Sáng kiến kinh nghiệm Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 - Hà Danh Hưng

Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
1 
Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Phú Cát Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
I. Sơ yếu lý lịch. 
Họ và tên: Hà Danh H−ng. 
Sinh năm: 1979 
Năm vào ngành: 2002 
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THCS Phú Cát-Quốc Oai-Hà Tây 
Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin 
Hệ đào tạo: Chính qui 
Bộ môn đ−ợc phân công giảng dạy: Toán 8A+8B. 
II. Nội dung đề tài. 
1. Tên đề tài: “Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh 
lớp 8”. 
2. Lý do chọn đề tài. 
- Trong dạy học môn toán việc giúp học sinh tìm ra h−ớng giải quyết cho một 
lớp các bài toán là một việc làm rất quan trọng. Đặc biệt, đối với dạng bài có 
nhiều ứng dụng trong đại số nh− “ phân tích đa thức thành nhân tử” việc làm đó 
càng trở nên cần thiết. 
- Khi dạy các bài về ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở đầu ch−ơng 
trình đại số 8, tôi nhận thấy học sinh (chủ yếu là các học sinh yếu và trung 
bình) gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài tập thuộc dạng này 
nếu chỉ dựa vào những gì SGK cung cấp. Chính vì vậy, tôi đX suy nghĩ và mạnh 
dạn đ−a ra một vài gợi ý cho các em trong khi sử dụng từng ph−ơng pháp cũng 
nh− áp dụng tổng hợp các ph−ơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử 
trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi trong khi giải các bài toán. Và 
rất mừng là nó đX thu đ−ợc những kết quả nhất định. 
3. Phạm vi và đối t−ợng thực hiện của đề tài. 
- Đề tài này tôi thực hiện khi dạy các tiết 14, 15 trong ch−ơng trình đại số lớp 8, 
với nội dung là luyện tập giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. 
Trên cơ sở nội dung chính là các kiến thức trong SGK, ở mỗi ph−ơng pháp tôi 
có đ−a ra thêm một vài gợi mở d−ới dạng các chú ý khi sử dụng ph−ơng pháp 
đó. 
- Đối t−ợng thể nghiệm đề tài là học sinh hai lớp 8A, 8B tr−ờng THCS Phú Cát. 
Đây là hai lớp có rất nhiều học sinh yếu và trung bình, đối t−ợng th−ờng gặp rất 
nhiều lúng túng với dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử. 
III. Quá trình thực hiện. 
1. Tình trạng tr−ớc khi thực hiện đề tài. 
- Sau khi dạy xong tiết 13 trong ch−ơng trình đại số 8 về phối hợp các ph−ơng 
pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm để phân tích đa thức 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
2 
thành nhân tử (các bài này tôi dạy các kiến thức đảm bảo nh− sách giáo viên đX 
h−ớng dẫn), tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra 10’ với nội dung : 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. A = 8x3 + 1 
2. B = x + y + xy + y2 
Kết quả nh− sau:( lớp 8A: 39 bài/ 39 học sinh, lớp 8B: 38 bài/38 học sinh ) 
 Điểm 
Lớp 
0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
8A 2 11 15 9 1 1 
8B 1 10 16 9 0 2 
- Qua bài làm của các em tôi nhận thấy rằng, chỉ có một số các em học sinh khá 
là biết cách phân tích, nhóm và tìm ra đáp số cuối cùng, còn đa phần các em 
không biết phải dùng ph−ơng pháp nào, nhóm các hạng tử nào với nhau, dùng 
hằng đẳng thức nào, có em nhóm đ−ợc nh−ng lại không biết đặt nhân tử chung 
của các nhóm. Điều này cho thấy các em ch−a tự hình thành đ−ợc thuật toán để 
giải bài phân tích đa thức thành nhân tử qua các ví dụ và bài tập trong SGK. Do 
đó, ng−ời thầy cần phải chỉ ra con đ−ờng giúp các em đi đến kết quả của bài 
toán một cách tất yếu, nhanh và chính xác. 
2. Các biện pháp đã thực hiện. 
a. Mục đích của đề tài. 
- Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh áp 
dụng nhanh và chính xác các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử : đặt 
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm, trên cơ sở đó phối hợp tốt nhất 
các ph−ơng pháp để giải một bài toán thuộc dạng này. 
b. Các b−ớc tiến hành. 
Sau khi dạy các tiết 10, 11, 12, 13 cho kiểm tra và thu đ−ợc kết quả nh− trên, 
tôi nhận thấy trong hai tiết luyện tập tiếp sau đó, cần phải hệ thống lại tất cả các 
ph−ơng pháp đX học và đ−a ra những l−u ý cần thiết đối với mỗi ph−ơng pháp, 
nhằm giúp các em sử dụng chính xác và có hiệu quả các ph−ơng pháp đó, tránh 
những sai sót đáng tiếc trong khi làm bài tập. 
1. Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung. 
• Chú ý: 
- Nhân tử chung của hệ số các hạng tử là UCLN của các hệ số đó. Nếu 
một hạng tử có hệ số là ±1 thì phần hệ số của đa thức đó không có nhân 
tử chung. 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử 
chung. 
a. A = 12x + 18y - 24z 
b. B = 25x + 75y - z 
H−ớng dẫn: 

 UCLN(12;18;24) = 6 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
3 

 Hệ số của hạng tử thứ 3 bằng -1 
Giải: 
Ta có: A = 6.2x + 6.3y - 6.4z 
 = 6(2x + 3y - 4z) 
B không phân tích đ−ợc thành nhân tử. 
- Nếu các hạng tử đều là đơn thức thì biến chung (có mặt ở tất cả các số 
hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung. 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử 
chung. 
c. C = x3 + x4 - x5 
d. D = xy3 + x2y - x3yz 
H−ớng dẫn 

 Trong đa thức C cả ba số hạng đều là đơn thức và có biến chung là x 
với số mũ nhỏ nhất là 3 nên nhân tử chung là x3 

 T−ơng tự, trong đa thức D nhân tử chung là xy 
Giải: 
Ta có: C = x3(1 + x - x2 ). 
 D = xy(y2 + x - x2z). 
- Nếu các hạng tử là những biểu thức thì các biểu thức chung (có mặt ở tất 
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung. 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử 
chung. 
e. E = x(x+y) + 2(x+y) 
f. F = 2(x-y)2 - 4(x-y) 
H−ớng dẫn 

 Đa thức E có hai hạng tử mà mỗi hạng tử là một biểu thức có chứa cùng 
một đa thức là x+y với cùng số mũ là 1, do vậy có thể đặt (x+y) làm 
nhân tử chung 

 T−ơng tự ,đa thức F có nhân tử chung là 2(x-y) 
Giải: 
E = (x+y)(x+2) 
F = 2(x-y)[(x-y)-2] 
 = 2(x-y)(x-y-2) 
• Bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp 
đặt nhân tử chung. 
a. 15x + 25y 
b. x2y - xy2 
c. 24x5y3z - 8x2yz3 
d. 56x2y + 7x4 - 14xy 
e. x(2y+1) - 2(2y+1) 
f. x4(5y - z) - x2(5y - z) 
g. 36x2y(3y-2) + 12x(6y-4) 
h. x(4x + 2y)-2(2xy + y2) 
2. Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức. 
• Chú ý: 
- Nếu đa thức có hai hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
a2 - b2 = (a+b)(a-b). 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
4 
a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab +b2) 
a3 +b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng 
đẳng thức: 
a. A = x2 - 25 
b. B = 27 + y3 
c. C = 8x3-1 
H−ớng dẫn 

 Ta nhận thấy rằng ba đa thức trên đều có hai hạng tử, đa thức A các 
hạng tử đều có số mũ chẵn nên ta tìm cách chuyển về dạng a2 - b2 để 
phân tích: 

 Đa thức thứ hai có số mũ lẻ và là tổng hai đơn thức nên ta tìm cách 
chuyển về dạng a3 +b3 để áp dụng: 

 Đa thức thứ ba có số mũ lẻ và là hiệu hai đơn thức nên ta tìm cách 
chuyển về dạng a3 - b3 để áp dụng: 
Giải 
Ta có: A = x2 - 52 = (x+5)(x-5) 
B = 33 + y3 = (3+y)(9 - 3y +y2) 
C = (2x)3- 13 = (2x-1)(4x2 +2x +1) 
- Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng 
đẳng thức: 
d. D = x2 - 4x + 4 
e. E = 25 + 20y + 4y2 
H−ớng dẫn 

