Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8 - Năm học 2011-2012

sáng kiến kinh nghiệm
RẩN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
“ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ”
A . Mở Đầu
I./ Lý do chọn đề tài
 a.Lý do chủ quan
 Tôi là một giáo viên mới giảng dạy được 18 năm nên còn nhiều hạn chế nhiều về chuyên môn, nghiệp vụ vì vậyviệc học hỏi trau dồi kinh nghiệm là điều rất cần thiết. Trong giai đoạn chưa ổn định về mặt phương pháp như hiện nay, bản thân tôi luôn phải thể nghiệm các phương pháp, nhóm phương pháp để đúc rút kinh nghiệm cho mình từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân.
 Học sinh trường THPT ĐẮC LUA ít có điều kiện và khả năng tự học. Các em còn yếu và còn thiếu về kiến thức cơ bản cũng như về kỹ năng nhìn nhận tìm hướng đi cho một bài toán.
 b. Lý do khách quan
 Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội dung rất hay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc tư duy linh hoạt cho học sinh. Đây là những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp trên.
 Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình sau này.
 Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phương pháp giảng dạy đối với bộ môn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hướng dẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của người thầy.
 Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ xung kiến thức, tìm tòi các phương pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là điều cần thiết, nó tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và hình thành thói quen tự học.
 Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình, không những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau này, mà còn giúp các em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác.
 Khi giải quyết được vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết được nhiều mặt khác như :
+ Củng cố kiến thức
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp, ...
+ Phát triển tư duy
+ Tạo ra một lưng vốn kiến thức cho những năm học sau này.
Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đã xây dựng một đề tài mang tên “R ốn luyện k ỹ năng giải toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử ‘’.
II./MỤC ĐÍCH NGHIấN CỨU
-Để giải một bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử đũi hỏi người học phải cú sự tư duy và khả năng phỏn đoỏn cao. Mặt cỏc đõy là kiến được ỏp dụng để giải cỏc bài toỏn cú liờn quan như tỡm x, rỳt gọn biểu thức,
-Do đú mục đớch viết đề tài này là cú thể gúp phần bộ nhỏ nào đú của mỡnh vào việc nõng cao chất lượng dạy và học núi chung và rốn kỹ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử núi riờng theo phương chõm “lấy kết quả đạt được trong thực tế làm thước đo cho chất lượng giảng dạy”.
III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
 Giải toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử chỉ được đề cập ở THCS phần đại số 8. Vả lại đõy là một ụn học khú đũi hỏi cao sự tư duy của người dạy và người học.
 Mặt khỏc do thời gian nghiờn cứu ngắn nờn đề tài chỉ đề cập tới vấn đề rốn kỹ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử thụng qua cỏc tiết luyện tập và ụn tập bằng cỏc bài tập cụ thể.
1.Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài
Thời gian
 Năm học 2011 – 2012.
Phạm vi thực hiện
 Lớp 8 Trường THPT ĐẮC LUA
2. Khảo sỏt trước khi thực hiện đề tài
Các em chỉ hiểu và làm được các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến đổi thuần tuý, chưa có khả năng phán đoán, định hướng đúng cho việc giải bài toán.
Về mặt phương pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử. Việc vận dụng các phương pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống.
Trước khi thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo sát chất lượng như sau :
Lần 1: (15phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = 8x3 + 1
B = x + y + xy + y2
Kết quả như sau
Tổng số học sinh
Điểm
0 -> 2
3 -> 4
5 -> 6
7 -> 8
9 -> 10
TBư
35
5
22
6
2
0
8
Lần 2: (20phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9
B = x3 - 2x2 - x+2
Kết quả như sau
Tổng số học sinh
Điểm
0 -> 2
3 -> 4
5 -> 6
7 -> 8
9 -> 10
TBư
35
3
22
7
2
1
10
Qua hai bài kiểm tra tôi thấy chất lượng có đi lên nhưng rất chậm, chưa đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao về chất lượng của các môn học thay sách. Từ thực trạng trờn tụi đưa ra giải phỏp sau.
 B. NỘI DUNG
I /.KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các em giải quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Kiến thức cơ bản là xương sống để từ đó phát triển mở rộng các phương pháp giải bài tập.
Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sau đây.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán 8 - tập 1)
Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Nghiệm của đa thức
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
Đồng nhất hệ số
Nếu anxn + an-1xn-1 + ...+ a1 = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1
thì 
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 .... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì A(x1,x2,....,xn) 
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2).....
