Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức

Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn toán là môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người, với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học, toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, toán học không chỉ cung cấp cho học sinh những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học. 
Trong việc dạy toán học thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học, góp phần hình thành phát triển tư duy của học sinh, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt trong việc giải bài tập đặc biệt là giải toán bất đẳng thức.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn ở cấp THCS bản thân tôi hiểu được tâm lý của học sinh khi gặp những bài toán về bất đẳng thức học sinh thường ngại, lười suy nghĩ, ít có hứng thú tìm cách giải quyết vấn đề vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là rất cần thiết. Để khắc phục những khó khăn và áp dụng giải toán bất đẳng thức bản thân tôi nghiên cứu, tìm hiểu tích luỹ được những kinh nghiệm về: 
“ Phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức”.
Đồng thời thông qua đó giúp các em nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập bất đẳng thức thành thạo góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
Phần II 
NỘI DUNG
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Định nghĩa:
Cho hai số a và b ta nói:
a nhỏ hơn b, ký hiệu a < b nếu a - b < 0
a lớn hơn b, ký hiệu a > b nếu a - b > 0
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
2.1.	 a > b b < a
2.2. 	a > b, b > c a > c
2.3. 	a > b a + c > b + c
2.4. 	Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
a > b ; c > d a + c > b + d
2.5. Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
a > b ; c b - d
2.6. 
a/ Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số dương.
	a > b ; c > 0 a . c > b . c
b/ Nhân hai vế bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều bất đẳng thức.
	a > b ; c < 0 a . c < b . c
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm.
 a . c > b . d
 	a > b 0
c > d 0
2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức.
a > b > 0 an > bn
a > b an > bn với n = 2k ( kN )
2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương.
Nếu m > n > 0 thì a > 1 am > bn
a = 1 an = bn
0 < a < 1 am < bn
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
a > b > 0 hoặc b < a < 0 
(*) Bất đẳng thức quan trọng:
1- Bất đẳng thức Cô-si: 
 hay 
2- Bất đẳng thức Bunhia Côpski:
* Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a b) tức là a > b hoặc a = b.
Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ > ”(hoặc dấu “ < ”) có thể thay bởi dấu “” (hoặc dấu “”).
3. Các hằng bất đẳng thức cần nhớ:
3.1. a2 0 ; - a2 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.2. 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.3. - a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.4. + . Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0.
3.5. - . Xảy ra dấu đẳng thức khi a.b 0 ; .
( Các điều kiện này có thể diễn đạt là a b 0 hoặc a b 0
* Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng (coi như bổ đề).
1. 	a2 + b2 2.a.b
2. 	 Với a , b > 0
3. 	 Với a.b > 0
II, MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ THƯỜNG DÙNG:
1. Phương pháp dùng định nghĩa:
1.1. Cơ sở toán học:
Để chứng minh: A > B , ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0 
	A < B , ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B < 0 
1.2. Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Chứng minh: 
Giải:
- Xét hiệu 2 vế: 
	Vậy 
* Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
+ Xét hiệu: 
Vậy 	 
+ Xét hiệu: 
Vậy 
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y.
1.3. Bài tập tự giải.
Chứng minh rằng với các số hữu tỷ a, b, c tuỳ ý, ta có:
a, 
b, a2 + b2 + c2 ab + bc + ac.
c, a2 + b2 ab
d, a2 + b2 + c2 + a + b + c
e, a4 + b4 + 2 4ab
2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức:
2.1 Cơ sở toán học:
- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thường là áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức ( đã nêu ở phần 2). 
2.2 Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Với a, b, c, d là các số thực bất kỳ
Chứng minh rằng nếu a > b ; c > d thì a + c > b + d.
Giải:
Vận dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng vào bất đẳng thức a > b ta có:
a + c > b + c 	(1)
Tương tự, với bất đẳng thức c > d ta có:
b + c > b + d	(2)
Sử dụng tính chất bắc cầu vào (1), (2) ta được:
a + c > b + d 	(đpcm)
* Ví dụ 2: Cho bất đẳng thức a < b. Chứng minh rằng:
	a/ Nếu a > 0 và b > 0 thì a2 < b2.
	b/ Nếu a b2.
Giải:
Từ a < b ta suy ra a – b < 0 	(1)
Nếu a > 0 và b > 0 thì a + b > 0
Nhân 2 vế của (1) với a + b ta được:
(a + b)(a - b) > 0 hay a2 - b2 > 0 hay a2 > b2
* Ví dụ 3: Cho a, b, c là số đo các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
Với 
Giải:
Trước hết chứng minh bất đẳng thức: với x > 0, y > 0
Áp dụng bất đẳng thức này ta có:
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được đpcm.
