Sáng kiến kinh nghiệm Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập phương trình Đại số Lớp 8 - Hà Danh Hưng

Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
1 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Phú Cát Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
Phần I : Sơ yếu lý lịch. 
Phần II : Nội dung đề tài. 
Tên đề tài 
" một số gợi ý trong giải toán 
bằng cách lập ph−ơng trình " 
A. Đặt vấn đề 
1. Lý do chọn đề tài. 
Trong dạy học môn toán việc giúp học sinh tìm ra h−ớng giải quyết 
cho một lớp các bài toán là một việc làm rất quan trọng. Đặc biệt đối với 
dạng bài có nhiều ứng dụng trong Đại Số “Giải bài toán bằng cách lập 
ph−ơng trình – hệ ph−ơng trình” việc làm đó càng trở nên cần thiết hơn. 
Trong ch−ơng trình Đại Số ở lớp 8 các em đ: đ−ợc làm quen qua dạng 
bài giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình nh−ng chỉ dừng lại ở dạng 
ph−ơng trình bậc nhất một ẩn. Song ch−ơng trình Đại Số 9 các em lại một lần 
nữa đ−ợc giải các bài toán bằng cách lập ph−ơng trình bậc hai, và hệ ph−ơng 
trình bậc nhất hai ẩn số. Tôi nhận thấy chủ yếu học sinh khá giỏi có thể có 
khả năng làm đ−ợc dạng toán này còn các học sinh yếu, trung bình gặp rất 
nhiều khó khăn trong việc giải toán loại này. 
Chính vì vậy mà tôi đ: mạnh dạn đ−a ra một vài gợi ý cho các em khi 
giải loại toán này. Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi, trong khi 
giải các bài toán và rất mừng nó đ: thu đ−ợc những kết quả nhất định. 
2. Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài 
Đề tài này tôi thực hiện khi dạy các tiết 40 – 41 – 62 trong ch−ơng 
trình Đại Số 9 với nội dung chủ yếu là luyện tập giải các bài toán bằng cách 
lập ph−ơng trình mà cách giải các em đ: làm quen ở ch−ơng trình Đại Số 8. ở 
mỗi dạng toán tôi có đ−a ra thêm một vài gợi ý cho các em học sinh khi giải. 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
2 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Đối t−ợng thể nghiệm đề tài này là học sinh lớp 9BC tr−ờng THCS Phú 
Cát. Đây là 2 lớp có nhiều học sinh yếu và trung bình. Đối t−ợng th−ờng gặp 
rất lúng túng với dạng toán này. 
3. Mục tiêu của đề tài 
Đề tài này tôi muốn cung cấp cho các em ph−ơng pháp giải bài toán 
bằng cách lập ph−ơng trình – hệ ph−ơng trình. Qua đó giúp các em nắm đ−ợc 
và vận dụng váo các bài tập. 
4. Khảo sát tr−ớc khi thực hiện đề tài 
Sau khi dạy xong tiết 41 – trong ch−ơng trình Đại Số 9 về giải bài toán 
bằng cách lập ph−ơng trình - hệ ph−ơng trình tôi cho học sinh làm bài kiểm 
tra 20 phút với nội dung: 
Đề bài : 
Cho 1 số có 2 chữ số. Nếu đổi chỗ 2 chữ số đó thì đ−ợc số lớn hơn số 
đ: cho 36. Tổng của số đ: cho và số mới là 99. Tìm số đ: cho. 
Kết quả nh− sau : 
Điểm 
Lớp 
Số học 
sinh 0 1 -> 3 4 -> 5 6 -> 7 8 -> 9 10 
9B 38 3 20 10 3 2 0 
9C 38 2 22 10 2 2 0 
Qua bài làm của các em tôi nhận thấy các em ch−a vận dụng tốt đ−ợc 
cách giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình – hệ ph−ơng trình. Một số em 
còn lúng túng khi giải, ch−a biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn nh− thế 
nào, ch−a biết cách biểu thị mối liên hệ giữa giá trị đ: biết qua ẩn để đi đến 
ph−ơng trình – hệ ph−ơng trình. 
Do vậy ng−ời thầy cần chỉ ra con đ−ờng để giúp các em đi đến kết quả 
của bài toán một cách tất yếu nhanh và chính xác. 
B. Giải quyết vấn đề 
a) Mục tiêu của đề tài. 
Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em 
học sinh giải nhanh và chính xác cách giải bài toán bằng cách lập ph−ơng 
trình – hệ ph−ơng trình. 
b) Các b−ớc tiến hành. 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
3 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Sau khi dạy xong các tiết 40 – 41 – 62 tôi cho kiểm tra và thu đ−ợc kết 
quả nh− trên. Tôi nhận thấy trong các tiết luyện tập sau cần nhắc lại cho 
các em hiểu rõ cách giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình – hệ ph−ơng 
trình. 
c) Kiến thức chủ yếu. 
- Cách giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình – hệ ph−ơng trình 
(có 3 b−ớc cụ thể) 
- Giải hệ ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp thế, ph−ơng pháp cộng 
đại số. 
- Giải ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 )0( ≠a . 
d) Nội dung chủ yếu: 
Dạng 1 : Toán về tỷ số và quan hệ giữa các số. 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Tỷ số của 2 số a và b )0( ≠a là a : b. 