 Hai đa thức trên đều có 3 số hạng, ta tìm cách biến đổi để áp dụng đ−ợc 
hằng đẳng thức t−ơng ứng, muốn vậy ta tìm cách đ−a số hạng có bậc cao 
nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc hai, rồi tách số hạng trung gian 
thành hai lần tích của cơ số có dạng luỹ thừa bậc hai vừa rồi, nếu đ−ợc 
thì áp dụng hằng đẳng thức t−ơng ứng là xong. 
Giải 
Ta có: D = x2 - 2.x.2 + 22 = (x-2)2 
E = 52 + 2.5.(2x) + (2x)2 = (5+2x)2 
- Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3 
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a- b)3 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng 
đẳng thức: 
f. F = x3- 3x2 + 3x - 1 
g. G = 8 + 12y + 6y2 + y3 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
5 
H−ớng dẫn 

 T−ơng tự cách làm với đa thức có hai số hạng ta cũng tìm cách đ−a số 
hạng có bậc cao nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc 3 rồi tách các số 
hạng trung gian thành 3a2b và 3ab2 t−ơng ứng với các hằng đẳng thức. 
Giải 
Ta có: F = x3- 3.x2.1 + 3.x.12 - 13 = (x-1)3 
G = 23 + 3.22.y + 3.2.y2 + y3 = (2+y)3 
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp 
dùng hằng đẳng thức: 
a. 9x2 + 30x +25 
b. 0.25x4 - 16y2 
c. 27x3 - a3b3 
d. 9x2y2-18xy + 1 
e. 8x3 + 60x2y +150xy2 + 12y3 
f. x3 - 9x2 + 27x - 27 
3. Ph−ơng pháp nhóm nhiều hạng tử. 
• Chú ý: 
- Các số hạng đem nhóm với nhau cần thoả mXn điều kiện cuối cùng là tạo ra 
nhân tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng đ−ợc hằng đẳng thức với nhóm 
khác. Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải: 
 Hoặc là đặt đ−ợc nhân tử chung: 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp nhóm 
nhiều hạng tử: 
A = 2x - 2y + x2 - xy 
H−ớng dẫn 

 Ta có nhiều cách nhóm khác nhau, chẳng hạn: 
1) A = (2x - 2y) + (x2 - xy) 
2) A = (2x + x2 ) +(- xy- 2y) 
3) A = (2x - xy) + (-2y + x2) 
Hai cách đầu đều cho kết quả là A = (x-y)(2+x) 
Tuy nhiên cách thứ ba sẽ đ−a ta vào bế tắc bởi nhóm 2 không có nhân tử 
chung với nhóm 1. 
Giải 
Ta có: A = (2x - 2y) + (x2 - xy) 
 = 2(x - y) + x(x - y) 
 = (x-y)(2+x) 
 Hoặc là áp dụng đ−ợc hằng đẳng thức: 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp nhóm 
nhiều hạng tử: 
B = x2 - 2xy + y2 -1 
H−ớng dẫn 

 Rõ ràng cách gộp hai hạng tử thành một nhóm là không hiệu quả bởi lẽ 
nó không tạo ra nhân tử chung. Song ta nhận thấy ba hạng tử đầu có vẻ 
quen thuộc, và cách nhóm này đX đem lại kết quả: 
Giải 
Ta có: B = (x2 - 2xy + y2 ) - 1 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
6 
 = (x-y)2 - 12 
 = [(x-y)-1][(x-y)+1] 
 = (x-y-1)(x-y+1) 
 Hoặc chính là nhân tử chung của nhóm khác: 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp nhóm 
nhiều hạng tử: 
C = x3 - 2x2 + x -2 
H−ớng dẫn 