Tam thức bậc hai
Tam thức ax2+bx+c phân tích được thành nhân tử khi b2-4ac ³ 0 (thừa nhận dấu hiệu này)
ii. Các dạng bài tập và cách giải
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “tách một số hạng tử thành nhiều hạng tử”
Cơ sở :
Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức
Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán được giải quyết.
Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x2 - 4x+3
Phân tích tìm lời giải:
Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với hai hạng tử còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử chung giống nhau, nhờ thế bài toán được giải quyết.
Lời giải
Cách 1: (Tách hạng tử giữa)
A 	= x2 - x - 3x +3 
= x(x-1)-3(x-1)
=(x-1)(x-3)
Cách 2: (Tách hạng tử cuối)
A	=x2-4x-1+4
=x2-1-4x+4
=(x-1)(x+1)-4(x-1)
=(x-1)(x+1-4)
=(x-1)(x-3)
Cách 3: (Tách hạng tử cuối)
A	=x2-4x+4-1
=(x-2)2-1
=(x-2+1)(x-2-1)
=(x-1)(x-3)
Cách 4: (Tách hạng tử cuối)
A	=x2-4x-9+12
=x2-9-4x+12
=(x-3)(x+3)-4(x-3)
=(x-3)(x+3-4)
=(x-3)(x-1)
Cách 5: (Tách hạng tử giữa và hạng tử cuối)
A	=x2-2x-2x+3
=x2-2x+1-2x+2
=(x-1)2-2(x-1)
=(x-1)(x-1-2)
=(x-1)(x-3)
Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu. Tôi muốn đưa ra bài toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức được. Việc giải bài toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài toán ở nhiều góc cạnh từ đó các em có cái nhìn phong phú hơn.
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 4x2 - 4x-3
Lời giải
Cách 1 :(Tách hạng tử thứ hai)
B	=4x2+2x-6x-3
=2x(2x+1)-3(2x+1)
=(2x+1)(2x-3)
Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba)
B	=4x2-4x+1-4
=(2x-1)2-4
=(2x-1-2)(2x-1+2)
= (2x+1)(2x-3)
Nhận xét : 
Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện các thừa số chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x2-6x+8
9x2+6x-8
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
-c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c)
Gợi ý: tách a-c=(a-b)+(b-c)
(x-y)-x3(1-y)+y3(1-x)
Gợi ý: tách 1-y=(x-y)+(1-x)
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “thêm và bớt cùng một số hạng”
Cơ sở thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện nhân tử hoặc hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả.
Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
4x4+81
Phân tích tìm lời giải:
ở bài toán này chúng ta chưa thể sử dụng được bất kỳ hằng đẳng thức nào, mặt khác cũng chưa có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt như thế nào đó để có hằng đẳng thức . Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng hằng đẳng thức a2+2ab+b2 thì thiếu bộ phận nào”.
Lời giải:
4x4+81	=4x4+36x2+81-36x2
=(2x2+9)2-(6x)2
=(2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
=(2x2-6x+9)(2x2+6x+9).
Việc giải bài toán là một phép thêm bớt đơn giản và dễ dàng cho kết quả nhưng chưa được hướng dẫn thì quả là một vấn đề khó đối với các em. Qua bài toán này các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới cho việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x6-1
Phân tích tìm lời giải : 
Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử dụng ngay hằng đẳng thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc để nhóm.
Lời giải :
Cách 1: (Nối từ x6 đến 1)
x6-1	=x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1
=x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1)
=(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)]
=(x-1)(x+1)(x4+x2+1)
=(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2]
= (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2]
= (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 2:
x6-1	=x6+x3-x3-1
=x3(x3+1)-(x3+1)
=(x3+1)(x3-1)
=(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 3:
x6-1	=x6+x4+x2-x4-x2-1
=x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1)
=(x4+x2+1)(x2-1)
=( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1)
= (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1)
Cách 4:
x6-1	=(x3)2-1
=(x3-1)(x3+1)
= (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1)
Cách 5:
x6-1	=(x2)3-1
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 6:
x6-1	=x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2
=(x2-1)3+3x2(x2-1)
=(x2-1)[(x2-1)2+3x2]
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 7:
x6-1	=x6-x2+x2-1
=[(x3)2-x2]+(x2-1)
=(x3-x)(x3+x)+(x2-1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 8:
x6-1	=x6-x2+x2-1
=x2(x4-1)+(x2-1)
=x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1)
=(x2-1)[x2(x2+1)+1]
= (x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Cách 9:
x6-1	=x6-x4+x4-1
=x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)
Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nhưng cũng có những cách phức tạp song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều hướng khác nhau với mục đích để các em sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng trước một bài toán các em có kỹ năng nhận biết cách nào đơn giản nhất, từ đó có định hướng đúng cho việc giả bài tập.