 Hiệu 2 số là a – b. 

 Tổng 2 số là a + b 

 Tổng bình ph−ơng hai số là : a2+b2 

 Tổng nghịch đảo hai số là: ba
11 + 
2. Các ví dụ : 
 Ví dụ 1 : Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7 và số 
lớn cho 5 thì th−ơng thứ nhất kém th−ơng thứ hai 4 đơn vị. 
Tìm hai số đó. 
H−ớng dẫn giải 
- Đối với bài toán này việc chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đòi 
hỏi học sinh phải xác định rõ ràng đúng đắn để đ−a ra ph−ơng 
trình hoặc hệ ph−ơng trình cho bài toán. 
Lời giải 
- Gọi số lớn là x số bé là y (x>0, y>0). 
- Ta có x – y =12 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
4 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
- Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 ta có 4
75 =−
yx
- Ta có hệ ph−ơng trình : 



=
=
⇔



=−
=−
⇔




=−
=−
28
40
14057
12
4
75
12
y
x
yx
yx
yx
yx
- Vậy hai số cần tìm là 28 và 40. 
Ví dụ 2 : Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình 
ph−ơng của chúng bằng 289. 
H−ớng dẫn giải 

 Đối với bài toán này cỏ thể giải bằng cách lập hệ ph−ơng trình hoặc 
ph−ơng trình bậc hai một ẩn số. Song cách biểu diễn các số liệu đ: 
biết qua ẩn, việc chọn ẩn phải phù hợp với yêu cầu của bài toán. 
Lời giải 
- Gọi số thứ nhất là x )( Nx ∈ 
- Số thứ hai là x+7 
- Theo đề bài tổng bình ph−ơng hai số là 289 nên ta có ph−ơng 
trình 
x2 + (x + 7)2 = 289  2x2 + 14x – 240 = 0  x2 + 7x – 120 = 0. 
- Giải ph−ơng trình ta đ−ợc: x1 = -15 ; x2 = 8 
- Vậy hai số cần tìm là 15 và 8 hoặc – 15 và - 8. 
Bài tập áp dụng: 
Bài tập : Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 156, nếu lấy số lớn 
chia cho số nhỏ thì đ−ợc th−ơng là 6 số d− là 9. 
Đáp số : 135 và 21 
Dạng 2 : Toán về số và chữ số 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Cách biểu diễn số có hai chữ số baab += 10 

 a là số hàng chục 90 ≤< a 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
5 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 

 b là số hàng đơn vị 90 ≤≤ b 

 Cách biểu diễn số có 3 chữ số: cbaabc ++= 10100 
2. Các ví dụ : 
 Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ 
số hàng đơn vị là 2. Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số 
hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì chữ số tự nhiên đó tăng 
thêm 630 đơn vị. 
H−ớng dẫn giải 
- Đây là dạng toán tìm số tự nhiên có hai chữ số. Để giải đ−ợc bài 
toán này học sinh cần phải biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho 
ẩn, biểu diễn cấu trúc số bao gồm chữ số hàng chục, hàng đơn 
vị, hàng trăm .v.v. 
Lời giải 
- Gọi chữ số hàng chục là a: 92 ≤≤ a 
- Chữ số hàng đơn vị là b : 90 ≤≤ b 
- Số đ: cho là: ab = 10a + b. Theo đề bài ta có a = b + 2 
- Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa ta có số mới ba0 = 100a + 0 + 
b. Số này lớn hơn số đ: cho 630 đơn vị. 
- Nên ta có: (100a + b) – ( 10a + b) = 630  90a = 630 
- Ta có hệ ph−ơng trình: 



=
=
⇔



+=
=
5
7
2
63090
b
a
ba
a
- Vậy số đ: cho là 75. 
Ví dụ 2 : Tổng các chứ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào 
số đó 18 đơn vị thì số thu đ−ợc cũng viết bằng các chữ số đó 
nh−ng theo thứ tự ng−ợc lại. H:y tìm số đó. 
Lời giải 
- Gọi chữ số hàng chục là x: ( 90 ≤< x ; Nx ∈ ). 
- Chữ số hàng đơn vị là 6 – x 
- Số đ: cho là )6(10)6( xxxx −+=− 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
6 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
- Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị ta đ−ợc số mới viết theo thứ tự 
ng−ợc lại : xxxx +−=− )6(10)6( . 
- Ta có ph−ơng trình : 
23618960249
)6(1018)6(10
=⇔=⇔−=+⇔
⇔+−=+−+
xxxx
xxxx
- Vậy chữ số hàng chục là 2; chữ số hàng đơn vị là 426 =− 
- Số đ: cho là 24 
Bài tập áp dụng : 
Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn 
số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ−ợc số viết theo thứ 
tự ng−ợc lại với số đ: cho ? 
Đáp số : 54 
Bài 2 : Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số 
hàng đơn vị là 5, nếu đổi hai chữ số cho nhau sẽ đ−ợc một số bằng 
8
3
 số 
ban đầu. Tìm số đ: cho ? 
Đáp số : 72 
Dạng 3: Toán chuyển động 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Gọi s là qu:ng đ−ờng đi đ−ợc trong thời gian t với vận tốc v, ta có 
công thức : 
v
s
t
t
s
vtvs === ;;. 
2. Các ví dụ : 
 Ví dụ 1 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A, sau đó 5 giờ 
20 phút một canô chạy từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách 
bến sông A 20 km. Tính vận tốc của thuyền biết rằng canô 
chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h ? 
H−ớng dẫn giải 
- Đây là một bài toán chuyển động, một dạng toán t−ơng đối khó 
đối với học sinh, đòi hỏi học sinh phải phân tích đầu bài rõ ràng 
để biết đ−ợc cần tính đại l−ợng nào khi đ: biết các đại l−ợng 
liên quan. 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
7 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
- Giáo viên cần phải phân tích cho học sinh thấy đ−ợc thời gian 
của canô so với thời gian của thuyền, vận tốc của canô và vận 
tốc của thuyền, còn qu:ng đ−ờng của canô và của thuyền là nh− 
nhau. 
Lời giải 
- Gọi vận tốc của thuyền là x ( )hkmx /,0> 
- Khi đó vận tốc của canô là x + 12 
- Thời gian của thuyền đi hết qu:ng đ−ờng 20 km là 
x
20
- Thời gian của canô đi hết qu:ng đ−ờng 20 km là 
12
20
+x
- Theo bài ra ta có ph−ơng trình : 
( )
( )

