Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử Đại số Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Đinh Chí Hiếu

Phần I Đặt vấn đề
I/ Lý do chọn nội dung SKKN
 Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
 Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
 Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho họcsinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức..Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó.
 Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
II/ Mục tiêu của sáng kiến
1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử , giúp học sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm phát tiển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh. 
2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa thức thành nhân tử. 
a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. 
b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học. 
c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và phân tích đa thức của học sinh thấy được tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vận dụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, tư duy logic toán học, tính sáng tạo. 
III. Phạm vi, giới hạn 
 Một số phương pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
 áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8.
IV. Tài liệu tham khảo
	- Sách giáo khoa Đaị số 8 
	- Sách giáo viên Đại số 8 
	- Sách bài tập đại số 8
	- Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 8
	- Các dạng toán đại số 8 
ChươngI:Các phương pháp cơ bản
I. Phương pháp đặt nhân tử chung
	Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:
Tìm nhân tử chung 
Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
Viết nhân tư chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)
 II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
	áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Kiến thức cơ bản là :
Bình phương của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2
Bình phương của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2
Hiệu hai bình phương: A2- B2 =( A + B ).( A - B )
Lập phương của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3
Lập phương của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3
Tổng hai lập phương : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )
Hiệu hai lập phương : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1
Giải
8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải
25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2
III. phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y
Giải
4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
Giải
 	x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)
IV. Phối hợp nhiều phương pháp
 Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử 
+ Dùng hằng đẳng thức
 Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz
	Giải
x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy 
 	Giải: 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy 
= 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)
= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]
= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
Chương II : Các phương pháp đặc biệt
I . phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
 Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã họckhông thể giải đượcmà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
	Giải
 	Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
	Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
	Cách 3 : 
 x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
	Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
	Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông dụng là :
 Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 
Giải
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
 *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm như sau :
Tìm tích a.c
Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
	Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
	 	+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
	-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
	Từ đó ta phân tích
	9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử
	Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
	+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
	Từ đó ta phân tích
	x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai.
II . Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)	
 Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2
64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
	 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
III . Phương pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử
	Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 
Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y
Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2)	= (x2 + x+6)( x2 + x -2)
 	=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)
 	=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
	 =(x2 + x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
 Giải 	Đặt (x2+ 3x + 1) = y 
Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y2 + y - 6 = y2 + 3y - 2y - 6
	 = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)
 = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)
IV . Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
 ( phương pháp hạ bậc đa thức )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x) chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức 
Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi
Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
 Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c. 
 Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 ( 1; 2; 4). Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)
	 = (x-1)(x+2)2
Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)
	 =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2
ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử
Các ước của -3 là : 1 ; 3 mà 1; 3 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
 	 Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là : -1 ; - ; - 3 ; - 
 Kiểm tra thấy x= là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử 
 x- hay 2x-1 
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 
 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)
 V . Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử 
	Giải : 	Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
	(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta được:
 	2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
	Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
 => b có thể là 1 hoặc 3
 Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
	 => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
	Vậy 	2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3).
VI . Phương pháp xét giá trị riêng
	Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử 
	Giải 
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được : 
 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
	2 = -2k => k=-1
 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)	 
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử 
 Giải Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì 
Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k 
(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
	Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
	(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)
	18 = 6 k => k=3
 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.
Chương III 
phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử
I. Bài toán chứng minh sự chia hết
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho3 với mọi số nguyên x.
 Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)
 Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
 P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
 Vậy P 3 x Z.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x.
	Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x 
	= x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4)
	=x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)
	=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) 
	M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5
Vì M 2 và M 4 nên M 8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M 8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 
Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) 
 Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh.
 Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh. ậ ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số dư bằng 0 có thể dùng lược đồ Hoocme tìm số dư ( dư 0 ). Hoặc chứng minh nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhưng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
 II. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, hoặc không âm
 Bài toán này kích thích tư duy của học sinh phải đi tìm đường lối giải và khi giải phải nắm được kiến thức:
 - Biểu thức luôn dương ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
 - Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của biểu thức khác.
 - Bên cạnh đó cần chú ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn dương hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x 2 - 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 0
Vậy P 0 với x . Hay biểu thức P không âm với x.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M = 
 không âm với mọi x
Giải 
Ta có : M = = = 
	 = =	
 Vì x2 +x +1 = x2 +x + +=(x+)2 +>0 x
Mặt khác (x-1)2 x và x2 +2 > 0 x
Vậy M 0 x . Hay M không âm x.
 Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em được rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khác
Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.
 Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân tử. Đường lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải. Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và tư duy logickhoa học ở các em.
Ví dụ : Cho P =
a/ Rút gọn P
 Giải P = ===
( với x-1; x-7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
 Giải P == =
IV. Bài toán chứng minh đẳng thức.
 Loại toán này đường lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhưng cũng có bài ta phải biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
 Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : =
Giải Biến đổi VT ta có : VT == ==VP
Vậy đẳng thức được chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau = 
Giải Biến đổi VP ta có : VP = = =
 Biến đổi VT ta có : VT == =
VT =VP Vậy đẳng thức được chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là dạng toán đã cho sẵn kết quả.
V. Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên.
 Để giải bài toán này đường lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở dạng đơn giản hơn ( Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức đơn giản hơn ). Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn đạt được giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ước của tử thức. Từ đó ta tìm được giá trị của biến.
	Ví dụ : Cho P = Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên.
	Giải:
	Theo VD1 ở IV -3 ta có: P= = 
P đạt giá trị nguyên x+7 là ước của 5 (1; 5)
Do đó x+7 =-1 x=-8
	x+7 = 1 x=-6
	x+7 =-5 x=-12
	x+7 = 5 x=-2
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyên.