Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Lê Gia Lợi

 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
NOÄI DUNG CHệễNG TRèNH 
Soỏ tieỏtỏ ỏỏ ỏỏ ỏ 
A.Đại số 
1. Bieỏn ủoồi ẹa thửực 
2. Phaõn thửực Hửừu tổ 
3. BẹT: Phửụng phaựp xeựt hieọu hai veỏ. 
4. BẹT: Phửụng phaựp sửỷ duùng caực BẹT 
5. BẹT: Phửụng phaựp laứm troọi 
6. BẹT: Phửụng phaựp BẹT tam giaực 
7. BẹT: Phửụng phaựp phaỷn chửựng 
8. BẹT: Moọt vaứi phửụng phaựp khaực 
9. GTNN-GTLN 
10. Chửựng minh chia heỏt trong N 
a. Tớnh chaỏt chia heỏt cuỷa toồng ,tớch 
b. ẹoàng dử- Haống ủaỳng thửực 
c. Qui naùp 
11. Bieồu dieồn thaọp phaõn cuỷa soỏ tửù nhieõn 
B.Hỡnh học 
Cộng 
64 
4 
8 
4 
4 
4 
4 
4 
4 
8 
4 
4 
4 
4 
28 
92 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
* Một trong những phương phỏp thường dựng là sử dụng cỏc bất đẳng thức đó biết để chứng 
minh một bất đẳng thức khỏc.Tuy nhiờn khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cụ-si và bất đẳng 
thức Bu-nhi-a-cốp-ski 
. Cỏc bất đẳng thức khỏc khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trờn).Để tiện 
theo dừi, tụi sẽ liệt kờ cỏc bất đẳng thức vào dưới đõy. 
1. abba 222 ≥+ (a,b>0). (BĐT Cụ-si) 
2. ( ) abba 42 ≥+ 
3. ( ) ( )2222 baba +≥+ 
4. 0,;2 >≥+ ba
a
b
b
a
5. 0,;
411
>
+
≥+ ba
baba 
6. cabcabcba ++≥++ 222 
7. ( ) ( )( )22222 yxbabyax ++≤+ ( Bu nhi a cop xki) 
8. 
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+≥+
222
9. 
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++≥++
2222
Vớ dụ 9:Chứng minh cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++ (Với a,b,c > 0) 
Giải:2A - 2B = cba
b
ca
a
bc
c
ab 222222 −−−++
= 





−++





−++





−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
ab
b
c
c
b
a 
Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 >≥+ ba
a
b
b
a
.Ta cú:2A - 2B 
( ) ( ) ( ) 0222222 ≥−+−+−≥ cba .Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 
Vớ dụ 10: Cho cỏc số dương x , y thoả món x + y = 1. 
Chứng minh rằng : 821 22 ≥+
+
yxxy
. 
Giải: 22222222 2
421
2
122
2
221
yxyxyxxyyxxyyxxy ++
≥





+
+=
+
+=
+
+
( ) 8
8
2 =+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi 
2
1
== yx
Vớ dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : 
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++ 2
2
2
2
2
2
Giải: 
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
.2.22
2
2
2
=≥+
 ; 
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2..22
2
2
2
=≥+
 ; 
b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
.2..22
2
2
2
=≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trờn ta cú: 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥





++
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. 
Tiết 21-24 
 Vớ dụ 12:Cho a > 0 và b > 0. 
Chứng minh rằng 
cbabaaccb ++
>
+
+
+
+
+
3111
. 
Giải: 
cbacbabacacbbaaccb ++
=
++
+
++
+
++
>
+
+
+
+
+
3111111
Vớ dụ 13: Chứng minh: 4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333 <++++= n
A
 .Với n là số tự nhiờn và 2≥n 
Giải: ( ) ( ) ( )11
1
1
111
233 +−
=
−
=
−
<
kkkkkkkk . 
Và : ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )11
2
11
11
1
1
1
1
+−
=
+−
−−+
=
+
−
− kkkkkk
nn
kkkk 
Suy ra: ( ) ( ) ( )11
1
1
111
233 +−
=
−
=
−
<
kkkkkkkk
= ( ) ( ) 




+
−
− kkkk 1
1
1
1
2
1
Suy ra: A < ( ) ( )




+
−
−
++−+−
1
1
1
1
...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
 ( ) 4
1
1
1
2
1
2
1
<





+
−=
nn
==========o0o========== 
Bài tập ỏp dụng: 
38. Chứng minh:B = 212
1
...
3
1
2
11 n
n
>
−
++++
 Với n là số tự nhiờn và 2≥n 
39. Bài 29:Cho C bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++
=
(a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng : 21 << C 
40. Chứng minh 
2
3
1
1
1
1
1
1 ≥
+
+
+
+
+
=
xzyzxy
P . Trong đú x , y , z là 3 số dương và 
3222 ≤++ zyx
HƯỚNG DẪN: 
47. Chứng minh:B = 212
1
...
3
1
2
11 n
n
>
−
++++
 Với n là số tự nhiờn 
nnn
B
2
1
2
1
...
12
1
8
1
...
5
1
4
1
3
1
2
11 1 −





++
+
+





+++





+++=
−
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
 nnn 2
1
2
1
...
2
1
8
1
...
8
1
4
1
4
1
2
11 −





+++





+++





+++<
22
1
2
1
2
1
2
1
.
2
2
...
2
1
2
1
2
11 nn
nnn
n
>−+=−+++++=
48. 
cbad
d
badc
c
adcb
b
dcba
aC
+++
+
+++
+
+++
+
+++
>
cbad
cd
badc
bc
adcb
ab
dcba
daC
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
<
49. Áp dụng BĐT 9 ta cú ( )2223
9
zyx
P
+++
≥
===========o0o=========== 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Tiết 25-28 
 * Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giỏc ta cần nhớ cỏc tớnh chất sau: 
• a,b,c là cỏc số dương 
• Tổng 2 cạnh bất kỡ lớn hơn cạnh cũn lại 
• Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh cũn lại bộ hơn 1 
Vớ dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giỏc .Chứng minh rằng 
:
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
Giải: 
Vỡ a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc nờn a + b - c > 0; 
a + c - b > 0; b + c - a > 0 
Áp dụng BĐT 0,;411 >
+
≥+ ba
baba ta được: 
bbacbcba
2
2
411
=≥
−+
+
−+
,tươngtự:
cbacacb
211 ≥
−+
+
−+
;
abaccba
211 ≥
−+
+
−+
. 
Suy ra 





++≥





−+
+
−+
+
−+ cbabcaacbcba
11121112
 hay 
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
.(ĐPCM) 
Vớ dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc . Chứng minh rằng 
: 2<
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
. 
Giải: 
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc nờn a < b + c 
⇒ 
cba
ca
cb
a
cb
a
++
+
<
+
⇒<
+
1
 tương tự 
cba
a
cb
a
cb
a
++
<
+
⇒<
+
21 ;
cba
b
ca
b
++
<
+
2
;
cba
c
ba
c
++
<
+
2
. 
Cộng từng vế 3 BĐT trờn ta được ĐPCM. 
BÀI TẬP: 
50. Chứng minh rằng : 
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) ≤ abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giỏc 
51. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giỏc . Chứng minh rằng ( )cbacba ++<++ 2222 
52. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giỏc . Chứng minh rằng 
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bca
b
acb
a
53. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giỏc . 
Chứng minh rằng 
cacbba +++
1
,
1
,
1
 cũng là 3 cạnh của 1 tam giỏc 
==========o0o========== 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
HƯỚNG DẪN : 
50. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc nờn (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; 
z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta cú ĐPCM. Đẳng thức xỏy ra khi và chỉ khi a = b = 
c.Hay tam giỏc đó cho là tam giỏc đều. 
51. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc nờn a < b + c 
⇒ acaba +<2 tương tự abbcb +<2 ; acbcc +<2 Cộng từng vế 3 BĐT trờn ta 
được ĐPCM 
52. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra : 
6≥+++++
y
zx
x
zy
z
yx
53. Ta cần chứng minh bacbca +
>
+
+
+
111
 ; 
cbcaba +
>
+
+
+
111
 ; 
cacbba +
>
+
+
+
111
. 
Dựa vào tớnh chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh cũn lại ,chứng minh : bacbca +
>
+
+
+
111
bằng cỏch làm trội 2 lần liờn tiếp.Tương tự : 
cbcaba +
>
+
+
+
111
 ; 
cacbba +
>
+
+
+
111
=========o0o========== 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Tiết 29-32 
Vớ dụ 14:Cho 222 ≤+ ba . Chứng minh rằng 2≤+ ba 
Giải: 
Giả sử : 2>+ ba ( ) 42222 >++=+⇒ abbaba mặt khỏc: 
( ) ( ) 24222 22222222 >+⇒>+⇒+≤++ bababaabba . 
Điều này trỏi với giả thiết 222 ≤+ ba .Vậy 2≤+ ba . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 
Vớ dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng cú ớt nhất một trong cỏc BĐT sau 
là sai: 
 a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1 
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trờn đều đỳng .Nhõn theo vế 3 BĐT trờn ta cú: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) 
> 1. 
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) ≤ 1; tương tự: 
 b(2 - b) ≤ 1: c(2 - c) ≤ 1. Mõu thuẫn với điều giả sử.Vậy cú ớt nhất một trong ba BĐT 
trờn là sai. 
Bài tập ỏp dụng 
54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0 
55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai: 
21 <+
b
a
 .; 2
1
<+
c
b ; 2
1
<+
a
c
56. Chứng minh khụng cú cỏc số dương a,b,c nào thoả món cả 3 BĐT sau: 
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 
57. Chứng minh khụng cú cỏc số a,b,c nào thoả món cả 3 BĐT sau: 
;acb >−
;bac >−
;cba >−
58. Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu: 
zyx
zyx 111 ++>++
 thỡ cú một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1. 
59. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh khụng thể đồng thời xảy ra cỏc BĐT sau: 
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab 
HƯỚNG DẪN : 
54. Giả sử 0≤a 
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vụ lớ 
 *Nếu a 0. Do abc > 0 ⇒ bc < 0 
⇒
 ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c. 
55. Giả sử 2
1
<+
b
a
 .; 2
1
<+
c
b ; 2
1
<+
a
c
Thỡ 6
111
<+++++
a
c
c
b
b
a
 .Điều này khụng đỳng. 
56. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 
Thỡ : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: 
(1 - c) > 0 
Nhưng 4a(1 - a) ≤ 1; 4b(1 - b) ≤ 1; 4c(1 - c) ≤ 1 
Khi đú: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1(**) 
 (*) mõu thuẫn với (**) 
57. Giả sử cả 3 BĐT trờn đều đỳng .Ta cú từ 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
• ;acb >− 
( ) ( ) ( )( ) 002222 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ acbacbacbacb
• ;bac >− ( ) ( ) ( )( ) 002222 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ bacbacbacbac 
• ;cba >− ( ) ( ) ( )( ) 002222 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ cbacbacbacba 
Nhõn theo vế 3 BĐT này ta suy điều vụ lý 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Tiết 33-36 
 I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cể ĐIỀU KIỆN: 
• Khi chứng minh cỏc BĐT cú điều kiện dạng: maaa n ≥+++ ...21 ,ta thường dựng ẩn phụ 
để đưa bài toỏn về dạng đơn giản hơn để đỏnh giỏ trực tiếp. 
• Cỏc bước như sau: 
1. Dự đoỏn đẳng thức xảy ra khi nào 
2. Đặt 
n
m
ax
n
m
ax
n
m
ax nn −=−=−= ;...; 2211 
Vớ dụ 16: Cho a,b,c thoả món: a + b ≥ c ≥ 0. 
Chứng minh:
222
2
1
cba ≥+
Giải: 
Đặt: 2
c
ax −= ; 2
cby −=
.Vỡ a + b ≥ 0. 
Do đú x + y = a + b - c ≥ 0 .Ta cú: 
( ) 2222
2222
22
22
2
1
2
1
4
1
4
1
22
ccyxcyx
ccyyccxxcycxba
≥++++=
+++++=





++





+=+
Vớ dụ 17: Cho a,b thoả món: 233 ≤+ ba . 
Chứng minh: 2≤+ ba 
Giải: 
Đặt: 1−= ax ; 1−= by .Ta cú: 
( ) ( )
( )( ) ( ) 233
...11
2222
3333
+++++−+=
=+++=+
yxyxyxyx
yxba
( ) ( ) 0233
4
3
2
222
2
≤+++








++





−+= yxyyxyx
( )
( ) 20
03;03
4
3
2
222
2
≤+⇒≤+⇒
≥+>








++





−
bayx
yxyyx
BÀI TẬP: 
Bài 40: 
Đặt: 1−= ax ; 1−= by ; 1−= cz . 
Suy ra : x , y , z [ ]1;1−∈ ;x + y + z = 0. 
Ta cú: 
( ) 322222 ++−=++ zzcba
Bài 41: 
( ) ( ) 425555 1010211
11
xxxxba
xbxa
++=−++=+
−=⇒+=
Bài 42: 
Đặt yxcybxa −−=⇒+=⇒+= 111 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
6
4
3
2
22
222 ++





+=+++++
by
xcabcabcba
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Bài 43: 
Đặt xbdxac −=⇒+= 
abxxbacddc 3
4
3
2
22
22 ++





+−=++
Bài 44: Cho a,b thoả món: 2≥+ ba . Chứng minh rằng: 
Đặt a = x + 1 ⇒ b = 1 - x.Ta cú : 
( ) ( )
( )12
11
22
333344
+=
−++=−−+
xx
xxxxbaba
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả món a + b = 1. 
Chứng minh rằng: 14
32
22 ≥+
+
baab . 
Bài 48: Cho a + b + c + d = 1. 
Chứng minh rằng: ( )( ) 2
122 ≤++++ bdacdbca
Bài 49: Cho a + b = 8 và b ≥ 3. 
Chứng minh rằng: 27a2 + 10b2 > 945. 
 II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Cể ĐIỀU KIỆN: 
• Dạng: Cho BA ≥ . Chứng minh DC ≥ 
• Ta chứng minh ( ) ( ) 0≥−+− ABDC 
• Từ ( ) ( ) 00 ≥−⇒≤− DCAB 
Vớ dụ 18: Cho a + b ≥ 1. Chứng minh rằng: 2
122 ≥+ ba
Giải: 
( )
0
2
1
2
1
4
1
4
1
1
2
1
22
22
22
≥





−+





−=





+−+





+−=
−−+





−+
aabbaa
baba
Nhưng a + b ≥ 1 nờn 2
122 ≥+ ba
.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5 
Vớ dụ 19: Cho a,b thoả món: 2≥+ ba . Chứng minh rằng: 4433 baba +≤+ . 
Giải: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )1111
1111
1111
2
2222
33
33
3344
++−+++−=
−−+−−=
−−−−−+−=
+−++−+
bbbaaa
bbaa
babbaa
bababa
Do ( ) 012 >++ aa và ( ) 012 >++ bb 
Nờn ( ) ( ) ( ) 023344 ≥+−++−+ bababa 
Mà 2≥+ ba Suy ra: 4433 baba +≤+ .Đẳng thức xảy ra khi 
 a = b = 1 
Bài tập ỏp dụng 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Bài 50: Cho x , y là cỏc số dương thoả món 3243 yxyx +≤+ Chứng minh rằng: 
a) 2233 yxyx +≤+ 
b) 232 yxyx +≤+ 
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu 3≥++ cba 
Thỡ 333444 cbacba ++≥++ 
Bài 52: Cho yxyx +≤+ 22 . Chứng minh rằng: 2≤+ yx 
Bài 53: Cho yxyx −=+ 33 . Chứng minh rằng: 122 <+ yx 
Bài 54: Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: baba +≥+ 22 
Bài 55: Cho xyx ≤+ 22 . Chứng minh rằng: ( ) 11 −≥+xy 
========o0o======== 
 III. ÁP DỤNG BĐT ( )
n
n
n
n
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
+++
+++
≥+++
...
...
...
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1`
Bài 56: Cho cỏc số dương x,y thoả món x + y = 1. 
Chứng minh rằng: 8
21
22 ≥+
+
yxxy 
Bài 57: Cho cỏc số dương x,y,z,t thoả món x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng: 
161111 ≥+++
tzyx 
Bài 58: Cho cỏc số dương a,b,c,d. 
Chứng minh rằng: 4≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ad
bd
dc
ac
cb
db
ba
ca
Bài 59: Cho cỏc số dương x,y,z. Chứng minh rằng: 
yxzxzyzyxxzzyyx ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
Bài 60: Cho cỏc số dương a,b,c thoả món abc = ab + bc + ca. 
Chứng minh rằng: 16
3
32
1
32
1
32
1
<
++
+
++
+
++ bacacbcba 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Tiết 37-40 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
Tiết 45- 
1. Cho tam giỏc ABC . Gọi O là 1 điểm thuộc miền trong của tam giỏc . Gọi M,N,P,Q lần 
lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng OB,OC,AC,AB. 
a. Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành . 
b. Để tứ giỏc là hỡnh chử nhật thỡ điểm O nằm trờn đường đặc biệt nào của tam giỏc 
ABC 
2. Cho Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ,đường chộo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt ở 
I,M,N. Vẽ CE vuụng gúc với AB, CF vuụng gúc với AD, BG vuụng gúc với AC. Gọi K 
là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh rằng : 
a. IM.IN = ID2 
b. 
DN
DM
KN
KM
=
c. AB.AE + AD.AF = AC2 
3. Cho tam giỏc ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q trờn AB vẽ đường thẳng song song 
với CM, Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR 
thỡ tam giỏc ABC vuụng tại C 
4. Cho tam giỏc ABC cú 3 ∠ A + 2 ∠ B = 1800 . Tớnh số đo cỏc cạnh của tam giỏc biết số 
đo ấy là 3 số tự nhiờn liờn tiếp 
5. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Trờn cạnh CD và BC lấy M,N sao cho BM = DN. Gọi I là 
giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIB 
6. Cho tam giỏc ABC (BC<AB). Từ C vẽ dường vuụng gúc với phõn giỏc BE tại F và cắt 
AB tại K; vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G . Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của 
GE 
7. Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A = 600 . Gọi M là 1 điểm thuộc cạnhAD. Đường thẳng CM 
cắt đường thẳng AB tại N. 
a. Chứng minh rằng AB2 = DM.BN. 
b. BM cắt DN tại P . Tớnh gúc BPD 
8. Cho tam giỏc ABC , M là điểm nằm trờn cạnh BC. Chứng minh rằng MA.BC< MC.AB + 
MB.AC 
9. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuụng gúc với AB, 
ME vuụng gúc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME khụng phụ thuộc vào vị trớ của 
điểm M trờn cạnh BC 
10. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD (AB>AD). Từ C kẻ CE và CF lần lượt vuụng gúc với cỏc 
đường thẳng AB,AD. 
 Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2 
11. Cho Cho tam giỏc ABC với 3 đường phõn giỏc AD,BE,CF. Chứng minh rằng 
 a. 1.. =
FB
FA
EA
EC
DC
DB
. 
 b. 
ABCABCCFBEAD
111111
++>++ . 
12. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Đường cao AH, trung tuyến BM,phõn giỏc CD cắt nhau 
tại 1 điểm. Chứng minh rằng : 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
 a. 1.. =BD
AD
MA
CM
HC
BH
. 
 b. BH = AC 
13. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớnhơn đường chộo BD. Gọi E và F lần 
lượt là hỡnh chiếu của B và Dxuống đường thẳng AC. 
a. tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ? 
b. Gọi CH và CK lần lượt là Đường cao của tam giỏc ACB và ACD. 
1. Chứng minh rằng 
CD
CK
CB
CH
= . 
2. Hai tam giỏc CHK và ABC đồng dạng . 
3. Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2 
14. Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Chứng 
minh rằng : 
 a. ∆ FHE đồng dạng ∆ BHC. 
b. H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc FED 
15. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường cao AH. Cho biết AH = 3 và CH = 4. 
a. Tớnh AC và AB. 
b. Vẽ đường phõn giỏc của gúc A của tam giỏc ABC Tớnh diện tớch tam giỏc ABD 
16. Cho hỡnh thang ABCD cú AD//BC và BC = 10, AD = 6, AB = 4, CD = 6. Cỏc đường 
phõn giỏc ũgúc A và B cắt nhau tại M. Cỏc đường phõn giỏc của gúc C và D cắt nhau tại 
N. Tớnh MN. 
17. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) điểm M nằm trong tứ giỏc ABCD, vẽ cỏc hỡnh bỡnh 
hành MDPA,MCQB. Chứng minh rằng PQ//CD 
18. Cho tứ giỏc lồi ABCD. Trờn 2 cạnh AB và CD ta lần lượt lấy 2 điểm E và F sao cho : 
BE
AE
 = 
DF
CF
. Chứng minh rằng nếu đường chộo AC đi qua Trung điểm I của đoạn thẳng 
của FE thỡ AC chia đụi diện tớch của tứ giỏc ABCD 
19. Cho hỡnh thoi ABCD biết gúc A = 1200.Tia Ax tạo với tia AB 1 gúc Bax bằng 150.và cắt 
cạnh BC tại M,cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng : 222
433
ABANAM
=+ . 
a. . 
20. Cho hỡnh vuụng ABCD cú M,N P,Q lần lượt là cỏc Trung điểm của AB,BC,CD,DA. 
Đường thẳng AN lần lượt cắt DM,BP tại I,J. Đường thẳng CQ lần lượt cắt BP,DM tại H 
và K. Tứ giỏc ỊHK là hỡnh gỡ? 
21. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Vẽ phõn giỏc AM của gúc A, vẽ phõn giỏc Cắt nhau của 
gúc C. Cỏc phõn giỏc gúc A và C cắt BD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng diện tớch 2 
tứ giỏc FNAE và FEMC bằng nhau 
22. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD; AB<CD). Gọi M,N lần lượt là Trung điểm của BC và 
AD. Gọi I là Trung điểm của MN. Một đường thẳng bất kỳ qua I cắt 2 cạnh AB,CD lần 
lượt tại E và F. Chứng minh rằng hai tứ giỏc FDAE và FCBE cú diện tớch bằng nhau 
23. Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn và 2 đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Gọi D là 
điểm đối xứng với H qua Trung điểm I của BC. 
a. tứ giỏc BHCD là hỡnh gỡ? 
b. Chứng minh 2 gúc BDC và BAC bự nhau 
24. Cho hỡnh thang ABCD cú 2 cạnh đỏy dài 3 cm và 11 cm, gúc của cạnh bờn và cạnh đỏy 
lớn bằng 450 .Tớnh diện tớch hỡnh thang 
25. Cho tam giỏc ABC cú 2 gúc nhọn , BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H. Chứng 
minh rằng : 
a. HD.HB = HE.HC. 
b. ∆ HDE đồng dạng ∆ HCB. 
c. BC2 = BH.BD + CH.CE 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 
26. Cho hỡnh thang cõn ABCD với AB//CD. Gọi I,J,K,Vuụng lần lượt là Trung điểm của 
AB,BC,CD,DA. 
a. Tứ giỏc ỊKL là hỡnh gỡ? 
b. Cho biết diện tớch ABCD bằng 20 cm2 . Tớnh diện tớch tứ giỏc IJKL 
27. Cho tam giỏc ABC (gúc A = 900). D là điểm di động trờn cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là 
hỡnh chiếu của điểm D lờn AB,AC. 
a. Xỏc định vị trớ của điểm D để tứ giỏc FAED là hỡnh vuụng . 
b. Xỏc định vị trớ điểm D để tổng 3AD + 4FE đạt giỏ trị nhỏ nhất 
28. Cho tam giỏc ABC cõn tại Cạnh Kẻ đường phõn giỏc AA1 của gúc A và đường trung 
tuyến CC1 của tam giỏc . Biết rằng AA1 = 2CC1.Tớnh số đo gúc ACB. 
29. Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn và AD là đường phõn giỏc. Chứng minh rằng : AD2 < 
AB.AC 
30. Trờn 2 cạnh AB và BC của hỡnh vuụng ADBC lấy 2 điểm P và Q theo thứ tự sao cho BP 
= BQ. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ B xuống CP. Chứng minh rằng gúc DHQ = 
900 
31. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh là a. Gọi M,N theo thứ tự là Trung điểm của cỏc cạnh 
AB,BC. 
a. Tớnh theo a diện tớch tứ giỏc AMND. 
b. Phõn giỏc của gúc CMD cắt BC tại P. Chứng minh DM = AM + CP 
32. Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 900., D là 1 điểm nằm giữa A và C. Qua C dựng CE ⊥ 
BD tại E. Chứng minh 
 a. ∆ ADE đồng dạng ∆ BDC. 
b.AB.CE + AE.BC = AC.BE 
33. Cho tam giỏc ABC , gọi D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng : AB2.CD + 
AC2.BD - AD2.BC = CD.BD.BC. ( Hệ thức Stewart). 
34. Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là Trung điểm của AB,BC,CD,DA. 
a. Chứng minh 
2
CDABNQ +≤ . 
b. Trong trường hợp 
2
CDABNQ +=
 thỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ? Trong trương hợp 
này vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt MP tại O và cắt BC tại F. 
Chứng minh O là Trung điểm của FE 
35. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnhBC lấy điểm M bất kỳ . Gọi P là giao điểm của 2 
đường thẳng AM và CD. Chứng minh rằng : 
222
111
APAMAB
+= 
36. Cho hỡnh vuụng ABCD , điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt DC tại K . Chứng 
minh : 
222
111
AKAMAB
+= . 
37. Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến, AD và BE vuụng gúc với nhau tại O . Cho AC = 
b,BC = a. Tớnh diện tớch hỡnh vuụng cú cạnh là AB 
38. Cho tứ giỏc ABCD, gọi F,E là Trung điểm của AD,BC. 
a. Tỡm điều kiện của tứ giỏc để : 
2
CDABFE += . 
b. Gọi M,N,P và Q theo thứ tự là Trung điểm của DF,EB,FA,EC. Chứng minh tứ giỏc 
MNPQ là hỡnh bỡnh hành 
 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8