Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện, phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức Đại số Lớp 8

§Æt vÊn ®Ò
I- Më ®Çu.
	Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt n­íc ta, sù nghiÖp gi¸o dôc còng kh«ng ngõng ®æi míi. V× thÕ c¸c nhµ tr­êng cµng ph¶i lu«n lu«n chó träng ®Õn chÊt l­îng cña häc sinh mét c¸ch toµn diÖn. Bëi vËy ph¶i cã sù ®Çu t­ thÝch ®¸ng cho nÒn gi¸o dôc. Víi vai trß lµ m«n häc c«ng cô, bé m«n to¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt b¶n th©n m«n to¸n vµ c¸c m«n khoa häc kh¸c. 
	Mét vÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra lµ d¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m v÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t­ duy l« gÝc, rÌn luyÖn kü n¨ng lµm c¸c bµi tËp cña bé m«n to¸n còng nh­ c¸c m«n khoa häc kh¸c, cã th¸i ®é, quan ®iÓm râ rµng trong c¸c bµi tËp cña m×nh ®Ó c¸c em t¹o ®­îc sù høng thó say mª trong viÖc häc tËp, tiÕp thu kiÕn thøc vµ cã thÓ ®­a c¸c kiÕn thøc ®ã ¸p dông ra ngoµi cuéc sèng ®êi th­êng lµ c©u hái mµ mçi thÇy c« lu«n ph¶i ®Æt ra ®Ó cã thÓ truyÒn ®¹t kiÕn thøc mét c¸ch tèt nhÊt cho c¸c em häc sinh th©n yªu cña m×nh.
	§Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña c¸c em häc sinh, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc ra nh÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch râ rµng ng¾n gän vµ ®Çy ®ñ néi dung, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu t­îng vµ ph¸t triÓn rót ra nh÷ng néi dung kiÕn thøc chÝnh trong bµi häc gióp häc sinh cã thÓ n¾m ®­îc c¸i quan träng, néi dung chÝnh trong bµi häc ®ång thêi cã thÓ gîi më, ®Æt vÊn ®Ò ®Ó häc sinh ph¸t triÓn t­ duy vµ kÜ n¨ng ph©n tÝch néi dung vµ lµm c¸c bµi tËp to¸n häc mét c¸ch chÆt chÏ, râ rµng cã hÖ thèng, ®ång thêi gióp cho c¸c em nhËn ra c¸c d¹ng bµi to¸n ®· häc mét c¸ch nhanh nhÊt.
	Qua mét thêi gian gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t¹i tr­êng THCS b¶n th©n t«i ®· cè g¾ng chó träng rÌn luyÖn t­ duy cho häc sinh trong qu¸ tr×nh häc to¸n vµ ®· ®¹t ®­îc mét sè kÕt qu¶, cã thÓ ®©y lµ b­íc ®Çu trao ®æi thµnh mét ®Ò tµi vÒ kinh nghiÖm rÌn luyÖn t­ duy trong häc to¸n cña häc sinh. T«i m¹nh d¹n viÕt thµnh s¸ng kiÕn kinh nghiÖm víi ®Ò tµi “RÌn luyÖn ,ph¸t triÓn t­ duy häc sinh qua mét sè bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc líp 8” cña m×nh ®Ó cïng trao ®æi víi c¸c ®ång nghiÖp nh»m môc ®Ých cïng trao ®æi häc hái lÉn nhau trong båi d­ìng häc sinh giái líp 8 trong tr­êng mét c¸ch tèt h¬n. 
II- Thùc tr¹ng vÊn ®Ò nghiªn cøu
* Tr­êng THCS cã 668 häc sinh cô thÓ chÊt l­îng lµ:
75 % Møc ®é ®¹t yªu cÇu trong ®ã 20 % Häc sinh kh¸ vµ giái
 (kÕt qu¶ kh¶o s¸t chÊt l­îng ®Çu n¨m)
 *§èi víi häc sinh líp 8:
Sè häc sinh: 192 em trong ®ã 20 häc sinh kh¸ giái
- Ph©n chia thµnh c¸c nhãm tiÕp thu kiÕn thøc nh­ sau : 
+ Nhãm nh÷ng em tiÕp thu nhanh, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nhanh, linh ho¹t: 30%.