−=
=
⇔=−−⇔=
+
−
loaix
tmx
xx
xx 15
3
04512
3
16
12
2020 2 
- Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h 
Ví dụ 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất 
định, nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 2 giờ, 
nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính 
qu:ng đ−ờng AB và vận tốc dự định đi lúc đầu ? 
H−ớng dẫn giải 
- Đây là một bài toán rất hay đòi hỏi học sinh phải hiểu đ−ợc yêu 
cầu đề bài. Tìm qu:ng đ−ờng và vận tốc dự định đi lúc đầu khi 
biết vận tốc xe chạy trên qu:ng đ−ờng không đổi đó, học sinh 
phải biết cách lập luận để biểu thị mối liên hệ giữa đại l−ợng 
đến sớm và đại l−ợng đến muộn so với kế hoạch. 
Lời giải 
- Gọi qu:ng đ−ờng AB là s ( )kms ,0> và vận tốc dự định là v 
( )hkmv /,5035 << 
- Thời gian dự định là 
v
s
- Thời gian đi hết qu:ng đ−ờng với vận tốc 35 km/h là 
35
s
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
8 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
- Thời gian đi hết qu:ng đ−ờng với vận tốc 50 km/h là 
50
s
- Theo bài ra ta có hệ ph−ơng trình : 
( )
( )

=
=
⇔






=−
=−
hkmv
kms
s
v
s
v
ss
/75,43
350
1
50
2
35 
Ví dụ 3 : Một ô tô đi qu:ng đ−ờng AB với vận tốc 50 km/h rồi đi tiếp ...  1 chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi 2 chảy một 
mình đầy bể trong 4 giờ. 
Ví dụ 2 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định 
làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau đ−ợc 8 ngày 
thì đội 1 đ−ợc điều đi làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm trong 
3 ngày r−ỡi nữa thì xong do cải tiến kỹ thuật năng xuất tăng 
gấp đôi. Hỏi với năng xuất bình th−ờng mỗi đội làm một 
mình xong việc trong bao lâu ? 
Lời giải 
- Gọi thời gian đội 1 làm xong công việc là x và thời gian đội 2 
làm xong công việc là y ( )ngayyx ,0,0 >> 
- Do đó một ngày đội 1 làm đ−ợc 
x
1
 công việc và đội 2 một ngày 
làm đ−ợc 
y
1
 công việc. 
- Vì hai đội làm xong việc trong 12 ngày nên ta có 
12
111
=+
yx
- Vì hai đội làm chung trong 8 ngày thì đội 1 đ−ợc điều đi làm 
việc khác, đội 2 tiếp tục làm trong 3 ngày r−ỡi nữa thì xong do 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
12 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
cải tiến kỹ thuật năng xuất tăng gấp đôi nên ta có 
3
17
12
8125,3 =⇔−=
yy
- Theo bài ra ta có hệ ph−ơng trình : 



=
=
⇔







=
=+
21
28
3
17
12
111
y
x
y
yx
- Vậy với năng xuất bình th−ờng đội 1 làm một mình xong công 
việc trong 28 ngày và đội 2 làm một mình xong công việc trong 
21 ngày. 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1 : Hai vòi n−ớc cùng chảy vào một bể sau 6 giờ bể đầy, nếu cho mỗi 
vòi chảy một mình đầy bể thì vòi 2 cần nhiều thời gian hơn vòi 1 là 5 giờ. 
Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể ? 
Đáp số : vòi 1 = 10 giờ, vòi 2 = 15 giờ 
Bài 2 : Hai ng−ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong, nếu 
ng−ời thứ nhất làm trong 3 giờ và ng−ời thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ 
hoàn thành đ−ợc 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ng−ời hoàn 
thành công việc trong bao lâu ? 
Đáp số : ng−ời 1 = 24 giờ, ng−ời 2 = 48 giờ 
Dạng 5 : Toán có nội dung hình học 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Gọi x, y là các cạnh của một tam giác vuông, hình chữ nhật, hình 
vuông, khi đó ta có : 

 Diện tích tam giác vuông là xy
2
1
, cạnh huyền là 22 yx + 

 Diện tích hình chữ nhật là 
y
s
xxys =⇒= và chu vi là ( )yx +2 

 Diện tích hình vuông là sxxs =⇒= 2 và chu vi là x4 
2. Các ví dụ : 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
13 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
 Ví dụ 1 : Tính các kích th−ớc của một hình chữ nhật có chu vi 120 m 
và diện tích 875 m2. 
Lời giải 
- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x ( )mx ,0> suy ra chiều rộng 
của nó là ( ) xx −=− 602:120 
- Vì hình chữ nhật có diện tích 875 m2 nên ta có : 
( ) 


=
=
⇔=+−⇔=−
35
25
08756087560 2
x
x
xxxx 
- Vậy hình chữ nhật đ: cho dài 35 m và rộng 25 m. 
Ví dụ 2 : Một khu v−ờn có chu vi 280 m, ng−ời ta làm một lối đi xung 
quanh v−ờn rộng 2 m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 
4256 m2. Tính các kích th−ớc của v−ờn ? 
Lời giải 
- Gọi x là chiều rộng của khu v−ờn ( )mx ,0> 
- Chiều dài của khu v−ờn là ( ) xx −=− 1402:280 
- Sau khi làm lối đi xung quanh v−ờn, các kích th−ớc của khu đất 
trồng trọt là 4−x và xx −=−− 1364140 
- Theo bài ra ta có ph−ơng trình : 
( )( ) 


=
=
⇔=+−⇔=−−
80
60
0480014042561364 2
x
x
xxxx 
- Vậy ban đầu khu v−ờn dài 80 m rộng 60 m. 
Ví dụ 3 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2, nếu tăng cạnh 
đáy 4 m và giảm chiều cao t−ơng ứng với cạnh đáy đó 1 m 
thì diện tích không đổi. Tính cạnh đáy của hình tam giác ? 
Lời giải 
- Gọi x là cạnh đáy hình tam giác ( )mx ,0> 
- Chiều cao t−ơng ứng là 
x
360
- Vì nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao t−ơng ứng với cạnh 
đáy đó 1 m thì diện tích không đổi nên ta có ph−ơng trình : 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
14 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
( ) ( )

−=
=
⇔=−−⇔=





−+
loaix
x
xx
x
x
40
36
01440436013604 2 
- Vậy cạnh đáy tam giác là 36 m. 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1 : Tính cạnh góc vuông của một tam giác vuông có chu vi 30 m và 
cạnh huyền dài 13 m ? 
Đáp số : 5m và 12 m 
Bài 2 : Diện tích của một hình thang vuông là 140 cm2, chiều cao 8 cm. 
Xác định chiều dài các cạnh đáy biết rằng hai đáy hơn kém nhau 15 m ? 
Đáp số : 10 cm và 25 cm 
Bài 3 : Một đa giác lồi có 170 đ−ờng chéo, hỏi nó có bao nhiêu cạnh ? 
Đáp số : 20 cạnh 
Dạng 6 : Toán có nội dung lý hoá 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Đối với dạng bài này học sinh cần hiểu đ−ợc mối quan hệ giữa khối 
l−ợng riêng của dung dịch với thể tích dung dịch, giữa khối l−ợng 
chất lỏng với thể tích chất lỏng nh− thế nào. 
2. Các ví dụ : 
 Ví dụ 1 : Một vật có khối l−ợng 124 g và thể tích 15 cm3 là hợp kim 
của đồng và kẽm, tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng 
và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích 
là 10 cm3 và 7 g kẽm có thể tích 1 cm3. 
Lời giải 
- Gọi x là số gam đồng trong hỗn hợp ( )gx ,0> 
- Suy ra số gam kẽm trong đó là x−124 
- Thể tích của x gam đồng là x.
89
10
- Thể tích của 124 – x gam kẽm là 
7
124 x−
- Theo bài ra ta có ph−ơng trình : 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
15 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
8915
7
124
89
10
=⇔=
−
+ x
xx
- Vậy trong hỗn hợp có 89 g đồng và 35 g kẽm. 
Ví dụ 2 : Ng−ời ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có 
khối l−ợng riêng nhỏ hơn nó 200 kg/m3 để đ−ợc một hỗn hợp 
có khối l−ợng riêng 700 kg/m3. Tính khối l−ợng riêng của 
mỗi chất lỏng ? 
Lời giải 
- Gọi khối l−ợng riêng của chất lỏng này là x ( )3/,200 mkgx > thì 
khối l−ợng riêng của chất lỏng kia là ( )x−200 
- Theo bài ra ta có ph−ơng trình : 
( )