 Hiển nhiên ta có nhiều cách nhóm, trong đó có một cách nhóm là: 
C = (x3 - 2x2 )+ (x - 2) 
Cách nhóm này có vẻ không hợp lý vì nó không dùng đ−ợc hằng đẳng thức 
mà nhóm thứ hai cũng không có nhân tử chung. Tuy nhiên, nếu ta đặt nhân 
tử chung của nhóm một xong, ta sẽ thấy khác: 
Giải 
Ta có: C = x2(x - 2 )+ (x - 2) = (x-2)( x2+1) 
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp 
nhóm nhiều hạng tử: 
a. x2 - y2 - 2yz - z2 
b. x3 - 2x2 - x + 2 
c. 8x2 + 4xy - 2ax - ay 
d. 1 - 2a + 2bc + a2 - b2 - c2 
4. Ph−ơng pháp phối hợp. 
• Chú ý: 
- Thứ tự các ph−ơng pháp −u tiên áp dụng nh− sau: 
 Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung. 
 Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức. 
 Ph−ơng pháp nhóm nhiều hạng tử. 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
A = 8x2 - 4xy - 8x - 2y + 2 
H−ớng dẫn 

 Đầu tiên ta dễ dàng nhận ra các hạng tử có nhân tử chung là 2, từ đó ta 
có: 
A = 2(4x2 + 2xy - 4x - y + 1) 