+ Nhãm HS biÕt vËn dông trùc tiÕp: 55 %.
+ Nhãm HS ch­a biÕt vËn dông : 15 %.
( Ph©n chia c¸c nhãm tiÕp thu vÒ bé m«n To¸n )
- Häc sinh ch­a biÕt lËp luËn trªn c¬ së khoa häc chÆt chÏ vµ biÕt c¸ch tù häc, tù gi¶i quyÕt vÊn ®Ò chiÕm tíi 85 %.
- VÒ tµi liÖu: SGK, SGV ®Çy ®ñ, s¸ch n©ng cao, s¸ch tham kh¶o cña häc sinh vµ gi¸o viªn cßn h¹n chÕ, phÇn lín lµ do gi¸o viªn vµ häc sinh tù mua s¾m.
- Qua qu¸ tr×nh trùc tiÕp gi¶ng d¹y To¸n c¸c khèi líp 6,7, 8, 9 tõ c¸c tiÕt luyÖn tËp, c¸c tiÕt kiÓm tra, c¸c tiÕt båi d­ìng häc sinh yÕu kÐm vµ «n thi häc sinh giái vµ c¸c tiÕt ®i dù giê th¨m líp c¸c ®ång nghiÖp. T«i nhËn thÊy häc sinh th­êng lóng tóng, kh«ng t×m ra h­íng gi¶i quyÕt hoÆc ®· t×m ra nh­ng kh«ng biÕt lµm nh­ thÕ nµo, lµm tõ ®©u, c¸c bµi lµm cña c¸c em trong c¸c giê kiÓm tra trªn líp còng nh­ c¸c bµi kiÓm tra 1 tiÕt th­êng lµ kh«ng chÆt chÏ, kh«ng cã tÝnh logic nhiÒu lµm cho lêi gi¶i mét c¸ch rêi r¹c ®Ó nhiÓu chç kh«ng hîp lý, ®Æc biÖt lµ nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng t×nh huèng to¸n häc mang tÝnh thøc tiÔn.
B- Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I- C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn:
H×nh thµnh th¸i ®é häc tËp bé m«n to¸n cho häc sinh.
2. Ph©n lo¹i bµi tËp vµ yªu cÇu ®èi t­îng häc sinh qua tõng bµi tËp ®Ó phï hîp vµ hiÖu qu¶ khi gi¶i bµi tËp bÊt ®¼ng thøc.
3. RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh. 
4. Tham kh¶o c¸c tµi liÖu trong th­ viÖn, trªn b¸o chÝ còng nh­ th«ng qua m¹ng internet, ý kiÕn cña c¸c ®ång nghiÖp, c¸c chuyªn gia, ®iÒu tra, thèng kª kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh, hiÖu qu¶ trang c«ng t¸c gi¶ng d¹y, ®óc rót kinh nghiÖm kÞp thêi... vÒ c¸c vÊn ®Ò nghiªn cøu vµ mét sè vÊn ®Ò liªn quan.
II- C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
1. H×nh thµnh th¸i ®é häc tËp bé m«n to¸n cho häc sinh.
	Häc sinh ë cÊp THCS ®ang ë løa tuæi hiÕu ®éng, bång bét, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò hÇu nh­ dùa vµo c¶m tÝnh. N¾m ®­îc sù ph¸t triÓn t©m lÝ nµy, gi¸o viªn cÇn ph¶i t¹o cho häc sinh mét th¸i ®é häc tËp ®óng ®¾n, nghiªm tóc nh»m t¹o cho häc sinh tÝnh kØ luËt, khoa häc®ång thêi kÝch thÝch sù h­íng thó say mª häc tËp cña häc sinh trong qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n.