=
=
⇔=+−⇔=
−
+
loaix
x
xx
xx 100
800
080000900
700
014,0
200
006,0008,0 2 
- Vậy khối l−ợng riêng của hai chất lỏng lần l−ợt là 800 kg/m3 và 
600 kg/m3. 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1 : Cho một l−ợng dung dịch có 10% muối, nếu pha thêm 200g n−ớc 
thì đ−ợc một dung dịch 6% muối. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đ: 
cho ? 
Đáp số : 300 g 
Bài 2 : Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại 1 chứa 30% 
axit, loại 2 chứa 5% axit. Nếu muốn có dung dịch chứa 10% axit thì cần 
trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi axit trên ? 
Đáp số : axit 30% = 10l, axit 5% = 40l 
Dạng 7 : Một số dạng toán khác 
1. ph−ơng pháp giải : 

 Dạng 7 bao gồm các bài toán về năng xuất, toán phần trăm. Căn cứ 
vào từng bài cụ thể giáo viên có thể h−ớng dẫn học sinh cách biểu 
diễn chúng để đi đến lời giải cho bài toán. 

 Cần h−ớng cho học sinh khi gặp bài toán về phần trăm cần phải 
tính giữa giá trị đ: cho cộng với v−ợt mức so với kế hoạch. 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
16 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 

 Nếu là toán năng suất cần phải tính cụ thể giữa năng suất ng−ời A 
so sánh với năng suất ng−ời B. 
2. Các ví dụ : 
 Ví dụ 1 : Hai đội thuỷ lợi gồm 25 ng−ời đào đắp một con m−ơng, đội 
1 đào đ−ợc 45 m3 đất, đội 2 đào đ−ợc 40 m3 đất, biết mỗi 
công nhân đội 2 đào nhiều hơn mỗi công nhân đội 1 là 1 m3. 
Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đ: đào đ−ợc ? 
Lời giải 
- Gọi số đất mỗi công nhân đội 1 đ: đào đ−ợc là x ( )3,0 mx > , khi 
đó số đất mỗi công nhân đội 2 đào đ−ợc x + 1 
- Số công nhân đội 1 là 
x
45
, số công nhân đội 2 là 
1
40
+x
- Vì số công nhân của cả hai đội là 25 ng−ời nên ta có ph−ơng 
trình : 
( )


−=
=
⇔=
+
+
loaix
x
xx
5
3
3
25
1
4045
- Vậy mỗi công nhân đội 1 đào đ−ợc 3 m3 đất. 
Ví dụ 2 : Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đ−ợc 800 chi tiết 
máy, tháng thứ hai tổ 1 sản xuất v−ợt mức 15%, tổ 2 sản 
xuất v−ợt mức 20% nên cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ−ợc 
945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đ−ợc 
bao nhiêu chi tiết máy ? 
Lời giải 
- Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đ−ợc trong tháng đầu là x ( )+∈ Zxchiec, , khi đó số chi tiết máy tổ 2 sản xuất đ−ợc trong 
tháng đầu là 800 – x. 
- Tháng thứ hai tổ 1 sản xuất đ−ợc 
100
15x
x + chi tiết máy, tổ 2 sản 
xuất đ−ợc 
( )
100
20500500 xx −+− chi tiết máy 
- Theo bài ra ta có ph−ơng trình : 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
17 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
( ) 300945
100
20800800
100
15
=⇔=
−
+−++ x
x
x
x
x 
- Vậy trong tháng đầu, tổ 1 sản xuất đ−ợc 300 chi tiết máy, tổ 2 
sản xuất đ−ợc 500 chi tiết máy. 
Bài tập áp dụng: 
Bài tập : Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ, xí 
nghiệp 1 đ: v−ợt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp 2 đ: v−ợt mức kế hoạch 
10% do đó cả hai xí nghiệp đ: làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng 
cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch ? 
Đáp số : xí nghiệp 1 = 200 dụng cụ, xí nghiệp 2 = 160 dụng cụ 
III. Khảo sát sau khi thực hiện đề tài 
 Sau khi cung cấp cho học sinh một số chú ý khi giải bài toán bằng 
cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình kết hợp với bài tập minh hoạ và củng 
cố trong các giờ luyện tập, ôn tập tôi có ra một đề kiểm tra nh− sau : 
Đề bài: (20') 
Hai vòi n−ớc cùng chảy vào một bể sau 
5
44 giờ bể đầy. Mỗi giờ l−ợng 
n−ớc vòi 1 chảy đ−ợc bằng 
2
11 l−ợng n−ớc chảy đ−ợc của vòi 2. Hỏi 
nếu cho mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu bể đầy ? 
Kết quả 
Điểm 
Lớp 
Tổng số 
học sinh 0 1 -> 3 4 -> 5 6 -> 7 8 -> 9 10 
9B 38 0 0 5 16 13 4 
9C 38 0 0 4 9 12 3 
Kết quả trên cho thấy việc định h−ớng đối với mỗi bài toán cho học 
sinh đặc biệt là các em học sinh trung bình và yếu đ: đem lại những kết quả 
nhất định. Điều này đ: tạo cho tôi sự lạc quan giúp tôi có thêm niềm tin để 
tích cực tìm tòi dạy học. 
C. Kết thúc vấn đề 
 I. Bài học kinh nghiệm 
Một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập ph−ơng trình 
18 
Hà Danh H−ng THCS Phú Cát – Quốc Oai – Hà Tây 
Qua việc đ−a ra một số chú ý trong các giờ luyện tập, ôn tập về các 
dạng toán, tôi nghĩ rằng với những dạng toán khó việc định h−ớng tổng quát 
cho học sinh sử dụng các ph−ơng pháp giải là một việc làm rất cần thiết 
không chỉ giúp các em tìm ra con đ−ờng đi đến kết quả cuối cùng của một 
bài toán mà còn giúp các em tính nhanh nhất. 
Do vậy, theo tôi khi dạy dạng toán này phải khắc sâu cho học sinh 
cách phân tích những yếu tố của bài toán, biểu diễn số liệu đ: biết, chọn ẩn 
sao cho phù hợp nhất. 
II. Lời kết 
Trên đây là những biện pháp, suy nghĩ, kết quả, những bài học kinh 
nghiệm mà bản thân tôi đ: làm, đ: đặt ra, rút ra trong quá trình giảng dạy. 
Nội dung cơ bản của đề tài này giúp các em có ph−ơng pháp t− duy, rèn kỹ 
năng định h−ớng tìm lời giải cho những dạng toán cụ thể. 
Tôi luôn mong đ−ợc sự trao đổi góp ý của các đồng chí và bạn đồng 
nghiệp để đề tài sử dụng rộng r:i hơn. 
Xin trân trọng cảm ơn ! 
Phú Cát, ngày 30 tháng 04 năm 2006 
Ng−ời viết 
 Nguyễn Tuấn Thắng