2.3. Chú ý:
Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh sai lầm sau:
 a - c > b - d
a. 	a > b
 ac > bd
	c > d
b. 	a > b
	c > d
(Nhân vế với vế bất đẳng thức mà chưa biết 2 vế có không âm hay không)
c. Bình phương hai vế của 1 bất đẳng thức mà chưa biết 2 vế không âm
	a > b a2 > b2
d. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng.
	 ad > bc
2.4. Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. 	( a > 0 , b > 0 )
b. 
c. Với a > 0 và b > 0 , Chứng minh 
d. Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: 
3. Phương pháp biến đổi tương đương:
3.1. Cơ sở toán học:
- Để chứng minh bắt đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức).
	A B ......... C D
và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B 
- Để dùng các phép biến đổi tương đương lưu ý:
 	(A B)2 = A2 2AB + B2
 	(A + B +C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2CA
3.2 Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Chứng minh: x2 – x + 1 > 0 	với x
Giải:
Ta có : 	x2 – x + 1 > 0 
	 	x	(đpcm)
* Ví dụ 2: Cho a, b 0. Chứng minh rằng:
(Bất đẳng thức Co-si: “Trung bình cộng của hai số không âm nhỏ hơn trung bình nhân của chúng”).
Giải:
Ta có:	a + b 2
	(a + b)2 4ab
	(a - b)2 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
* Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức: . 
Với a > 0 , b >0
Giải:	
 (1) 	4(a3 + b3) 	 (a + b)3
	4(a + b)(a2 – ab + b2) (a + b)(a + b)2
	4a2 – 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2
	3a2 - 6ab + 3b2 0
	3(a - b)2 0	(2)
Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi đều tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3. Chú ý:
- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu “” bằng các dấu “”.
Thật vậy, nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đăng thức (1) đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện.
	Chẳng hạn:	a2 > b2 	 a > b 	Với a, b > 0
	m > n 	 am > an	Với m, n Z+ , a > 1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
3.4 Bài tập tự giải:
Bài 1: So sánh 2 số 	A = 3 - 3	và B = 2- 1 (Không dùng máy tính bỏ túi)
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:	 
Bài 3: Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 4: CMR: a, b, c R Ta có:
	a/ a4 + b4 a3b + ab3
	b/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ac
4. Phương pháp phản chứng:
4.1. Cơ sở toán học:
Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề : “A B”. Phép toán mệnh đề cho ta: 
Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề phủ định kết luận của nó.
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau:
a.1. Dùng mệnh đề phản đảo 	
a.2. Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
a.3. Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái nhau.
a.4. Phủ định luận đề rồi suy ra một điều trái với điều đúng.
a.5. Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A B
4.2. Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức 
Giải:	Giả sử thì 	
Bất đẳng thức cuối là sai. Vậy phải có 
* Ví dụ 2: Cho a, b, x, y liên hệ bởi a + b = 2xy
CMR ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng
x2 a ; y2 b
Giải: Giả sử x2 < a ; y2 < b 	 	x2 + y2 < a + b = 2xy
	x2 + y2 -2xy < 0
	(x - y)2 < 0 	Vô lý
Vậy có ít nhất một trong hai bất đẳng thức: x2 a ; y2 b là đúng
4.3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho a > b >0 và 
	CMR: Không thể có	a < 1 ; b< 1
Bài 2: Cho a > 2 ; b > 2. Chứng minh ab > a + b
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức Với a, b, c 0
5. Phương pháp quy nạp toán học:
5.1. Cơ sở toán học:
Nội dung của phương pháp này là tiền đề quy nạp toán học. Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu:
	+ Mệnh đề đúng với n = 1.
	+ Từ giả thiết với n = k (k ) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k +1 . Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương. Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành 3 bước:
+ B1: Chứng minh T (1) đúng(kiểm tra mệnh đề đúng với n=1)
+ B2:	- Giả sử mệnh đề T(k) đúng
	- Ta chứng minh mệnh đề T(k + 1) cũng đúng.
+ B3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương (n)
5.2 Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: CMR với x > -1 thì (1 + x)n 1 + nx
Trong đó n là số nguyên dương bất kỳ.
Giải:
	+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x 1 + x
	+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n =k tức là (1 + x)k 1 + kx
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1
Tức là phải chứng minh (1 + x)k + 1 1 + (k + 1)x
Thật vậy, theo giả thiết 1 + x > 0 
Ta có: 	(1 + x)(1 + x)k (1 + kx) (1 + x)
	(1 + x)k + 1 1 + (k + 1)x + kx2
Mà kx2 > 0 nên 	1 + (k + 1)x + kx2 1 + ( k + 1)x
Từ đó suy ra bất đẳng thức đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra x = 0.
5.3. Bài tập tự giải:
Bài 1: CMR ta có 2n > 2n + 1 
Bài 2: CMR : 2n > n3 Với số tự nhiên n 10
6. Phương pháp biến đổi:
B1: Đặt biến mới dựa theo biến cũ.
B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến mới.
B3: Kết luận và trả về biến cũ.