	§Ó lµm ®­îc ®iÒu nµy lµ mét ng­êi gi¸o viªn cÇn cã nhiÒu biÖn ph¸p nh­: cho häc sinh häc tËp theo nhãm ®Ó rÌn luyÖn tÝnh tËp thÓ, tæ chøc häc tËp d­íi h×nh thøc trß ch¬i, tiÕn hµnh ®o ®¹c, giíi thiÖu nh÷ng bµi to¸n lÝ thó, §Æc biÖt lµ ph¶i ph©n râ c¸c d¹ng to¸n mét c¸ch râ rµng ®Ó häc sinh dÔ h×nh dung vµ dÔ tiÕp thu nã
2. Ph©n lo¹i vµ yªu cÇu ®èi t­îng häc sinh qua tõng bµi tËp ®Ó phï hîp vµ hiÖu qu¶ khi gi¶i bµi tËp.
§­îc chia lµm 2 phÇn
+ Giíi thiÖu kiÕn thøc c¬ b¶n
+ C¸c bµi tËp ¸p dông
(ë phÇn nµy ®­îc chia lµm c¸c d¹ng to¸n ®Ó häc sinh cã hÖ thèng trong qu¸ tr×nh lµm c¸c bµi tËp)
3. RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh qua c¸c d¹ng bµi tËp
1. Giíi thiªu kiÕn thøc c¬ b¶n
a). §Þnh nghÜa
a > b nÕu a – b > 0
b). TÝnh chÊt (Cã 3 tÝnh chÊt)
- TÝnh chÊt 1: Céng cïng mét sè vµo hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc
a > b a + c > b + c
- TÝnh chÊt 2: Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét cïng mét sè d­¬ng
 a.c > b.c
- TÝnh chÊt 3: Nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét cïng mét sè ©m
 a.c < b.c
NhËn xÐt: PhÇn nµy gi¸o viªn giíi thiÖu néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt, lµ tiÒn ®Ò ®Ó lµm c¸c bµi tËp ¸p dông. Trong tõng d¹ng gi¸o viªn ph¶i nhÊn m¹nh ®· dòng tÝnh chÊt g×, h­íng ph©n tÝch bµi to¸n, t×m ra lêi gi¶i th× ph¶i h­íng dÉn mÉu vµ c¸ch tr×nh bµy lêi gi¶i ®Ó häc sinh ®ì lóng tóng trong c¸ch tr×nh bµy lêi gi¶i.
2. C¸c bµi to¸n ¸p dông
I. Khi nµo mét biÓu thøc cã gi¸ trÞ ©m hoÆc d­¬ng
D¹ng 1: BiÓu thøc cã d¹ng tæng
VÝ dô 1: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x, sao cho:
a). BiÓu thøc A = 2x – 1 > 0 cã gi¸ trÞ d­¬ng
b). BiÓu thøc B = 8 – 2x cã gi¸ trÞ ©m
Gi¶i
a). 2x – 1 > 0 2x > 1 x > . Víi mäi x > th× A > 0
b). 8 – 2x 4. Víi mäi x > 4 th× B < 0
NhËn xÐt:- ë ®©y ®· dïng chiÒu ng­îc l¹i cña tÝnh chÊt 1 (a – b > 0 a > b)
D¹ng 2: BiÓu thøc ®­a vÒ d¹ng tÝch
VÝ dô 2: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = (x - 1)(x + 3) cã gi¸ trÞ ©m
Gi¶i
A < 0 (x - 1) vµ (x + 3) tr¸i dÊu.
Do x – 1 < x + 3 -3 < x < 1
Chó ý: Dïng trôc sè ®Ó lÊy kho¶ng nghiÖm trong tr­êng hîp nµy
-3
1
x < 1 ®Ó tr¾ng, x 1 lo¹i (dïng dÊu “ ” trªn trôc sè)
x > -3 ®Ó tr¾ng, x -3 lo¹i (dïng dÊu “ ” trªn trôc sè)
PhÇn cßn l¹i trªn trôc sè kh«ng bÞ g¹ch bá chÝnh lµ phÇn nghiÖm chung.
(RÌn luyÖn kÜ n¨ng lÊy tËp nghiÖm trªn trôc sè)
NhËn xÐt: TËp cho häc sinh kh¶ n¨ng viÕt gän tËp nghiÖm b»ng c¸ch dïng trôc sè
VÝ dô 3: Khi nµo biÓu thøc x2 – 3x cã gi¸ trÞ d­¬ng?
