Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS - Giang Công Biên

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THCS 
PHẦN SỐ HỌC
Tổng số tiết giáo viên dạy: 35 tiết
I. PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ 	14 tiết
1. Định lí cơ bản về phép chia 	1 tiết
2. Một số phương pháp trong chứng minh chia hết. 	4 tiết
3. Một số phương pháp trong chứng minh chia không hết. 	2 tiết 
4. Bài tập vận dụng. 	7 tiết
II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT, PHÂN SỐ TỐI GIẢN	5 tiết
1. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phân số tối giản. 	1 tiết
2. Một số dạng bài vận dụng và cách giải. 	2 tiết
3. Bài tập vận dụng. 	2 tiết
III. SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ. 	5 tiết
1. Khái niệm về số nguyên tố, hợp số. 	1 tiết
2. Một số dạng bài tập về số nguyên tố, hợp số. 	2 tiết
3. Bài tập vận dụng 	2 tiết
IV. SỐ CHÍNH PHƯƠNG. 	4 tiết
1. Khái niệm về số chính phương và một số dạng bài về số chính phương.	2 tiết
2. Bài tập vận dụng. 	2 tiết
V. CÁC DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP 	8 tiết
VI. HỌC SINH TỰ HỌC	36 tiết
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THCS 
PHẦN SỐ HỌC
I. PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ 	
1. Định lí cơ bản về phép chia 
Cho a,b là các số nguyên tùy ý và b ≠ 0, khi đó có hai số nguyên q,r duy nhất sao cho 
a = bq + r với 0 ≤ r ≤ | b| .
a là số bị chia, b là số chia, q là thương và r là số dư.
Vậy khi chia a cho b thì số dư có thể xảy ra là : 0;1;2;3;; |b|-1.
Khi r = 0 thì a = bq. Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a.
Kí hiệu là a b hay b / a ( đọc là a chia hết cho b hay b là ước của a).. 
Vậy a b có số nguyên q sao cho a = bq.
Ví dụ: 5 = 2.2 + 1 như vậy 5 chia 2 dư 1 hay 5 không chia hết cho 2.
	8 chia hết cho 2 vì 8 = 2.4
2. Tính chất
a) Nếu a b và b c thì a c.
b) Nếu a b và b a thì a = ± b.
c) Nếu a b và a c và (b,c) = 1 thì a bc.
d) Nếu ab c và (b,c) =1 thì a c.
3. Một số phương pháp trong chứng minh chia hết. 	
3.1 Phương pháp dùng tính chất
	Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n.
Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp đem chia cho n thì có n số dư đ6i một khác nhau, trong n số dư khác nhau đó có một số dư là 0. Vây có một số trong n số liên tiếp chia hết cho n.
Áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng chia hết cho 2.
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp bao giờ cũng chia hết cho 6.
c) Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
d) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
Gợi ý:
a) Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2.
b) Chứng minh chia hết cho 2 và 3 và ( 2,3) = 1...
c) Viết tích của hai số chẵn liên tiếp: chẳng hạn 2n(2n+2) = 4n(n+1) 8.
d) Tích của 5 số nguyên liên tiếp: Chẳng hạn: n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4). 120 = 3.5.8
Lần lượt chứng minh tích trên chia hết cho 3, cho 5, cho 8.
	Chia hết cho 3 và 5: dễ thấy.
	Chia hết cho 8: trong 5 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có ít nhất hai số chẵn liên tiếp. 
Bài tập vận dụng: Chứng minh rằng: 
1) a) n3 + 11n 6; 	b) mn(m2 – n2) 6	c) n(n+1)(2n+1) 6.
	2) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
3.2 Phương pháp sử dụng công thức khai triển:
	an – bn a - b ( a ≠ b) với mọi số tự nhiên n.
	an + bn a + b với mọi số tự nhiên n lẻ.
	an – bn a + b ( a ≠ - b) với mọi số tự nhiên chẵn.
	an + bn có cùng số dư với bn khi chia cho a.
