Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tam giác đồng dạng để giải một số bài toán Hình học Lớp 8

I. Đặt vấn đề
Trong chương trình hình học lớp 8 THCS phần tam giác đồng dạng có 20 tiết trên tổng số 71 tiết học. Vì vậy loại toán này chiếm vị trí quan trọng trong chương trình cấp học. Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể ở học sinh còn rất nhiều hạn chế.
Trong giảng dạy tôi thấy để học sinh có thể tự minh giải được các bài toán bằng việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng, cần giúp học sinh định hướng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng một số ví dụ cụ thể, đề tài này mong muốn được trao đổi kinh nghiệm mà bản thân tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy ở phân môn hình học lớp 8, việc khai thác và vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải.
Các ví dụ và cách giải ở bài viết này chỉ là những ví dụ có tính minh họa cho vấn đề đã nêu còn có nhiều cách giải khác có thể hay hơn, xin dành lại cho các bạn đọc.
II. Nôi dung:
Các bài toán về tam giác đồng dạng tập trung 3 dạng toán chủ yếu sau:
1- Các bài toán về tính toán.
2- Các bài tóa về chứng minh.
3- Các bài toán khác.
Sau đây là 11 ví dụ thể hiện ở các dạng nêu trên. Ngoài ra bạn đọc còn có thể tự giải bài tập theo kiến thức này.
1. Các bài toán về tính toán:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm. Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm; trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN
18cm
12cm
15cm
A
B
C
M
N
8cm
10cm
Giải
Xét D ABC và D ANM
Ta có = 
Nên 
Mặt khác có A chung của hai tam giác nên
S
D ABC D ANM (c-g-c)
Ta có hay ị MN = = 12 (cm)
Ví dụ 2: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; CD = 16cm và BD = 8cm, góc ADB bằng 40O. Tính số đo góc C của hình thang.
Giải:
D
C
B
A
16cm
4cm
40O
8
Xét D ABD và DBDC có
AB//CD ịABD = BCD (so le)
 = 
 = 
ị = = 
S
Vậy D ABD DBDC (g.c.g) ị ABD = BCD = 40O hay C = 40O.
Ví dụ 3: Tam giác vuông ABC (A = 90O) có đường cao AH và trung tuyến AM. Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm.
A
C
B
H
M
4
9
Giải:
Xét hai tam giác vuông
HBA và HAC
Ta có BAH = ACH
(Góc có cạnh tương
 ứng vuông góc)
S
Nên D HBA D HAC
ị ị HA2 = HB.HC = 4.9 = 36
ị AH = 6(cm)
Mặt khác AM là trung tuyến của DABC ị BM = = 6,5(cm)
ị HM = 6,5 - 4 = 2,5 (cm)
Vậy SDAHM = AH. HM = . 6.2,5 = 6,5 (cm2)
2. Các bài toán chứng minh:
Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90O), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm. Chứng minh BEC = 90O.
D
C
B
A
E
12
6
17
Giải:
Xét hai tam giác vuông ABE và DEC
Ta có DE = AD - AE = 17-8=9(cm)
Từ đó ta có (vì )
S
Vậy D ABE D DEC
Do đó: 	AEB = DCE	(1)
	ABE = DEC	(2)
Từ (1) và (2) ị AEB + DEC = 90O nên BEC = 90O.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm; BC = 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm . Chứng minh rằng BD//AC.
B
D
C
A
4
6
9
x
Giải:
Xét hai tam giác vuông
ABC và CDB có
 (vì )
S
Suy ra D ABC DCDB
Và do đó có các góc
tương ứng bằgn nhau CBD = ACB
Vậy BD// AC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)
Ví dụ 6: Trong lục giác lồi ABCDEF, các góc ở đỉnh A, C, E bằng nhau và ABF = CBD, AFB = EFD. Chứng minh rằng nếu A' là điểm đối xứng của A qua BF và không nằm trên đường thẳng CE thì ACDE là hình bình hành.
E
D
F
A
B
C
A'
Giải:
S
DEDF DA'BF vì có
DEF = BA'F (= BAF)
và EFD = A'FB (= AFB)
Do đó 	(1)
Ta lại có: A'FE = EFB -A'FB
 = EFB - EFD = DFB	 	(2)
S
Từ (1) và (2) suy ra DA'EF DBDF (c.g.c)
S
Chứng minh tương tự DBCA' DBDF
S
Nên DA'EF DBCA' (tính chất bắc cầu)
Suy ra: vậy A'C = DE	(3)
Tương tự ta có A'E = CD 	(4)
Từ (3) và (4) ta kết luận: ACDE là hình bình hành.
C
B
F
A
D
H
E
G
Ví dụ7: Chứng minh rằng trung điểm hai đáy của một hình thang, giao điểm hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên kéo dài của hình thang đó thẳng hàng.
Giải:
Trong hình vẽ bên ta phải 
chứng minh bốn điểm
 H,E,G,F thẳng hàng
Nối EG, FG ta được
S
DADG DCBG (g.g) ị 
Hay 	(1)
Ta lại có EAG = FCG (so le trong)	(2)
S
Từ (1) và (2) ị DAEG DCFG (c.g.c)
Nên AGE = CGF . Vậy E, G, F thẳng hàng (3)
S
Nối EH, FH. Chứng minh tương tự trên ta được D AEH DBFH ị AHE = BHF
Vậy H, E, F thẳng hàng 	(4)
Từ (3) và (4) ta kết luận H, E, G, F thẳng hàng.
Ví dụ 8: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH. DH = BH . EH = CH . FH.
C
B
D
F
E
A
H
Giải:
Ta có tam giác AFH và
tam giác CDH là hai tam giác
vuông có AHF = CHD vì
hai góc đối đỉnh
S
Nên DAFH DCDH (g.g)
ị ị AH. DH = CH.FH 	(1)
S
Chứng minh tương tự ta có DBFH DCEH
ị ị BH. EH = CH.FH 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra AH.DH = BH.EH = CH .FH
Ví dụ 9: Lấy điểm M trên đường chéo AC của tứ giác ABCD có B=D = 90O, kẻ MN^ BC (NẻBC) và MP^AD (PẻAD). Chứng minh 
Giải:
Vì AB ^BC (gt)
D
C
B
N
A
M
MN^BC (gt)
Nên MN//AB
S
ị DCNM DCBA ị 	(1)
S
Ta có MP//CD nên D AMP DACD
ị 	(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
Vậy 
3. Các bài toán khác:
Ví dụ 10: Dựng tam giác ABC biết B = 60O; C = 40O và đường cao AH =h.
Giải:
A
C
C'
H'
B'
B
H
d
h
60O
40O
Cách dựng:
- Dựng DAB'C' có B' =60O
C' = 40O
- Vẽ đường cao AH'
- Trên tia AH' lấy điểm H
sao cho AH = h
- Dựng đường thẳng d đi qua H và song song với
B'C cắt AB' và AC' lần lượt ở B,C
DABC là tam giác cần dựng
Chứng minh: Theo cách dựng có AB//B'C' 
S
ị DABC DAB'C' ị B = B' = 60O ; C =C' = 40O
AH' ^B'C' ị AH^BC và AH = H
Phần còn lại người đọc tự giải tiếp
Ví dụ 11: Cho tam gac ABC có A = 60O, AB = 6cm, AC = 9cm. Dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ số đồng dạng K=
Giải:
A'
C'
y
x
B'
60O
Cách dựng:
S
- Dựng xA'y = A = 60O
Trên A'x và A'y theo thứ tự
lấy các điểm B',C' sao cho
 (lấy A'B' = AB = 2(cm))
 (hay A'C' = AC = 3(cm))
Tam giác A'B'C' là tam giác phải chứng minh
Theo cách dựng ta có 	(1)
	(2)
A' = A
S
Suy ra: và A' = A vậy DA'B'C' DABC
(Trường hợp thứ ba)
4. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giả sử AC là đường chéo lớn củ hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E,F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng AB.AE+AD.AF = AC2.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC. Một đường thẳng song song với AC cắt các cạnh AB, BC ở M và P. Gọi D là tâm của DPMB, E là trung điểm của AP. Tính các góc của D DEC.
Bài 3: Cho hình bảy cạnh đều A1 A1... A7.
Chứng minh rằng: 
Bài 4: Hình thang ABCD (BC//AD) có BC = 6cm; AD = 11cm và AB=4cm. Tính độ dài đường cao của hình thang biết BAD + CDA = 90O.
Bài 5: Cho các hình bình hành ABCD, AMPN 9MẻAB và NẻAD, P ở trong hình bình hành ABCD). Gọi Q là giao điểm của DM và BN. Chứng minh điểm Q,P,C thẳng hàng.
III. Kết luận:
Việc xác định được và vận dụng đúng tam giác đồng dạng không phải là dễ dàng trong mọi bài toán. Trong quá trình giảng dạy ở các năm học vừa qua tôi đã thực nghiệm nội dung của đề tài này và thấy được tác dụng tính tích cực của nó. Từ chỗ học sinh còn rất lúng túng để xác định được lời giải thì đến đây các em đã khá chủ động trong vấn đề này. Nhất là những bài toán hình học có nội dung chứng minh, đã trở thành quen thuộc với các em, làm cho không khí lớp học trở nên sôi động, học sinh tự tin hơn trong quá trình giải bài.
Với tác dụng nhất định của nó, đề tài "Sử dụng tam giác đồng dạng để giải một số bài toán hình học lớp 8" vẫn còn tiếp tục được vận dụng trong những năm học tiếp theo. Tuy vậy, do còn nhiều mặt hạn chế của tôi nên chắc chắn đề tài không khỏi có những thiếu sót và hạn hẹp. Rất mong người đọc góp ý, xây dựng./.