Gi¶i
BiÕn ®æi B = x(x - 3).
C¸ch 1: B > 0 khi c¸c thõa sè x, x – 3 cïng dÊu. Do x – 3 < x nªn
TH1: Cïng d­¬ng 0 < x – 3 < x x < 3
TH2: Cïng ©m x – 3 < x < 0 x < 0
C¸ch 2: chó ý: x = 0 hoÆc x = 3 lµm cho c¸c thõa sè x vµ x – 3 b»ng 0, do ®ã ta xÐt 3 kho¶ng gi¸ trÞ cña x
a). Víi x 0
b). Víi 0 < x < 3 th× hai thõa sè tr¸i dÊu nhau B < 0
c). x > 3 th× hai thõa sè cïng d­êng B > 0
KÕt luËn: VËy B > 0 x > 3 hoÆc x < 0
Cã thÓ tæng hîp c¸c kÕt qu¶ trªn vµo 1 b¶ng xÐt dÊu nh­ sau:
x
0
3
x
-
0
+
+
x - 3
-
-
0
+
x(x - 3)
-
0
+
0
+
(RÌn luyÖn kÜ n¨ng lÊy tËp nghiÖm b»ng c¸ch dïng b¶ng)
NhËn xÐt: - RÌn cho häc sinh thªm mét c¸ch gi¶i kh¸c b»ng c¸ch dïng b¶ng xÐt dÊu. 
	- Mét bµi to¸n kh«ng chØ cã 1 c¸ch gi¶i mµ cã thÓ cã nhiÒu c¸ch, tuú vµo tõng bµi to¸n mµ chóng ta cã thÓ chän 1 trong nh÷ng c¸ch ®¬n gi·n ®Ó tr×nh bµy.
	- Mét sè bµi to¸n muèn ®¬n gi·n th× cÇn ph¶i quan s¸t bµi to¸n, cã thuéc vµo c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æc biÖt kh«ng. Cã nh÷ng bµi to¸n th× cÇn ph¶i ph©n tÝch tõ bªn trong nh÷ng còng cã nh÷ng bµi to¸n cÇn ph¶i ph©n tÝch tõ phÝa ngoµi míi t×m ra ®­îc lêi gi¶i hay.
D¹ng 3: BiÓu thøc ®­a vÒ d¹ng th­¬ng
VÝ dô 4: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = cã gi¸ trÞ ©m.
Gi¶i
A < 0 x + 3 vµ x – 1 tr¸i dÊu. Do x – 1 < x + 3
 -3 < x < 1
NhËn xÐt: - Cã thÓ dïng trôc sè xÐt dÊu hoÆc b¶ng xÐt dÊu ®Ó thu gän tËp nghiÖm, häc sinh cã thÓ thÊy ®­îc viÖc dïng trôc xÐt dÊu nã ®¬n gi¶n h¬n b¶ng xÐt dÊu.
- XÐt dÊu ë d¹ng tÝch còng t­¬ng tù nh­ viÖc xÐt dÊu ë d¹ng th­¬ng. Ta cã thÓ quy vÒ d¹ng tÝch ®Ó xÐt dÊu.
- LuyÖn c¸ch dïng dÊu “”thay cho ch÷ “vµ” hoÆc dïng dÊu “” thay cho ch÷ “hoÆc” ®Ó gi¶i to¸n.
II. Khi nµo th× A > B hoÆc A < B
	Thùc chÊt cña lo¹i to¸n nµy lµ t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc A – B cã gi¸ trÞ d­¬ng hoÆc ©m.