Áp dụng: Chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323.
Gợi ý: Có 323 = 17.19
	20n + 16n – 3n – 1 = (20n - 1) + (16n – 3n ) = (20n - 3n) + (16n –1) và để ý n chẵn.
Bài tập vận dụng: Chứng minh rằng: Với mọi n là số tự nhiên thì:
a) 11n +2 + 122n + 1 133; 	b) 5n +2 + 26.5n +82n+1 59	c) 7.52n + 12.6n 19
3.3. Phương pháp dùng định lí về chia có dư
Để chứng minh a có chia hết cho m hay không ta xét tất cả các khả năng mà số dư có thể xảy ra khi đem a chia cho m.
Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 3 thì 32n + 3n + 1 13
Hướng dẫn: Vì n không chia hết cho 3 nên số dư có thể có là 1 hoặc 2 vậy n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 ( với k là số tự nhiên bất kì).
Lần lượt xét hai trường hợp trên và chú ý nếu a chia m dư 1 thì ak chia m cũng dư 1.
Bài tập vận dụng: Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì:
a) mn(m2 – n2) 3; 	b) n5 – n 30	c) n(n2 + 1)(n2 + 4) 5
3.4. Phương pháp sử dụng nguyên tắc Dirichlet.
Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n cái chuồng thì ít nhất có 1 chuồng chứa từ hai con trở lên.
Ví dụ: Chứng minh rằng:
a) Trong 11 số nguyên bất kì có thể tìm được hai số có chữ số tận cùng giống nhau.
b) Trong 101 số nguyên bất kì có thể tìm được hai số có chữ số tận cùng giống nhau.
c) Có thể tìm được một số có dạng 199119911991199119910000 và chia hết cho 1992.
Gợi ý:
a) Chia tất cả các số cho 10
b) chia tất cả các số cho 100
c) Xét dãy số có dạng 1991; 19911991;  ; 199119911991 có 1992 số 1991. Như vậy dãy số này có 1992 số. 
Đem tất cả các số trong dãy chia cho 1991 
3.5 Chứng minh chia không hết
 a) Nếu a b và b c thì a c
b) Nếu a c và b c thì a ± b c
c) Nếu ab p thì a p hoặc b p ( với p là số nguyên tố).
d) a là số chính phương và a p thì a p2 (với p là số nguyên tố).
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì:
a) 9n + 1 100	b) n2 + n + 2 15
Gợi ý: a) Chứng minh 9n + 1 4 với mọi n mà 100 4 
b) Chứng minh n2 + n + 2 3 với mọi n. 
Bài tập vận dụng: Chứng minh rằng:
a) n2 + n + 1 9;	b) n2 + 11n + 39 49
4. Bài tập vận dụng tổng hợp phần 1. 
Bài 1. Chứng minh rằng tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24.
Bài 2. a, b là hai số lẻ không chia hết cho 3, chứng minh rằng a2 – b2 24	
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m,n thì :
a) n2(n2 -1 ) 12	b) n2(n4 -1 ) 60	c) mn(m4 – n4 ) 30	 d) n5 – n 30
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi n chẵn thì: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ thì: n2 + 4n + 3 8
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a) 9.10n + 18 27	b) 92n + 14 5	
c) 62n +1 + 5n+2 31	d) 16n – 15n – 1 225
Bài 7. Chứng minh rằng với m,n nguyên thì:
a) n7 – n 42	b) mn(m2 - n2)(m2 + n2) 30
c) Nếu n không chia hết cho 7 thì (n3 -1) (n3 +1) 7
Bài 8. Tìm số tự nhiên n để: 3n + 63 72.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a) n2 + 3n + 5 121	; b) n2 + 3n + 4 49	; c) n2 + 5n + 16 169.
II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT, PHÂN SỐ TỐI GIẢN	
1. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phân số tối giản. 	
