Tài liệu bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 2: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Chuyên đề 2 :
Phương trình quy về phương trình bậc hai
I – Phương trình đại số bậc cao
 Ta gọi phương trình đai số bậc n là các phương trình đưa được về dạng 
 anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0
trong đó n là số nguyên dương ,x là ẩn , a1, a2, ,an là các số thực cho trước, a 0.
 Phương trình đại số bậc cao thường được giải bằng cách qui về các phương trình bậc nhất và bậc hai
 Sau đay là một số phương pháp thường được dùng để giải phương trình bậc cao hơn hai
Đưa về phương trình tích
Ví dụ 1 : Giải phương trình
 x3 + 2x2 + 2 + 2 = 0
Giải: x3 + 2x( x + ) + = 0
 ú (x + )(x2 - x + 2) + 2x(x + ) = 0
 ú (x + ) [ x2 + (2 - )x + 2] = 0
 Phương trình x + = 0 có nghiệm x = -
 Phương trình x2 + ( 2- )x + 2 = 0 vô nghiệm ( vì <0)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = -
Đặt ẩn phụ :
 Ví dụ 2 : Giải phương trình x3 + 3x2 – 2 = 0
Giải :
 Viết phương trình đã cho dưới dạng 2x3 + 3.2x2 – 4 = 0 .Đặt y = x, phương trình trở thành
 y3 + 3y2 – 4 = 0 ú ( y – 1)( y + 2)2 = 0 ú 
Kết luận : Vậy phương tình có hai nghiệm và -
 Ví dụ 2 : Giải phương trình (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Giải : 
Khai triển rồi rút gọn được : x4 - 4x3 - 6x2 – 4x +1 = 0
 Chia hai vế cho x2 ( hiển nhiên x 0 vì x = 0 không là nghiệm của (1)) được :
 x2 - 4x - 6 - = 0 ú x2 + - 6 = 0
Đặt x + = y
Thì x2 + = y2 - 2 .Phương trình (2) trở thành
 y2 - 2 - 4y - 6 = 0 ú y2 - 4y - 8 = 0 ú y = 2 2
Với y = 2 2 ,thay vào (3) ta được 
 x2 – 2(1 + )x + 1 = 0 ú x = 1 + 
Với y = 2 - 2 ,thay vào (3) ,phương trình vô nghiệm
Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm x = 1+ 
Chú ý :
phương trình (1) nói trên có dạng 
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a0) 
gọi là phương trình đối xứng bậc bốn .Để giải phương trình loại này , ta chia hai vế của phương trình cho x2 ( vì x 0) rồi đặt ẩn phụ y = x + .Khi đó 
 y2 = (x + )2 = x2 + +2 2+ 2 = 4 , do đó 2
Chú ý rằng nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng thì cũng là nghiệm của phương trình đó
phương trình đó đối xứng bậc lẻ ( chẳng hạn phương trình đối xứng năm ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 ) bao giờ cũng nhận -1 là một nghiệm.Do đó ta có thể hạ bậc để đưa về phương trình đối xứng bậc chẵn
Cách chia hai vế của phương trình cho x2 0 cũng được sử dụng đối với các phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong đó gọi là phương trình hồi quy.ẩn phụ có dạng y = x + 
Ví dụ : Giải phương trình 4(x+ 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2 (1)
Giải 
Cách 1 : (1) ú 4( x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2
4( x + 17 + )(x +16 + ) = 3 (2)
đặt x + 16 + = y thì (2) trở thành 
 4y(y +1) =3 ú 4y2 + 4y – 3 = 0ú y = ; y = -
Với y = ta có 2x2 + 31x + 120 = 0 ú x = -8; x = 
Với y = - ta có 2x2 + 35x + 120 = 0 ú x = 
Cách 2: Đặt : x2 + 16,5x + 60 = y, từ phương trình y2 = x2.
Xét hai trường hợp y =x;y =-x ta được bốn nghiệm của phương trình.
Chú ý
Phương trình (1) nói trên có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2
Trong đó ad = bc. Ta nhóm
 [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2.
ẩn phụ có thể đặt y = x + (hoặc sai khác một hằng số như cách 1) hoặc y = (x+a)(x+d) ( như cách 2).
Đối với các phương trình có dạng d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (xem bài 290b) trong đó d = ; m = (d -a)(d-b)(d-c), ta đặt ẩn phụ y=x+d.
Một nghiệm của phương trình là y = 0.
Đối với ác phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m trong đó a+b=c+d (xem bài 289a,b,c,d) ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] =m,
Từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ.
Đối với các phương trình có dạng (x+a)4 + (x+b)4 = c (xem bài 291b,c,d) ta thường đặt ẩn phụ y= x+.
Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc
ví dụ89: Giải phương trình x4 = 24x + 32.
Giải: Thêm 4x2 + 4 vào hai vế được
 x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36.
Phương trình (1) có nghiệm x= ,phương trình (2) vô nghiệm.
Kết luận: phương trình đã cho có nghiệm x= .
Ví dụ 90. Giải phương trình: x3 + 3x2 -3x +1 = 0.
Giải: x3 = -3x2 +3x -1 
Dùng bất đẳng thức:
Dùng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên từng khoảng 
Ví dụ 91. Giải phương trình: (1)
Dễ thấy x=8,x=9 đều là nghiệm của (1). Xét các giá trị còn lại của x.
Với x1, 6 >1, còn nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm.
Với x>9 thì >1,, còn nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm.
Với 8<x<9 thì 
Vế trái của (1) nhỏ hơn x- 8 + 9 - x =1 , (1) vô nghiệm.
Vậy (1) có hai nghiệm: x= 8, x= 9.
Dùng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt .
Ví dụ 92. Giải phương trình (1)
Giải: Ta có x2 -x + 1 = nên
(1) 
áp dụng bất đẳng thức , xảy ra đẳng thức với A,ta có 
Vậy nghiệm của phương trình là các giá trị thoã mãn .
II - Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Phương pháp đặt ẩn phụ đặc biệt có hiệu quả khi giải nhiều phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. Nếu không đặt ẩn phụ, sau khi đưa về dạng nguyên, nhiều khi ta phải giải các phương trình bậc cao khá phức tạp. Sau đây là một số cách biến đổi thường dùng.
Chia tử và mẫu của phân thức cho x:
Ví dụ . Giải phương trình 
Giải: ĐK: .Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình.Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x được 
Đặt 3x+2+,phương trình trở thành 
ĐK: y.Bạn đọc tự giải tiếp. 
 Đáp số: .
Ta thường sử dụng phương pháp trên với các dạng sau: 
 Dạng 1: 
 Dạng 2: 
 Dạng 3: 
Thêm cùng một biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phương đúng:
Ví dụ .Giải phương trình:
Giải: ĐK: .Thêm vào hai vế được.
 Đặt ,ta được hoặc 
Với y=2 ta được ,có nghiệm là 
Với y=-6 ta được ,vô nghiệm.
3.Đặt ẩn phụ rồi tìm liên hệ giữa chúng
Ví dụ .Giải phương trình:
 (1).
Giải: ĐK: . Đặt ,ta được 
 (2)
Cách 1. Nếu z=0 thì y=0, loại. 
 Nếu z,chia hai vế của (2) cho z2 được 
 (3)
Đặt ta được 
Từ đó tìm được y,z,x. Đáp số: x=3 ,x=
Cách 2. (2) . Từ đó tìm được x.
III- Phương trình vô tỉ:
Phương trình vô tỉđã được nêu ở Nâng cao và phát triển toán 9 tập một. Sau đây là một số ví dụ khác.
Ví dụ . Giải phương trình :
Giải: Điều kiện: 
Ta có bất đẳng thức với a,b>0. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b.
Với thì (1) thoả mãn (2).
Chú ý: Cũng có thể đặt .
Ví dụ .Giải phương trình 
Giải: ĐK: . Đặt thì x=y2 - 
Thay vào phương trình đã cho và chú ý rằng ta được 
Do y nên . Khi đó , thoả mãn điều kiện Nghiệm của phương trình là x=.
Ví dụ . Giải phương trình 
Giải: Điều kiện: 
Đặt 
Thì 2-x2 = y2. Khi đó ta có: 
 và 
Đặt S=x+y, P=xy, các điều kiện trên trở thành S2 - 2P = 2 và S = 2P, do đó x= 1, y=1 thoã mãn (1) và (2). 
Với P =1,S=2 thì x,y là nghiệm của X2 - 2X + 1=0.Ta được X=1, do đó x=1, y=1 thoã mãn (1) và (2) . 
Với P=1,S=2 và x,y là nghiệm của X2 - 2X +1 =0.Ta được X=1, do đó x=1, y=1 thoã mãn (1),(2).
Với P= thì x,y là nghiệm của X2 -2X +1=0. Ta được Do y>0 nên 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là x=1, x
Ví dụ . Giải và biện luận phương trình 
 (a là tham số).
Giải: Đặt phương tình trở thành . Phương trình đã cho tương đương với hệ: 
Khử a từ (2) và (3) được x2-y2 = -(x+y)(x-y+1)=0 y=-x hoặc y=x+1.
TH1: y=-x. Do nên x=y=0. Khi đó a=0.
TH2: y=x+1. Thay vào (3) được 
 (x+1)2 = a+x x2+x+1-a=0. (4)
(4) có nghiệm với a
Do (1) ta loại x=
Giải điều kiện được 
Kết luận: Nếu a=0, phương trình có nghiệm x=0.
Nếu a, phương trình có nghiệm x=
Nếu 0 phương trình vô nghiệm.
IV- Một số dạng khác:
Ví dụ 100. Tìm các giá trị của m để tồn tại các số x,y thoả mãn cả hai phương trình: 
 4x-3y=7 (1)
 2x2 + 5y2 =m (2)
Giải: Rút x ở (1), thay vào (2) và rút gọn được 
 49y2 +42y+(49-8m)=0 (3)
Từ (1) ta thấy nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x. Do đó chỉ cần tìm điều kiện để (3) có nghiệm. Ta phải có 
Vậy với m thì tồn tại các số x,y thoã mãn cả hai phương trinh.(1) và (2).
Ví dụ 101. Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn cả hai phương trình 
 (1) 
Và x + xy +y =3 + 4. (2)
Giải: Nhân hai vế của (2) với 2 rồi cộng với (1) được 
 (x+y)2 + 2(x+y) =17+8 
Từ (2) và (3) ta có xy=3. Từ x+y =3+ ta tìm được hai cặp số (3;), (
Từ (2) và (4) ta có xy = 8+ .Khi đó 
 vô lí.
Có hai cặp số (x,y) thoả mãn bài toán là (3;, (.
Nhận xét: Mỗi phương trình (1) và (2) nói trên đều không đổi khi ta đổi chỗ x và y cho nhau. Trong trường hợp này, ta thường tìm tích xy, tổng x+y rồi đưa về giải một phương trình bậc hai.
Ví dụ . Tìm cặp số (x;y) thoả mãn cả hai phương trình 
 (1)
 (2).
Giải: Trừ từng vế (1) và (2) được 
 x2 - y2 - x+ y=0 
Nếu x=y, thay vào (1) được . Ta có x=y=.
Nếu x+y=1, thay vào (1) Được x2 - x+ 1=0, vô nghiệm.