 Sau khi đặt nhân tử chung ra, ta thấy rằng đa thức bên trong có năm số 
hạng không có nhân tử chung mà cũng không có hằng đẳng thức nào có 
dạng nh− vậy, do vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng tử với nhau, rõ 
ràng việc nhóm hai số hạng với nhau là không đ−ợc vì sẽ d− ra một hạng 
tử, từ đó ta đem tách thành hai nhóm, một nhóm ba số hạng và một 
nhóm hai số hạng, nếu không nhận ra ba số hạng (4x2 - 4x + 1) chính là 
hằng đẳng thức (2x-1)2, ta có thể thử các cách nhóm để đi tới kết quả. 
Giải 
Ta có: A = 2[(4x2 - 4x + 1) +( 2xy - y) 
 = 2[(2x)2 - 2.2x + 12] +( 2xy - y) 
 = 2[(2x-1)2 + y(2x - 1)] 
 = 2(2x-1)[(2x-1)+y] 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
7 
 = 2(2x-1)(2x-1+y) 
• Bài tập áp dụng: 
1. Tính nhanh: 
a. 3,71.66 + 3,71.34 b. 252 - 152 
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a. 4x2 + 8xy-3x-6y 
b. 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2 
c. xy2- x3 - xz2 - 2xy + x - 2x2z 
d. 6x - 4x2 + 3y - 4xy + y2 
3. Tìm x biết: 
a. x3 + 9x = 6x2 b. (x - 5)2 = 16 
4. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các 
biến: 
A = (x+y-z-t)2 - (z+t-x-y)2 
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức sau luôn chia hết cho 4: 
B = (2n + 3)2 - 9 
IV. Kết quả thực hiện đề tài có so sánh đối chứng. 
Sau khi cung cấp cho học sinh một số chú ý khi sử dụng các ph−ơng pháp để 
phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với các bài tập minh hoạ và củng cố trong 
các giờ luyện tập (tiết 14, 15), cuối tiết 15, tôi có ra một đề kiểm tra nh− sau cho 
học sinh hai lớp 8A, 8B: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. A = 4x + 4y + x2 - y2 
2. B = x2 - y2 + 2y - 1 
Kết quả nh− sau:( lớp 8A: 39 bài/ 39 học sinh, lớp 8B: 38 bài/38 học sinh ) 
 Điểm 
Lớp 
0 1-3 4-5 6-7 8-9 10 
8A 0 0 11 11 9 8 
8B 0 0 10 6 10 12 
Kết quả trên cho thấy, việc định h−ớng đối với mỗi bài toán, dạng toán đối với 
học sinh, đặc biệt là các em có lực học trung bình đX đem lại những kết quả nhất 
định. Điều này đX tạo cho tôi sự lạc quan, giúp tôi có thêm niềm tin để tích cực tìm 
tòi trong dạy học. 
V. Bài học kinh nghiệm. 
Qua việc đ−a ra một số chú ý trong giờ luyện tập về phân tích đa thức thành 
nhân tử (tiết 14, 15-đại số 8), với những kết quả nhất định. Tôi cho rằng, đối với 
những dạng toán khó nh− phân tích đa thức thành nhân tử, việc định h−ớng tổng 
quát cho các em khi sử dụng các ph−ơng pháp là một việc làm hết sức cần thiết, nó 
không chỉ giúp học sinh tìm ra con đ−ờng đi đến kết quả cuối cùng của bài toán 
mà còn giúp các em giải quyết bài toán đó một cách nhanh chóng. Do đó, theo tôi, 
khi dạy hai tiết 14, 15 (đại số 8), hoặc tốt nhất là kết hợp ngay vào các bài về 
ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên nên đ−a ra một số chú ý 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
8 
sau, kết hợp với việc lựa chọn bài tập nhằm giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các 
bài toán thuộc dạng này. 
1. Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung. 
• Chú ý: 
- Nhân tử chung của hệ số các hạng tử là UCLN của các hệ số đó. Nếu 
một hạng tử có hệ số là ±1 thì phần hệ số của đa thức đó không có nhân 
tử chung. 
- Nếu các hạng tử đều là đơn thức thì biến chung (có mặt ở tất cả các số 
hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung. 
- Nếu các hạng tử là những biểu thức thì các biểu thức chung (có mặt ở tất 
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung. 
2. Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức. 
• Chú ý: 
- Nếu đa thức có hai hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
- Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
- Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng một trong các hằng đẳng thức: 
3. Ph−ơng pháp nhóm nhiều hạng tử. 
• Chú ý: 
- Các số hạng đem nhóm với nhau cần thoả mXn điều kiện cuối là tạo ra nhân 
tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng đ−ợc hằng đẳng thức với nhóm khác. 
Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải: 
 Hoặc là đặt đ−ợc nhân tử chung: 
 Hoặc là áp dụng đ−ợc hằng đẳng thức: 
 Hoặc chính là nhân tử chung của nhóm khác: 
4. Ph−ơng pháp phối hợp. 
• Chú ý: 
- Thứ tự phối hợp các ph−ơng pháp −u tiên áp dụng nh− sau: 
 Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung. 
 Ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức. 
 Ph−ơng pháp nhóm nhiều hạng tử. 
VI. Phạm vi áp dụng. 
Là ng−ời thầy, việc chỉ ra con đ−ờng đúng đắn và chính xác giúp học sinh giải 
quyết các bài tập là một công việc cần thiết nh−ng không phải dễ dàng, đặc biệt là 
đối với môn toán, môn học mà hệ thống các bài tập vô cùng phong phú, việc làm 
đó càng trở nên khó khăn. Với những suy nghĩ còn rất hạn chế trên đây, tôi mong 
có thể phần nào giúp các em học sinh tháo gỡ những trở ngại khi giải quyết các bài 
toán về phân tích đa thức thành nhân tử trong ch−ơng trình “ phổ thông”, tôi cũng 
hy vọng nó có thể là tài liệu tham khảo để các bạn đồng nghiệp có thể dạy tốt hơn 
các bài về ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong ch−ơng trình đại số 
8, với đối t−ợng chủ yếu là những học sinh mà khả năng nhận thức và t− duy ở mức 
trung bình. 
VII. Kiến nghị. 
Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8 
9 
Tôi cho rằng, phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài cơ bản và rất 
quan trọng trong ch−ơng trình đại số phổ thông, vì vậy làm thế nào để học sinh có 
thể làm đúng, làm thành thạo các bài toán thuộc dạng này là trăn trở không chỉ của 
riêng tôi mà còn là câu hỏi lớn của rất nhiều thầy cô. Do vậy tôi mong muốn, các 
cơ quan chuyên môn có thể phát động một cuộc thi nhằm huy động trí tuệ của 
đông đảo các nhà giáo tâm huyết về lĩnh vực này. 
Do trình độ của bản thân còn nhiều yếu kém, nên những ý kiến của tôi đ−a ra 
trên đây không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận đ−ợc ý 
kiến góp ý chân tình của Hội đồng khoa học và các bạn đồng nghiệp, giúp tôi có 
thêm những kiến thức quý báu, phục vụ ngày một tốt hơn sự nghiệp giáo dục đào 
tạo của địa ph−ơng. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
Tài liệu tham khảo: 
1. Sách giáo khoa Đại số 8. 
2. Để học tốt Đại số 8 ( Hoàng Chúng - chủ biên). 
3. Ph−ơng pháp giải toán cấp II. 
Quốc Oai, ngày 13 tháng 04 năm 2004 
 Hà Danh H−ng.