Mặt khác, việc đưa ra nhiều cách làm là tạo cho các em có một “lưng vốn kiến thức” để khi gặp một bài toán có thể “làm cách này không được thì làm cách khác”.
Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử :
x5+x4+1
x8+x+1
4x4+1
x8+98x2+1
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “đổi biến số’’ Cơ sở.
Khi gặp một bài toán có một số biểu thức lặp đi lặp lại trong các hạng tử nhưng luỹ thừa khác nhau để đơn giản hoá bài toán ta có thể đặt biểu thức đó thành một biến mới rồi giải quyết bình thường. Sau khi giải bài toán với biến mới, ta phải thay về biến ban đầu.
Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
(x2+x)2+4(x2+x)-12
(x2+x+1)(x2+x+2)-12
Phân tích tìm lời giải:
Dễ dàng nhận thấy, x2+x lặp đi lặp lại
x2+x+2 = (x2+x+1)+1
Lời giải
Đặt x2+x=y
(x2+x)2+4(x2+x)-12	=y2+4y+12
=y2-2y+6y-12
=y(y-2)+6(y-2)
=(y-2)(y+6)
Thay y = x2+x 
= (x2+x-2)(x2+x+6)
=(x-1)(x+2)(x2+x+6)
Đặt x2+x+1=t
(x2+x+1)(x2+x+2)-12	=t(t+1)-12
=t2+t-12
=t2-9+t-3
=(t-3)(t+3)+(t-3)
=(t-3)(t+4)
Thay t=x2+x+1
= (x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
A=x4+6x3+7x2-6x+1
Lời giải :
A = x2(x2+6x+7-	(*)
Đặt 
Thay vào (*), ta có:
x2(y2+2+6y+7)	=x2(y2+6y+9)
=x2(y+3)2
=(xy+3x)2
Thay 
Cách 2:
x4+6x3+7x2-6x+1	=x4+6x3-2x2+9x2-6x+1
=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2
=(x2+3x-1)2
Nếu làm phép so sánh giữa cách 2 và cách 1 thì rõ ràng cách 2 đơn giản hơn rất nhiều. Vậy phải chăng cách tôi đã làm phức tạp hoá vấn đề một cách không cần thiết ?
Tôi muốn đưa ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phong phú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau này khi giải phương trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết nhanh gọn.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x(x+1)(x+2)(x+3)+1
Gợi ý:
x(x+1)(x+2)(x+3)	= x(x+3)(x+1)(x+2)
=(x2+3x)(x2+3x+2)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
(x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Gợi ý:
Đặt x2+y2+z2=a
xy+yz+zx=b
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “hệ số bất định”
Cơ sở
Nếu anxn + an-1xn-1 + ...+ a1 = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1
thì 
1. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x4-6x3+12x2-14x+3	(1)
Phân tích tìm lời giải:
Ta thấy, 3 có các ước ±1, ±3 nhưng không là nghiệm của 1, vậy việc tìm ra nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không có nghiệm, vì thế việc định hướng để phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn. Nếu (1) phân tích được thì sẽ có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d)
Lời giải
Giả sử (1) phân tích được thành nhân tử, ta có
x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4. 
Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là
(x2-2x+3)(x2-4x+1)
Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm được. Mục đích tôi đưa ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết các bài toán tương tự, từ đó mở ra một định hướng mới cho việc phân tích đa thức thành nhân tử. bài toán có ý nghĩa như một chìa khoá cho việc giải các bài toán khó phân tích. Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận lợi cho các em học tốt hơn ở các lớp học tiếp theo.
Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không làm được, nếu tiếp tục đưa vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang mang, choáng váng cho học sinh có lực học trung bình và yếu. Vì thế tôi nhanh chóng chuyển sang dạng toán khác.