VÝ dô 5: Cho biÓu thøc A = . T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 1
Gi¶i
Do A > 1 - 1 > 0 > 0 > 0 < 0
 x + 8 < 0 x < -8 
VËy x 1
VÝ dô 6: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× 
Gi¶i
 x > 24
NhËn xÐt: RÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng quy ®ång mµ mÉu sè b»ng ch÷ nh­ ë vÝ dô sè 5, ®ång thêi rÌn luyÖn quy t¾c chuyÓn vÕ ®­îc øng dông trong c¸c bÊt ®¼ng thøc t­¬ng tù nh­ trong c¸c ®¼ng thøc
III. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
	Mét biÓu thøc cã thÓ cã nh÷ng gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ch¼ng h¹n biÓu thøc x2. BiÓu thøc nµy cã gi¸ trÞ d­¬ng khi x 0. Cã gi¸ trÞ b»ng 0 khi x = 0. Nh­ vËy biÓu thøc x2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0 khi x = 0. BiÓu thøc nµy kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö x2 cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ m t¹i x1 th× x2 còng b»ng m t¹i x2 lµ sè ®èi cña x1. Gi¶ sö x1 > 0, ta sÏ chøng tá r»ng tån t¹i mét gi¸ trÞ x3 mµ . Ta chän x3 > x1 > 0 khi ®ã . Mµ nªn > m , tr¸i víi ®iÒu gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc.
	Muèn t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc f(x) , ta ph¶i thùc hiÖn hai yªu cÇu: Chøng tá r»ng f(x) m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x råi chØ ra r»ng dÊu “=” ®­îc x¶y ra .
	Muèn t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc f(x) , ta ph¶i thùc hiÖn hai yªu cÇu: Chøng tá r»ng f(x) m (m lµ h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña x råi chØ ra r»ng dÊu “=” ®­îc x¶y ra .
	NÕu chØ chøng minh ®­îc yªu cÇu thø nhÊt th× ch­a ®ñ ®Ó kÕt luËn vÒ gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. Ch¼ng h¹n ta cã 0. Muèn dÊu “=” x¶y ra ta ph¶i cã x2 + 3 = 0, ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra v× x2 + 3 3 víi mäi x. Nh­ vËy mÆc dï (x2 + 3) 0 nh­ng 0 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc (x2 + 3)2, GTNN cña biÓu thøc nµy lµ 9 khi x = 0.
	Mét sè vÝ dô kh¸c: xÐt biÓu thøc x2 + (x - 2)2. Ta còng cã x2 + (x - 2)2 0 nh­ng dÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra. GTNN cña biÓu thøc nµy lµ 2 khi x = 1.
Ph­¬ng ph¸p:
	§Ó chøng tá r»ng f(x) m (m lµ h»ng sè), ta th­êng dïng ®Õn bÊt ®¼ng thøc:
x2 0 ; |x| 0
	§Ó chøng tá r»ng f(x) m (m lµ h»ng sè), ta th­êng dïng ®Õn bÊt ®¼ng thøc:
-x2 0 ; -|x| 0
	Sau ®©y mét sè vÝ dô vÒ viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc
VÝ dô 7: TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 2(x + 3)2 – 5
Gi¶i
Ta cã: (x + 3)2 0 x R. 2(x + 3) 0 2(x - 5) – 5 -5 (Sö dông tÝnh chÊt 1) .
TGNN cña A = 5 x = x + 3 = 0 x = -3
Chó ý: Cã nh÷ng biÓu thøc kh«ng cã GTLN vµ GTNN
Ch¼ng h¹n A = 4x ; B = . Tuy nhiªn nÕu xÐt c¸c gi¸ trÞ cña biÕn trong mét tËp hîp hÑp h¬n, biÓu thøc lµ cã thÓ cã GTLN hoÆc GTNN. Ch¼ng h¹n, xÐt x R; x Q; x Z th× biÓu thøc x + 5 kh«ng cã GTNN nh÷ng nÕu xÐt x N th× biÓu thøc ®ã cã GTNN b»ng 5 víi x = 0.
VÝ dô 8: Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc D = cã gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã.
Gi¶i
BiÕn ®æi D = = 
D lín nhÊt khi vµ chØ khi lín nhÊt.
TH1: x > 4 < 0	(1)
TH2: x > 0 > 0. Ph©n sè cã tö vµ mÉu ®Òu d­¬ng, tö kh«ng ®æi nªn gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. Méu 4 – x nguyªn d­¬ng, nhá nhÊt khi 4 – x = 1 x = 3. Khi ®ã
	(2)
Tõ (1) vµ (2) 10. VËy D lín nhÊt b»ng 11 t¹i x = 3.