6.2. Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ: Cho a + b + c =1. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 
Giải:
Đặt a = + x , b = + y , c = + z
Do a + b + c =1 nên x + y + z = 0
Ta có: a2 + b2 + c2 	= ( + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2
	= 
	= 
	= 
Xảy ra dấu đẳng thức 	 x = y = z = 0 a = b = c = 
6.3. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho a, b, c là số đo các cạnh của tam giác
CMR: 
Bài 2: Cho a, b, c là các số dương
CMR: 
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC:
A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng:
1. Mệnh đề 1:
Nếu tổng các số thực dương x1, x2, ....., xn bằng một số cho trước, thì tích của chúng lớn nhất khi : x1 = x2 = ...... = xn
* Định lý 1: 
Nếu có n số thực dương x1, x2, ....., xn có tổng bằng S không đổi thì tích P = x1.x2......xn có giá trị lớn nhất khi:
Trong đó mi là các số hữu tỷ dương.
2. Mệnh đề 2:
Nếu tích của các số dương x1, x2, ....., xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi: x1 = x2 = ...... = xn
* Định lý 2: Nếu n số thực dương x1, x2, ....., xn có tính chất:
P = x1.x2......xn
S = x1 + x2 + ...... + xn
Có giá trị bé nhất khi : 	
Trong đó: mi(i = 1, 2, ... , n) là các số hữu tỷ dương cho trước.
3. Cho a1, a2, .... , an R . ta có:
	(1)
Dấu “=” xảy ra 	 ai cùng dấu (a1, a2, ... , an 0)
Đặc biệt: 
B. Áp dụng:
1. Tìm cực trị của hàm số. Biểu thức đại số:
*Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Giải:
Dễ thấy hàm số xác định với mọi x.
Ta có: 	 y 	= = 	
Áp dụng bất đẳng thức: 	.Ta được:
	y 	
Dấu “=” xảy ra	(x - 1993)(x - 1994) 0
	1993 x 1994
Do đó ymin = 1
* Bài 2: Cho các số x1, x2, ....., x1993 Thoả mãn:
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
M= 
Giải:	Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có:	
	...................	
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta được:
M 
Vậy M nhỏ nhất bằng 1.
2. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:
* Bài 1: Giải phương trình 	(1)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có:
Xảy ra (1) khi và chỉ khi:
	(x + 1)(x - 2) 0
	-1 x 2
* Bài 2: Giải hệ phương trình:	
Giải: Từ phương trình:	
Suy ra , 
- Nếu thì phương trình 
Suy ra: y 0
Tương tự : x 0
- Nếu 0 x4 ; y3 > y4
 > 
Như vậy trái với đầu bài. Vậy chỉ có thể:
(x = 0 , y = 0) hoặc (x = 1 , y = 0)
* Bài 3: Giải hệ phương trình:
Với x, y, z là ẩn số dương
Giải:	(2) 	
Vì x, y, z > 0 nên ta có:	
Dấu “=” xẩy ra khi 	x = y = z
Thay vào phương trình (1), ta có:	x3 + x2 + x -14 = 0
	(x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 	x = y = z = 2
3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó.
* Bài 1: Với những giá trị nào của mR thì phương trình:
mx2 + 2(m+1)x +m – 1 = 0
Có hai nghiệm thực phân biệt x1 và x2 thoả mãn điều kiện:	
Giải: Ta có 	
Để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt x1 và x2 . Ta phải có 
Ta có:	
	 ; m 0	
	m 0 , m 1
	 	Với m 0 , m 1
	 , m 0
Vậy: 	, m 0
Phần III
KẾT LUẬN
Qua quá trình giảng dạy toán ở cấp THCS , bản thân tôi rút ra được một số điều quan trọng khi giảng giải các bài toán có sử dụng bất đẳng thức.
Đây là một trong những bài toán phức tạp, cần có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng các phương pháp giải linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề. Bởi thế trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh bản thân tôi mỗi thày cô giáo phải trang bị thật chu đáo, tỷ mỉ, rõ ràng từng đơn vị kiến thức cơ bản, từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và vận dụng tốt để giải toán.
Xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập. Trân trọng những suy nghĩ, những ý kiến phát biểu và những sáng tạo dù rằng rất nhỏ của các em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích khẳ năng tự nghiêm cứu tìm tòi của các em.
Nghiên cứu và thể hiện đề tài “ Phương pháp giải toán bất đẳng thức “ Nội dung tôi đã trình bày ở trên còn rất hạn hẹp so với chuyên đề bất đẳng thức. Việc áp dụng một số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán cấp THCS là một vấn đề rộng, nội dung phong phú và đa dạng. Nhưng trên đây tôi chỉ trình bày được một số phương pháp và ứng dụng vào một số bài tập cơ bản nhất, phổ biến nhất mà bản thân tôi tích luỹ được trong quá trình giảng dạy. Tôi hy vọng rằng đây là sơ sở, động lực giúp bản thân tôi có thêm niềm tin hơn giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức và có được nhiều kinh nghiệm, nhiều ứng dụng trong thực tế.