2. Bài tập tự luyện
Dùng phương pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử 
4x4+4x3+5x2+2x+1
3x2+22xy+11x+37y+7y2+10
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “xét giá trị riêng”
Cơ sở:
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 .... mà A(x1,x2,....,xn)=0 thì A(x1,x2,....,xn) 
Vậy A(x1,x2,....,xn) = K(x1-a1)(x2-a2).....
Các bài toán
Phân tích đa thức thành nhân tử 
P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) 	(1)
Lời giải
Nếu thay vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử của P. Mặt khác P có bậc 3. Vậy P = K(a-b)(b-c)(c-a)	(2)
với K là hằng số
Nếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= K(a-b)(b-c)(c-a), ta có K = 1.
Đây là dạng toán phức tạp nhưng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơn giản vì đặc thù học sinh ở trường tôi, các em nhận thức chậm, nếu đưa bài toán phức tạp thì vừa mất thời gian lại không hiệu quả.
Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử 
M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “tìm nghiệm của đa thức”
Cơ sở:
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm a', b' thì phân tích được thành a(x-a')(x-b').
1. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x3+3x2-4
Phân tích tìm lời giải:
Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, vậy ta phải biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1.
Lời giải
x3+3x2-4	=x3-1+3x2-3
=(x-1)(x2+x+1)+3(x2-1)
=(x-1)[x2+x+1+3(x+1)]
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
x2+3x+2	(1)
x2-x+12	(2)
Gợi ý: Hãy tìm nghiệm của đa thức
Lời giải
Dễ thấy x=-1 và x=-2 là nghiệm của đa thức (1). Vậy x2+3x+2=(x+1)(x+2)
Trên cơ sở các em hiểu thật kỹ phần a, tôi cho các em về nhà tự làm phần b.
Bài toán trên rất đơn giản, nhưng lại mở ra một hướng mới cho việc suy luận tìm lời giải, nó có tác dụng định hướng cho việc phân tích làm xuất hiện nhân tử chung.
Mặt khác, tôi muốn đưa ra dạng toán này để các em sớm tiếp cận và làm quen với nghiệm của phương trình đặc biệt là phương trình bậc hai mà các em sẽ học rất nhiều ở lớp 9 và các năm học sau này. Vấn đề của bài toán tuy không “to tát” song bài toán đã hé mở cho các em một ý tưởng mới.
2. Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử 
x3-x2+1
2x3-2x2-x+1
x2-4x+3
2x2+3x-2
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
1. Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
Lời giải
A 	= b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2
=(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc)
(thêm bớt abc)
= ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a)
=(c-a)(ab+ac+b2+bc)
=(c-a)[a(b+c)+b(b+c)]
=(c-a)(b+c)(a+b)
Bài toán trên có vai trò củng cố các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, mặt khác nó là sự tổng hợp các kiến thức giúp các em có sự nhìn nhận thấu đáo hơn khi làm toán.
Bài toán 2: Chứng minh rằng
 là số nguyên
Phân tích tìm lời giải:
Ta quy đồng biểu thức thành một phân thức nếu phân thức là số nguyên thì tử chi a hết cho mẫu. Vậy bài toán trở về việc chứng minh tử chia hết cho mẫu sau khi đã quy đồng.
Lời giải:
.Ta có 
2n+3n2+n3	=n(2+3n+n2)
=n[(n2+n)+(2n+2)]
=n[n(n+1)+2(n+1)]
=n(n+1)(n+2).
Vì nẻZ nên n(n+1)(n+2) là tích của ba sô nguyên liên tiếp -> có một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 -> n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.
Vậy Z hay A ẻ Z (đpcm).
Bài toán giải quyết được vấn đề mới đồng thời có sự liên hệ với kiến thức cũ qua đó các em được củng cố kiến thức thấy được sự liên hệ, tính hệ thống, móc xích và thống nhất của chương trình.
Chắc chắn rằng qua các bài tập trên, các em sẽ hiểu sâu sắc hơn, có cái nhìn toàn diện và đặc biệt có hệ thống phương pháp tốt để làm bài tập, từ đó tôi cho các em làm các bài tập sau:
2. Bài tập tự luyện
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a4+5a3+15a-9
Bài 2 : Tính nhanh
a3-a2b-ab2+b3 với a=5,75; b=4,25
Bài 3 : Tìm x biết
x2+x=6
6x3+x2=2x
Trên đây là hệ thống các bài tập từ dẽ đến khó mà tôi đã cung cấp cho học sinh. Qua đó, tôi thấy trình độ tiếp thu kiến thức của các em khá lên rất nhiều, việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và giải các bài toán nói chung các em đã tiến hành có hệ thống, có định hướng đúng và đặc biệt đối tượng học sinh có học lực yếu đã biết làm các bài tập dạng tương tự.