NhËn xÐt: D¹ng to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt mµ tö vµ mÉu ®Òu cã biÕn bËc nhÊt th× ph­¬ng ph¸p chung lµ ph¶i lµ sao mÊt biÕn ë tö sè (b»ng c¸ch nhãm, thªm, bít,  ) cßn biÕn ë mÉu sè.
- Dùa vµo ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi ®Ó ®­a ra kÕt qu¶.
4. Tham kh¶o ý kiÕn cña c¸c ®ång nghieep, c¸c lo¹i s¸ch tham kh¶o t«i thÊy hÇu hÕt c¸c s¸ch ®Òu tr×nh bµy theo lèi.
- §­a ra c¸c néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n
- §­a ra c¸c d¹ng to¸n vµ h­íng gi¶i quyÕt c¸c d¹ng bµi to¸n nµy.
- Mét sè chó ý khi lµm c¸c d¹ng bµi to¸n nµy.
- §­a ra mét sè bµi to¸n n©ng cao vµ c¸ch gi¶i ®Ó häc sinh tham kh¶o. §ã chÝnh lµ tiÒn ®Ò ®Ó båi d­ìng häc sinh giái mµ trong c¸c giê lªn líp gi¸o viªn kh«ng thÓ båi d­ìng ®­îc. V× kiÕn thøc ë líp chØ lµ c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó cho häc sinh tõ yÕu, kÐm, trung b×nh còng nh­ häc sinh kh¸ giái n¾m ®­îc c¸i c¨n b¶n cña tri thøc.
- Kinh nghiÖm ®óc rót ra trong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái lµ kh«ng nh÷ng còng cè l¹i phÇn kiÕn thøc c¬ b¶n mµ häc sinh ®­îc häc ë líp mµ cßn còng cè cho häc sinh mét sè kÜ n¨ng, c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n, c¸ch ph©n tÝch c¸c bµi to¸n ®Ó cã thÓ gi¶i mét sè bµi to¸n khã nh÷ng ®­îc quy vÒ mét sè d¹ng nµo ®ã mµ häc sinh ®· cã dÞp båi d­ìng, ®Æc biÖt lµ rÌn luyÖn cho häc sinh c¸ch t­ duy c¸c bµi to¸n, tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi·n ®Õn phóc t¹p, mét sè “kÜ x¶o” ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ d¹ng bÊt ®¼ng thøc nµy. §©y lµ mét d¹ng to¸n mµ ë líp c¸c häc sinh ch­a cã dÞp häc mét c¸ch cô thÓ.
- §ång thêi rÌn luyÖn cho c¸c em cã tinh thÇn häc tËp, kh¶ n¨ng tù häc, tù ®äc vµ t×m ra c¸c lêi gi¶i hay, phong phó, tao h­ng phÊn cho häc tËp bé m«n to¸n nµy, mét m«n häc mµ nhiÒu ng­êi cho lµ kh« khan.
- BÊt ®¼ng thøc lµ mét trong nh÷ng lÜnh vùc mµ theo t«i lµ t­¬ng ®èi khã. Bëi vËy ph¶i luyÖn cho häc sinh nhiÒu ®Ó cho häc sinh n¾m ®­îc c¸c d¹ng to¸n nµy ®Ó cã thÓ gi¶i ®­îc nhiÒu bµi tËp h¬n.
C- KÕt luËn
I- KÕt qu¶ nghiªn cøu vµo gi¶ng d¹y
- Khi ch­a ¸p dông s¸ng kiÕn vµo gi¶ng daþ, ®¹i ®a sè häc sinh ®Òu lóng tóng khi lµm bµi tËp, chØ dõng l¹i ë nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n vµ dÔ, c¸c bµi to¸n ph¶i ë s½n d¹ng quen thuéc ®· lµm th× häc sinh theo d¹ng ®ã míi lµm ®­îc, ch­a cã nh÷ng suy luËn logic, ph©n tÝch bµi to¸n hîp lý ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n mµ nã ch­a cã s½n d¹ng quen thuéc. NÕu cã bµi tËp n©ng cao th× lµm xong bµi nµo chØ biÕt c¸ch lµm bµi ®ã kh«ng biÕt c¸ch suy luËn ®Ó chuyÓn vÒ nh÷ng bµi to¸n vÒ nh÷ng d¹ng ®· lµm, ®· gi¶i, kh«ng biÕt më réng nh÷ng bµi to¸n ®· lµm...