1. 1 Định nghĩa: 
là bội của mọi ước chung của a và b
và
d = (a , b) 
Nếu d = 1 thì a ,b gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
1.2 Tính chất
a) d = (a , b) 
b) (ka , kb) = k(a , b).
c) Nếu ( a , b) = 1 và b / ac thì b / c.
d) Nếu ( a , b) = ( a , c) = 1 thì ( a , bc) = 1
e) ( a ,b, c) = ((a , b) , c)
1.3 Thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất.
a) Nếu b/a thì ( a,b) = b.
b) Trường hợp b không là ước của a, giả sử a = bq + r khi đó ( a, b) = (b , r) .
c) Thuật toán Euclide tìm UCLN.
Giả sử: 	a = bq + r1 ( 0 < r1 < b)
	b = r1q1 + r2 ( 0 < r2 < r1)
	r1 = r2q2 + r3 ( 0 < r3 < r2)
	. . .
	rn-2 = rn-1qn-1 + rn ( 0 < rn < rn-1)
Thuật toán Euclide kết thúa khi số dư rn+1+ = 0, khi đó (a b) = rn.
1.4 Bội chung nhỏ nhất
a) Định nghĩa: 
là ước của mọi bội chung của a và b
và
m = [ a , b ] 
b) Tính chất
	a) [ ka , kb ] = k[ a, b].
	b) [ a, b, c] = [ [ a,b] ,c]
	c) [ a,b] = 
1.5 Phân số tối giản
a) Định nghĩa:
	 là phân số tối giản ( a,b) = 1
b) Tính chất
	a) Mọi phân số đếu có thể đưa về được dạng tối giản.
	b) Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.
	c) Tổng hoặc hiệu của một số nguyên với một phân số tối giản là một phân số tối giản.
2. Một số dạng bài vận dụng và cách giải. 	
2.1 Cho phân số dạng tổng quát, chứng minh phân số tối giản
	Kiến thức vận dụng: Phân số tối giản UCLN(tử,mẫu) = 1
Chứng minh rằng cách phân số sau tối giản với mọi n nguyên.
a) 	; b) 
Giải:
a) Giả sử d là một ước nguyên dương của 21n + 4 và 14n + 3.
Khi đó ta có d / (21n+4) và d / (14n + 3) => d / 2(21n+4) và d / 3(14n + 3)
=> d / (2(21n+4) - 3(14n + 3)) => d / -1 => d = 1.
Do d = 1 với mọi giá trị n là một số tự nhiên nên là phân số tối giản.
b) Giả sử d là một ước nguyên dương của 2n + 1 và 2n(n + 1).
Khi đó ta có d / 2n +1 và d / 2n(n + 1) => d / n(2n +1) và d / 2n(n + 1) 
=> d / (- n(2n +1) + 2n(n + 1)) => d / n => d /(2n +1) - 2n) => d / 1 => d = 1
Do d = 1 với mọi giá trị n là một số tự nhiên nên là phân số tối giản.
Chú ý: Ước dương của 1 là 1; d / a và d / b => d / ( ka ± lb) với mọi k,l là số nguyên khác 0.
2.2 Tìm các số tự nhiên n để phân số sau tối giản. 
Ta có = 
Vậy tối giải tối giản ( 15; n – 2) = 1 với mọi giá trị tự nhiên của n.
 n – 2 3 và n – 2 5 n ≠ 3k + 2 và n ≠ 5t + 2 với mọi k, t là số tự nhiên.
Vậy phân số tối giản khi n ≠ 3k + 2 và n ≠ 5t + 2 với mọi k, t là số tự nhiên
2.3. Thuật tóan Euclide cho phân số tố giản
Chứng minh rằng : tối giản với mọi số tự nhiên n khác 0.
Giải: Ta có 	n4 + 3n2 + 1 = (n3 + 2n ).n + n2 + 1 ( Nhớ lại thuật tóan Euclide)
	 n3 + 2n = ( n2 + 1).n + n
	 n2 + 1 = n.n + 1
Vậy (n4 + 3n2 + 1 , n3 + 2n) = 1 với mọi số tự nhiên n khác 0 .
hay tối giản với mọi số tự nhiên n khác 0.
