vậy với n là số tự nhiên.
Bài tập 4. (Sử dụng tính chất hai biểu thức có tử thức bằng nhau BT nào có MT lớn hơn thì nhỏ hơn) 
a)Cho a > b > 0 Chứng minh rằng: ;
từ đó áp dụng so sánh giá trị các phân thức:
b);
c) 
HD. a) vì và .
b)
Vì hai BT có tử thức bằng nhau và .
c)Tương tự câu a.
Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a);
b), với a,b,c dương;
c)
d)Với a, b, c là các số dương ta luôn có: ;
e) Với a, b, c là các số dương ta luôn có:.
HD. a) 
vì với mọi a,b,c.
b)Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: .
c) 
 vì với mọi a,b.
d) Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: 
 .
e)Đặt , ta có ,
ta có: 
ta có nên .
Bài tập 6.( Sử dụng BĐT Cô Si)
a) Cho , Chứng minh:;
b) Cho , Chứng minh:;
c) Cho , Chứng minh: .
HD. a)Với ta có
.
b) Với ta có: ,
áp dụng BĐT Cô Si ta có: ,nên ta có:
;Vậy .
c) Với , nên ta có: 
vì .
Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: Chứng minh:
a);
b) .
HD.a)Ta nhìn tổng a + 1 dưới tích 1.( a + 1 ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si với x,y không âm ta được: 
,cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được:
b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai bộ ba số 1 ta được:
Bài tập 8.( Sử dụng HĐT)
Cho,Chứng minh rằng: .
HD. Với , ta có: .
vì .
Bài tập 9.
Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý.Chứng minh rằng:.
HD.Ta có 
 ,tương tự ta có: , cộng vế với vế ta được:
Bài tập 10. ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh các bất đẳng thức:
a).
b) ;
c) .
HD.
a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: .Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy 
b)Tương tự câu a) ta có: 
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy .
c) Làm tương tự câu a, b.
Bài tập 11. ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh các bất đẳng thức:
.
HD. áp dụng bất đẳng thức Cô-si: .ta có:
Tương tự ta có:, cộng vế với vế ta được: 
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:, trái với giả thiết a,b,c là ba số dương.Vậy đẳng thức không xảy ra.Vậy .
Bài tập 12. ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:
a)
b)
c);
d);
e);
f);
g).
HD. a) * 
vì với mọi a,b,c.
 *
Ta có:
Cộng vế với vế ta được:.
Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa) 
 HD 1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
 Ta có hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
 Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta có 
 c) 
 Giải :
 a) Xét hiệu H = = 
 H0 ta có điều phải chứng minh
 b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta có điều phải chứng minh
 c) vế trái có thể viết H = H 0 ta có điều phải chứng minh
Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tương đương) 
 HD. 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Ta có (vì xy = 1) 
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với 
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Ta có 
 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ ) 
HD 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b + c = 1Chứng minh rằng 
 Giải áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 2) Cho a,b,c là các số dương : Chứng minh rằng (1)
 Giải : (1) 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm).
Bài tập 16 ( Bài tập dùng Phương pháp bắc cầu) 
HD 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 Giải Do a <1 <1 và b <1, nên 
 hay (1) Mặt khác 0 <a,b <1 ; 
 Vậy 
 Tương tự ta có (đpcm)
 2) So sánh 31 và 17
 Giải :Ta thấy < , Mặt khác 
 Vậy 31 < 17 (đpcm)
Bài tập 17 ( Bài tập dùng tính chất tỉ số) 
HD 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có:
 (1) (2)
 (3 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác, Chứng minh rằng 
 Giải :Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0, Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) Mặt khác 
 Vậy ta có Tương tự ta có 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
Bài tập 18 ( Bài tập áp dụng phương pháp làm trội) 
HD 1) Chứng minh BĐT sau :
 a) ; b) 
 Giải : a) Ta có 
 Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có
 (đpcm)
 b) Ta có 
 < (đpcm)
Bài tập 19 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị) 
HD dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
 Lưu ý
 - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
 - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
 Ví dụ 1 :
 Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
 Giải :Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và (2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
 Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=, Vậy S 
 Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
 Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 Giải : áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 Ta có (1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
 Ví dụ 4 :Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất
 Giải : Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a
 Đường cao thuộc cạnh huyền là h
 Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x 
 Ta có S = Vì a không đổi mà x+y = 2a
 Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất 
 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 
 Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải PT, HPT.
 1) Giải phương trình sau 
 Giải :Ta có 
 Vậy 
 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 Vậy khi x = -1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
Ví dụ 2 :Giải phương trình 
 Giải :áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1 , Mặt khác , Dấu (=) xảy ra khi y = -
 Vậy khi x =1 và y =-, Vậy nghiệm của phương trình là 
 Ví dụ 3 :Giải hệ phương trình sau: 
 Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có 
 Vì x+y+z = 1, Nên , Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
 Vậy có nghiệm x = y = z =
 Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau 
 Từ phương trình (1) hay 
 Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 2
 Nếu x = - thì y = -2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
 Bài tập 20 ( Bài tập áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên.
 1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn 
 Giải :Vì x,y,z là các số nguyên nên 
 (*) Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử Ta có 
 Mà z nguyên dương vậy z = 1, Thay z = 1 vào phương trình ta được 
 Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương
 Nên y = 1 hoặc y = 2
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có x = 2
 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình
 Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)
 Ví dụ 3 : Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình (*)
 Giải : (*) Với x 0 , y > 0 
 Ta có 
 Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương Ta cóNhưng 
 Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên dương nào cả
 Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
 Bài tập 21 CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
( BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).
GiảI Xét hiệu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)
=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0 
Dấu “=” xảy ra khi 
Bằng cách làm tương tự ta có thể phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:
(a21 + a22 ++ a2n)(x21 + x22 ++ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 ++ anxn )2
Dấu “=” xảy ra khi 
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x = )
Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:
Bài tập 22 Cho ba số a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng: (a + b + c)( ++) ≥ 9
GiảI Theo bài toán 2 (BĐT Bunhiacôpxki):
 (a + b + c)( ++) ≥ Û (a + b + c)( ++) ≥ 32 = 9
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( ++)≥ 9
Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta được BĐT: 2(a + b + c)( ++)≥ 9
 Û ( +++3) ≥ 9 Û ++≥