Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 8

Đề 1
Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng:
85 + 211 chia hết cho 17
1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2: 
Rút gọn biểu thức: 
Cho . Tính 
Bài 3:(3đ)
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 4 (1đ).
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
M = 4x2 + 4x + 5
Đáp án
Bài 1 : (3đ)
(1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
(1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:
 an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 ++ 6918) 
 = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44.
Bài 2 : (3đ)
(1,5đ) Ta có: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) 
 = (x+3)(x-2).
x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9
=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)
=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)
=(x+3)(x2 –7x +3)
=> = Với điều kiện x -1 ; x2 -7x + 3 0
b) (1,5đ) Vì
Do đó : xyz(++)= 3 
A
B
D
M
E
C
K
Bài 3 : (3đ) 
Chứng minh :
	Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM . 
Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. 
Thật vậy xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân tại C => vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE => mà AC // BM (ta vẽ) => nên BO là tia phân giác của . Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB
Mà : là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng.
Ta lại có : mà (hai góc đồng vị) => cân tại C => CK = CM. Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm)
Bài 4: (1đ)
Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2 + 4.
Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 ú M 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = -
-------------------------------------------------
đề 2
Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn 2 điều kiện a và b sau:
a) b) 
Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1.
khi và chỉ khi ( mn – 2) 3.
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Câu 3 . Giải phương trình: 
 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh:
EF // AB 
 b). AB2 = EF.CD. 
c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC 
Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
Đáp án
Câu 1 . Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2).
Từ (1) và (2) => 
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ú ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
ú ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
. a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 là số 57613824.
 . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625
 . a7a8 = 26 => không thoả mãn
	câu 2 . Đặt m = 3k + r với n = 3t + s với 
xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
 = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
 ta thấy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)
vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) 
 ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với 
 r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n = 3t + 1
 r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n = 3t + 2
 mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
 mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2) 3 Điều phải chứng minh.
áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3.
( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) 
( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
Câu 3 . Giải PT: 
Nhân 2 vế với 6 ta được: 
 O K
E H F
Câu 4 .a) Do AE// BC => 	A	B
 BF// AD 
MặT khác AB// CD ta lại có
	D	A1B1	C
 nên => EF // AB
b). ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 = AB
Vì EF // AB // CD nên => AB 2 = EF.CD.
c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD.
=> ; => => S1.S2 = S3.S4
Câu 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 
Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1
	x- y- 6 = 0 x = 7 
---------------------------------------------
đề 3
Câu 1: a. Rút gọn biểu thức:
	A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. Nếu x2=y2 + z2
Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 
Câu 2: a. Cho (1) và (2)
Tính giá trị của biểu thức A= 
b. Biết a + b + c = 0 Tính : B = 
Câu 3: Tìm x , biết : 
 (1)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ẻ đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
	a.BM ^ EF
	b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
P= (a+ b+ c) ().
Đáp án
Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có: 
	A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
	 = (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
	 = (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
	................ 
	 = [(2256)2 –1] + 1
	 = 2512
b, . ( 1 điểm) Ta có: 
 (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*)
Vì 	x2=y2 + z2 ị (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2
Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) ị bcx +acy + abz =0 
Từ (2) ị 
b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 ị a + b = - c ị a2 + b2 –c2 = - 2ab
Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
B = 
Câu 3: . ( 1,25 điểm)
 Û 
ị x= 2007	A	
Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM;	B
 H là giao điểm của EF và BM 
ịD EMB =DBKM ( gcg)
ị Góc MFE =KMB ị BH ^ EF E	 M K
b. ( 1,25 điểm) D ADF = DBAE (cgc) ịAF ^ BE H
Tương tự: CE ^ BF ị BM; AF; CE 
là các đường cao của DBEF ị đpcm
Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: 	D F C
	P = 1 + 
Mặt khác với mọi x, y dương. ị P / 3+2+2+2 =9
Vậy P min = 9 khi a=b=c.
---------------------------------------
đề 4
Bài 1 (3đ):
 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) x2 + 7x + 12
	b) a10 + a5 + 1
 2) Giải phương trình: 
Bài 2 (2đ):
 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )
	1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
	a) đồng dạng 
	b) góc AMN bằng góc ABC
	2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. 
	Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 (1đ):
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 , ( x khác 0)
Đáp án
Bài 1 (3đ): 
1)	a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)	(1đ)
	b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 )	(1đ)
2) 
(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1)	(0,5đ)
 ( x + 100 )( + - - ) = 0	(0,25đ)
Vì: + - - 0
Do đó : x + 100 = 0 x = -100
	Vậy phương trình có nghiệm: x = -100	(0,25đ)
Bài 2 (2đ): 
P = 	(0,5đ)
	x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên
để P có giá trị nguyên thì phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ)
=> 	* 2x - 1 = 1 => x = 1
	* 2x - 1 = -1 => x = 0
	* 2x - 1 = 5 => x = 3
	* 2x - 1 = -5 => x = -2	(0,5đ)
	Vậy x = thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: 
	x = 1 => P = 8
	x = 0 => P = -3
	x = 3 => P = 6
	x = -2 => P = -1	(0,5đ)
Bài 3 (4đ): 	
1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ)
	b) Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tương ứng)	(1,25đ)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H	(0,25đ)
BAH = CHA	( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)	(0,5đ)
Suy ra:
CHA =CAH nên CAH cân tại C
do đó :	 CH = CA	 => CH = BK và CH // BK	(0,5đ)
	BK = CA
	Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)	(0,5đ)
Bài 4 (1đ): 
	A = = + 
	 = 
	 A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
------------------------------------
đề 5
Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A = 
	a, Tìm điều kiện của x để A xác định .
	b, Rút gọn biểu thức A .
	c, Tìm giá trị của x để A > O
Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau : 
Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Câu 4 ( 1 điểm): 
 Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 
Câu 5 ( 1 điểm) 
a, Chứng minh rằng 	
b, Cho	 Tính 
Đáp án
Câu 1 
	a, x # 2 , x # -2 , x # 0 
	b , A = 
	= 
	= 
	c, Để A > 0 thì 
Câu 2 . ĐKXĐ : 
 PT 
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 
Câu 3: 
1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tợng tự ta có:	ARP=ADS
do đó AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A.
2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ.
Mặt khác : = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
3, Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR.
4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =QR.
Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = QR.
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC
5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. 
Câu 4 . Ta có ĐKXĐ x -1/2
	A = (x + 1) + vì x Z nên để A nguyên thì nguyên 
 Hay 2x+1 là ớc của 2 . Vậy :
 2x+1 = 2 x=1/2 ( loại ) 
	2x+1 = 1 x = 0
	2x+1 = -1 x = -1
	2x +1 = -2 x = -3/2 ( loại ) 
 KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên
Câu 5. a, , Chứng minh 	 
Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh.
b, Ta có thì
 (vì nên )
Theo giả thiết 
khi đó 
=====================
đề 6
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :
M = 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 
	A = 
 ... .OH
b) OHA có số đo không đổi.
c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
Biểu điểm và đáp án toán 8
Bài 1: (1.5đ)
Câu a: (0.57đ)
= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25đ
Câu b: (0.75đ)
= x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25đ
= 	 0.25đ
= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 	0.25đ	
Bài 2: (2.5đ)
Câu a: 1đ
P = : 	0.25đ
= 	0.25đ
= 	0.25đ
= 	0.25đ
Câu b: (0.75đ)
P = 	Px - 3P = x + 3 	0.25đ
	(P – 1)x = 3(P + 1)
	 x = 	
Ta có: x > 0 
Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1.	 	 0.25đ
Câu c: 0.75đ ĐKXĐ: 
P = =	0.25đ
P nhận giá trị nguyên x - 30Ư (6) = 
Từ đó tìm đợc x 	 0.25đ
Kết hợp với Đ/C; ta đợc. 	
x	0.25đ
Vậy x thì P nguyên.
Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ)
Câu a: (0.75đ)
- Đa đợc về dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0 	0.50đ
Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = 2 	0.25đ
Câu b: (0.75đ) ĐK: xN*n
 - Đa về dạng 	0.25đ
	 	 0.25đ
Từ đó tìm đợc x = 30 (t/m xN*)
Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 	0.25đ
Bài 4: (1đ)
Giả sử a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1
 abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 	0.25đ
vì 0 0.
 Do a + (2 – a) = 2 không đổi, suy ra a(2 – a) lớn nhất.
 a = 2 – a a = 1
Tơng tự b(2 – b) lớn nhất b = 1
 c(2 – c) lớn nhất c = 1
Vậy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1 	 (2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 	0.25đ
và (2) mâu thuẩn nhau.