Để xác minh tính chân thực và kiểm định lại suy nghĩ của mình tôi đã tiến hành khảo sát như sau :
III. Khảo sát sau khi thực hiện đề tài
Đề bài: (25') 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
6x2-11x+3
x3-7x+6
a6+a4+a2b2+b4-b6
Kết quả
Tổng số học sinh
Điểm
0 -> 2
3 -> 4
5 -> 6
7 -> 8
9 -> 10
TBư
35
1
4
9
16
5
30
Sau khi thực hiện đề tài này, tôi thấy các em được mở mang kiến thức. Việc tiếp thu kiến thức được cải thiện, vì thế mà các em học khá hơn, thích học môn toán hơn và từ đó các em có phần quý tôi hơn, tin tưởng tôi hơn trước. Từ chỗ các em ham học hơn, nên các em đã có ý thức hơn. Tôi thấy chuyên đề này không chỉ giúp các em tháo gỡ khó khăn khi học bài mà còn mang ý nghĩa giáo dục lớn.
Về phía bản thân, tôi thấy các em quý tôi hơn, từ đó tôi thêm yêu nghề, thêm tin vào sự nghiệp giáo dục và “lý tưởng trồng người”. Đây là lời động viên thiết thực, là món quà phấn khích tôi làm tốt hơn nữa.
C./ KẾT LUẬN
Để rốn luyện kỹ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử tụi đó sử dụng hệ thống cõu hỏi mang tớnh chất loại trừ như trờn và bản thõn tụi thấy thật sự cú hiệu quả. Tụi rỳt ra một số bài học kinh nghiệm như sau:
 1. Bài học kinh nghiệm
- Giỳp học sinh học tập tớch cực, đảm bảo học sinh đúng vai trũ chủ động trong làm toỏn. Rốn luyện tư duy, phõn tớch, chọn lọc, đỏnh giỏ. Đặc biệt biết sử dụng phương phỏp loại trừ khi làm toỏn.
-Dựa vào hệ thống cõu hỏi theo cỏc bước ở trờn khụng chỉ giỳp học sinh giải toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử thành thạo mà cũn cú khả năng linh hoạt vận dụng để giải cỏc dạng toỏn khỏc cú liờn quan như tỡm x, rỳt gọn biểu thức
2. Lời kết
Rốn luyện kỹ năng, nõng cao chất lượng dạy và học là vấn đề mà mọi người quan tõm. Trờn đõy chỉ là một chỳt kinh nghiệm nhỏ thụng qua thực tế giảng dạy mà tụi rỳt ra được. Tuy nhiờn đõy chỉ là phương phỏp rốn luyện kỹ năng giải toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử. Nhưng dự sao đõy cũng là một phương phỏp giỳp tụi khắc phục tỡnh trạng học sinh trong quỏ trỡnh giải toỏn mà tụi đó nờu trờn.
Đõy là một giải phỏp nhỏ mà tụi đó cố gắng tỡm tũi ỏp dụng từ vốn kinh nghiệm cũn hạn chế của mỡnh, tất nhiờn sẽ khụng trỏnh khỏi những thiếu xút. 
Rất mong sự gúp ý của cỏc thầy cụ và cỏc bạn đọc đồng nghiệp.
Tụi xin chõn thành cảm ơn!
Đắc Lua , ngày 23 thỏng 9 năm 2011
 Người thực hiện :
 Trần Văn Phương
Tài liệu tham khảo
Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8 đại số và hình học
 (Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều)
255 bài toán chọn lọc 
 (Vũ Dương Thuỵ - Trương Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm)
Ôn tập đại số 8
 (Vũ Hữu Bình - Tôn Thân)
Toán cơ bản và nâng cao đại số 8
 (Vũ Hữu Bình )
Toán bồi dưỡng học sinh đai số 8
 (Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều)
* MỤC LỤC
 Trang 
A. PHẦN MỞ ĐẦU1
I./ Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
II./ MỤC ĐÍCH NGHIấN CỨU
III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
B./NỘI DUNG.4
I./THỰC TRẠNG
II./GI ẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
C./KẾT LUẬN ................19