- Sau khi ¸p dông kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y t«i thÊy:
+ Häc sinh vËn dông nhanh kiÕn thøc vµo gi¶i to¸n.
+Häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tõ c¬ b¶n më réng lªn nh÷ng bµi to¸n n©ng cao chÝnh x¸c vµ nhanh h¬n.
+T¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t­ duy thµnh thãi quen, suy nghÜ, ph©n tÝch néi dung vµ yªu cÇu cña bµi to¸n mét c¸ch cÈn thËn, chÝnh x¸c tr­íc khi gi¶i mét bµi to¸n häc nãi riªng vµ c¸c bµi to¸n nãi chung.
+T¹o nÕp suy nghÜ, nÕp khai th¸c chiÒu s©u, hay më réng bµi to¸n. +T¹o nÕp tù häc, ®éc lËp suy nghÜ trong ®¹i ®a sè häc sinh, ®ång thêi cã ý thøc tham kh¶o ý kiÕn, c¸ch lµm hay cña c¸c em häc sinh kh¸c ®Ó tõ ®ã rót ra nh÷ng lêi gi¶i hay trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n.
+ Gióp häc sinh say mª, høng thó trong qu¸ tr×nh häc tËp bé m«n to¸n h¬n nãi riªng còng nh­ c¸c bé m«n khoa häc kh¸c nãi chung. 
II- KiÕn nghÞ ®Ò xuÊt:
- VÊn ®Ò s¸ch tham kh¶o tr­êng trung häc c¬ së Mai L©m cßn h¹n chÕ, ch­a ®¸p øng ®ñ yªu cÇu, cña gi¸o viªn vµ häc sinh. v× vËy cÇn ®­îc ®Çu t­ thªm vÒ tµi liÖu häc tËp còng nh­ c¸c thiÕt bÞ phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y ®­îc tèt h¬n, gi¸o viªn chñ ®éng trong c«ng t¸c gi¶ng d¹y vµ häc sinh tÝch cùc h¬n trong viÖc häc tËp.
- Víi viÖc ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc theo chiÒu h­íng tÝch cùc, ph¸t huy tÝnh ®éc lËp cña häc sinh kh«ng thÓ trong chèc l¸t mµ lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi tõng b­íc tõ thÊp ®Õn cao. Môc tiªu cuèi cïng lµ h­íng dÉn cho häc sinh n¾m ®­îc néi dung kiÕn thøc cña tõng tiÕt häc, cña tõng ch­¬ng, cña tõng cÊp häc ®Ó häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n mét c¸ch chÆt chÏ, cã ®ñ c¬ së lý luËn trong lêi gi¶i cña m×nh, häc to¸n vµ vËn dông to¸n häc vµo c¸c bé m«n kh¸c còng nh­ vµo thùc tÕ.
 B¶n th©n t«i Ýt nhiÒu qua ba n¨m còng ®· cè g¾ng thÓ hiÖn chuyªn ®Ò nµy t¹i tr­êng dï sao vÉn cßn nhiÒu ®iÒu ph¶i häc tËp vµ phÊn ®Êu ®Ó ®¹t kÕt qu¶ cao h¬n. Nh­ng t«i vÉn m¹nh d¹n ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y, Ýt nhiÒu cã kÕt qu¶ víi ®èi t­îng häc sinh t«i ®­îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y.
Mong c¸c cÊp qu¶n lý chuyªn m«n, c¸c ®ång nghiÖp gãp ý thªm ®Ó t«i lµm hoµn thµnh s¸ng kiªn kinh nghiÖm mét c¸ch tèt h¬n!
, ngµy 10 th¸ng 4 n¨m 2009
 Ng­êi viÕt