3. Bài tập vận dụng. 	
3.1. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n khác 0.
a) 	b) 
3.2. Tìm các số tự nhiên n để phân số sau tối giản. a) ; 	b) 
3.3. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản. 
3.4. Chứng minh rằng nếu a + b là số nguyên tố lớn hơn 2 thì là phân số tối giản. 
III. SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ. 	
1. Khái niệm về số nguyên tố, hợp số. 
1.1 Số nguyên tố
a) Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
=> Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên là số nguyên tố.
b) Tính chất: 
	- p là một số nguyên tố, a là một số tự nhiên thì ( a , p) = 1 hoặc ( a , p) = p.
	- Nếu ab p ( p là một số nguyên tố) thì a p hoặc b p.
	- qr p ( p,q,r là các số nguyên tố) thì q = p hoặc r = p.
	- Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
	- Ước nguyên tố nhỏ nhất của một h9ợp số n là một số không vượt quá ( n > 2).
=> n > 1 và n không có ước nguyên tố nào từ đến thì n là số nguyên tố.
2.2 Hợp số
	Hợp số là số lớn hơn 2, có nhiều hơn 2 ước là một và chính nó.
2. Một số dạng bài tập về số nguyên tố, hợp số. 	
2.1 Dạng 1. Sử dụng tính chia hết của số nguyên.
Ví dụ 1: Cho p là một số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p -1 là số nguyên tố. Số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?.
 Gợi ý: Trong ba số 8p -1, 8p và 8p + 1 có một số chia hết cho 3  ?
Ví dụ 2: CMR: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và p + 2 là số nguyên tố thì p +(p + 2) 12 
Ví dụ 3. Tìm 3 số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
2.2 Dạng 2. Dùng định lí về phép chia
Chú ý: 	Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k ± 1.
	Mọi số nguyên tố lớn hơn 6 đều có dạng 6k ± 1.
Ví dụ: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
	Với p = 3  thỏa.
	Với p > 3 thì p = 3k ± 1 , thay vào p + 10 và p + 14 thì một trong hai là hợp số.
2.2 Dạng 3. Phương pháp phân tích
VD: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Ta có: n4 + 4 = ( n2 – 2n +2)( n2 + 2n +2)
Vậy n4 + 4 là số nguyên tố khi n2 – 2n +2 = 1 và n2 + 2n +2 là số nguyên tố.
Với n2 – 2n +2 = 1 => n = 1; với n = 1 ta có n2 + 2n +2 = 5 là số nguyên tố.
Vậy n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố.
3. Bài tập vận dụng 
3.1. Nếu p ≥ 5 và 2p + 1 là số nguyên tố thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số.
3.2. p, 8p2 + 1 là số nguyên tố thì 8p2 – 1 và 8p2 + 2p +1 là số nguyên tố hay hợp số.
3.3. Tìm k để 10 số liên tịếp k +1, k + 2, , k + 10 có nhiều số nguyên tố nhất.
3.4. Tìm số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
3.5. p là một sốnguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2 -1 chia hết cho 24.	
IV. SỐ CHÍNH PHƯƠNG. 	
1. Khái niệm về số chính phương và một số dạng bài về số chính phương.
a) Số chính phương: a là một số chính phương a = k2 ( a là số tự nhiên).
b) Một số tính chất
	( a,b) = 1 và ab là số chính phương => a,b là các số chính phương.
	Số chính phương chia chỏ hoặc 4 hoặc 5 thì số dư chỉ có thể là 1.
	a p ( pa là một số nguyên tố) => a p2 .
	Số chính phương tận cùng chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; hoặc 9	.
	Giữa hai số chính phương “liên tiếp”, không có số chính phương nào.
	Hay n2 a không là số chính phương.
c) Bài tập
2. Bài tập vận dụng. 	
V. CÁC DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP 	
VI. HỌC SINH TỰ HỌC