Do đó 3 số a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) không thể
B
C
O
H
M
A
K
 đồng thời lớn hơn 1 	0.25đ
Bài 5: (3.5đ)
Câu a: (1đ)
Chứng minh: B0H C0A (g.g) 	 0.5đ
 0A.0B = 0C.0H	0.25đ
Câu b: (1.25đ)
 (suy ra từ B0H C0A)
	0.25đ
- Chứng minh 0HA 0BC (c.g.c) 	0.25đ
 OHA = OBC (không đổi)
Câu c: (1.25đ)
Vẽ MKBC
- BKM BHC (g.g) 
 BM.BH = BC.BK (1) 0.5đ
 CKM CAB (g.g) 	0.25đ
CM.CA = BC.CK (2) 0.25đ
Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc:
BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK
 = BC . (BK + CK) = BC2 (không đổi) 0.25đ
ĐỀ THI SỐ 46
Cõu 1: (4,0 điểm)
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử :
a) 3x2 – 7x + 2; 	 	b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Cõu 2: (5,0 điểm)
 Cho biểu thức : 
Tỡm ĐKXĐ rồi rỳt gọn biểu thức A ?
Tỡm giỏ trị của x để A > 0?
Tớnh giỏ trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Cõu 3: (5,0 điểm)
Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau : 
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
Cho và . Chứng minh rằng : .
Cõu 4: (6,0 điểm)
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đú ? 
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đỏp ỏn
Điểm
Bài 1
a
2,0
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
5,0
a
3,0
ĐKXĐ : 
1,0
1,0
0,5
0,25
Vậy với thỡ .
0,25
b
1,0
Với 
0,25
0,25
0,25
Vậy với x > 3 thỡ A > 0.
0,25
c
1,0
0,5
0,25
Với x = 11 thỡ A = 
0,25
Bài 3
5,0
a
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 
1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,5
Do : 
0,5
Nờn : (*) x = 1; y = 3; z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
b
2,5
Từ : 
0,5
ayz + bxz + cxy = 0
0,25
 Ta cú : 
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6,0
0,25
a
2,0
Ta cú : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh : 
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành.
0,25
b
2,0
Ta cú: 
0,5
Chứng minh : 
1,0
0,5
b,
1,75
Chứng minh : 
0,25
0,25
Chứng minh : 
0,25
0,25
Mà : CD = AB 
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
0,25
ĐỀ THI SỐ 47
Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
Bài 1(3 điểm):
 a) Tớnh đỳng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tớnh đỳng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đú: ( 0,25điểm )
Tớnh đỳng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tỡm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta cú: 
 (0,25điểm)
 Do đú: m2–k2 = 1353 
hoặc 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đỳng = 3136 (0,25điểm) 
Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hỡnh đỳng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
 *Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ hưởng trọn số điểm cõu đú. 
ĐỀ THI SỐ 48
Bài 1: (6 điểm)
Giải các phương trình sau:
a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0
b, 
c, |x - 4| + |x - 9| = 5
Bài 2: (4 điểm)
	Giải bất phương trình với m là hằng số.
Bài 3: (3 điểm)
Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai.
Bài 4: (3 điểm)
	Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi nước khác chảy từ bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ nước trong bể đạt tới dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì bao lâu bể đầy? 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có . Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh hệ thức a2 = b2 + bc.
ĐÁP ÁN
Bài
Sơ lược lời giải
Điểm
Bài 1
(6 điểm)
a, Đưa về phương trình tích.
Giải được x = -5 hoặc x = 2
b, ĐKXĐ: x 1.
Với x 1 ta có 
Ta thấy x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình vô nghiệm.
c, Nhận xét |x - 4| = và |x - 9| = 
- Với x < 4 ta có |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nên phương trình có dạng 
 4 - x + 9 - x = 5 -2x = -8 x = 4 (không thỏa mãn)
- Với 4 x 5 = 5 (luôn đúng)
- Với x 9 ta có |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nên phương trình có dạng
 x - 4 + x - 9 = 5 2x = 18 x =9 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
1
1
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
(4 điểm)
	(1)
- Nếu m < 1 và m 0 thì m - 1 < 0. Khi đó (1) 
- Nếu m > 1 thì m - 1 > 0. Khi đó (1) 
- Nếu m = 1 thì m - 1 = 0. Khi đó (1) 0x < 2 (luôn đúng với mọi x).
Kết luận:
- Với m < 1 và m 0 thì tập nghiệm là S = 
- Với m = 0 thì biểu thức vô nghĩa.
- Với m > 1 thì tập nghiệm là S = 
- Với m = 1 thì S = R
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Bài 3
(3 điểm)
- Vẽ hình:
Giả sử ABCD là hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm và có một đường cao dài 5cm .
	Vì 5 < 6 và 5 < 8 nên có thể xảy ra hai trường hợp:
AH = 5cm. Khi đó S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = (cm)
AK = 5cm. Khi đó S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = (cm)
Vậy đường cao thứ hai có độ dài là cm hoặc cm
0,5
1
1
0,5
Bài 4
(3 điểm)
Gọi thời gian vòi nước chảy đầy bể là x(giờ). ĐK: x > 0
Khi đó 1 giờ vòi đó chảy được bể
1 giờ vòi khác chảy ra lượng nước bằng bể.
Theo đề bài ta có phương trình 
Giải phương trình tìm được x = 8 (TMĐK x>0)
Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể là 8 giờ.
0,5
0,5
0,5
1
0,5
Bài 5
(4 điểm)
- Vẽ hình đúng
Hệ thức a2 = b2 + bc a2 = b (b + c)
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c.
Khi đó (do tam giác ABE cân tại A)
 (góc ngoài tam giác) nên . 
Theo giả thiết . Vậy .
Chứng minh được BCE ACB (g.g)
suy ra 
hay a2 = b (b + c) 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
1
0,25
0,25
ĐỀ THI SỐ 49
Baứi 1: ( 3 ủieồm ) Rỳt gọn biểu thức
Baứi 2: ( 3 ủieồm ) Giải phương trỡnh
Baứi 3: ( 3 ủieồm ) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để phõn thức cú giỏ trị là số nguyờn
Baứi 4: ( 3 ủieồm ) 
Số học sinh tiờn tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng số học sinh tiờn tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiờn tiến của khối 8. Tớnh số học sinh tiờn tiến của mỗi khối? 
Baứi 5: ( 4 ủieồm )
	 Cho tam giỏc ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
	a/ Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Tại sao?
	b/ Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh chử nhật?
	c/ Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh thoi?
Baứi 6: ( 4 ủieồm )
	Hỡnh thang ABCD cú AB//CD, đường cao bằng 12(m), ACBD, BD=15(m).
	a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh 	 Từ đú tớnh độ dài DE.
	b/ Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD.	
ẹAÙP AÙN VAỉ THANG ẹIEÅM CHAÁM
Baứi
ẹaựp aựn
ẹieồm
1
(3 đ)
* Điều kiện: 
1
1
1
2
(3 đ)
* Tập xỏc định: 
Vaọy 
0,5
1
1
0,5
3
(3 ủ)
1
1
0,5
0,5
4
(3 ủ)
Goùi soỏ hoùc sinh tieõn tieỏn cuỷa khoỏi 7 laứ x (hoùc sinh) (x > 0) 
soỏ hoùc sinh tieõn tieỏn cuỷa khoỏi 8 laứ 270 - x (hoùc sinh)
 Ta coự phửụng trỡnh:
Vaọy soỏ hoùc sinh cuỷa khoỏi 7 laứ 120 hoùc sinh, vaứ khoỏi 8 laứ 270 – 120 = 150 hoùc sinh.
0,25
0,25
1
1
0,25
0,25
5
(4 ủ)
a/ 
 . Vaọy MNPQlaứ hỡnh bỡnh haứnh.
b/ Giaỷ sửỷ MNPQ laứ hỡnh chửỷ nhaọt thỡ MP = NQ
Maứ
Vaọy tam giaực ABC caõn taùi A thỡ MNPQ laứ hỡnh chửỷ nhaọt.
** Hoaởc: 
c/ Giaỷ sửỷ MNPQ laứ hỡnh thoi thỡ MN = MQ
Vaọy tam giaực ABC vuoõng taùi A thỡ MNPQ laứ hỡnh thoi.
** Hoaởc:
1
0,5
1
0,5
1
6
(4 ủ
a/ Keỷ 
Xeựt tam giaực BDH vaứ tam giaực EDB
#
b/ 
1
1
1
0,5
0,5