Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Lớp 8

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
1 
Phần I: giới thiệu đề tài: 
 A.Lý do chọn đề tài: 
 “Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh− bơi lội,tr−ợt tuyết,hay 
chơi đàn ”Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy 
rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu 
quả,nếu nh− biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập t−ơng 
tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng 
minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh th−ờng học toán không chú ý đến 
ph−ơng pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng ph−ơng pháp t−ơng tự 
gặp nhiều lúng túng. 
Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho 
bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất l−ợng –tôi đQ tiến hành học 
tập tích luỹ soạn ra đề tài này”.” 
B.nhiệm vụ: 
 +Cơ sở lý luận của đề tài: 
 việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không? 
 +Vận dụng lý luận vào thực tiễn: 
 khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
C.Ph−ơng pháp nghiên cứu: 
 +ph−ơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết 
 +ph−ơng pháp tổng kết kinh nghiệm 
 +ph−ơng pháp thực nghiệm s− phạm 
D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu: 
 -Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy 
học sinh lớp 6,7,8 
 -Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi d−ỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu 
tự học cho các em giúp các em tìm cho mình ph−ơng pháp học tập tích cực. 
Phần 2: nội dung 
A.Cơ sở lý luận của đề tài: 
Giải bài tập toán là quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái 
đQ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nh−ng các quy tắc suy luận,cũng 
nh− các ph−ơng pháp chứng minh ch−a đ−ợc dạy t−ờng minh.Do đó,học sinh 
th−ờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS 
khá giỏi th−ờng đúc kết những tri thức,ph−ơng pháp cần thiết cho mình bằng con 
đ−ờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ 
năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều 
bài tập là có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu nh− biết 
khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập t−ơng tự,nhằm vận dụng 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
2 
một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng minh nàođó. 
Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan 
trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp 
giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải 
đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải 
bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái 
quát đ−ợc h−ớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể 
dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác 
nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực 
dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai 
thác h−ớng suy nghĩ và cách giải. 
B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn: 
 xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 –tập 1: 
 a.Chứng minh: 
)1(
1
1
11
+
=
+
−
xxxx
 (1) 
 b.Đố: Đố em tính nhẩm đ−ợc tổng sau: 
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
-H−ớng dẫn:a.Biến đổi vế trái thành vế phải : 
)1(
1
)1(
1
1
11
+
=
+
−+
=
+
−
xxxx
xx
xx
b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1 
chính là tử thì có 
)1(
1
1
11
+
=
+
−
xxxx
.T−ơng tự với đặc điểm nh− VP ở câu a;ta có: 
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
+
5
1
+x
=
xxxxxxxxxxxx
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
11
=
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
− 
-Cách phát biểu khác của bài toán: 
 a.Viết phân thức 
)1(
1
+xx
 thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1 
 b.Vận dụng kết quả câu a,hQy rút gọn biểu thức sau: 
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxxxx
+
5
1
+x
I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán 
rút gọn;toán chứng minh đẳng thức: 
 Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau: 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
3 
Bài1:Tính: 
 a.
100.99
1
.....
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2
1
++++++ 
H−ớng dẫn: 
100.99
1
.....
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2
1
++++++ =
100
99
100
1
1
100
1
99
1
...
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
=−=−++−+−+−+ 
 + Từ đó có bài toán tổng quát :b.Tính tổng
)1(
1
......
4.3
1
3.2
1
2
1
+
++++
nn
 với n 1≥ 
H−ớng dẫn:t−ơng tự câu a;ta có kết quả là:1-
11
1
+
=
+ n
n
n
*)Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán 
khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích 
2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2 
hay 3 hay 4thì giải bài toán nh− thế nào?chẳng hạn: 
Bài2:Tính tổng: 
a.
2007.2005
1
....
7.5
1
5.3
1
3.1
1
++++ b.
1 1 1 1
....
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
+ + + +
+ +
với n 0≥ 
H−ớng dẫn:a.Viết mỗi hạng tử trong tổng d−ới dạng hiệu 2phân thức: 
)
2007
1
2005
1
(
2
1
2007.2005
1
);......
7
1
5
1
(
2
1
7.5
1
);
5
1
3
1
(
2
1
5.3
1
);
3
1
1
1
(
2
1
3.1
1
−=−=−=−= .Vậy 
2007.2005
1
....
7.5
1
5.3
1
3.1
1
++++ =
2007
1003
)
2007
1
1(
2
1
)
2007
1
2005
1
....
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
1
(
2
1
=−=−++−+−+− 
 b.Ph−ơng pháp làm t−ơng tự nh− câu a. 
Xét hạng tử tổng quát:
1 1 1 1
( )
(3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5
= −
+ + + +
 nên ta có: 
1 1 1 1
....
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
+ + + +
+ +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1
( ... ) ( )
3 2 5 5 8 8 11 3n 2 3n 5 3 2 3n 5 3n 5
+
− + − + − + + − = − =
+ + + +
+T−ơng tự nh− vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với 
cùng ph−ơng pháp. 
*)Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát 
hơn:tử là một số(biểu thức) bất kỳ,mẫu là tích của 2 số(biểu thức) cách đều nhau 
thì giải quyết bài toán nh− thế nào?chẳng hạn: 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
4 
Bài3:Tính tổng: 
a.
100.98
5
....
10.8
5
8.6
5
6.4
5
4.2
5
+++++ 
b.
+
+ + +
1 2 2 3 3 4 k k 1
n n n n
......
a a a a a a a a
với 
+
− = − = − = = −2 1 3 2 4 3 k 1 ka a a a a a ...... a a =b 
H−ớng dẫn:a.Ph−ơng pháp làm:viết các hạng tử trong tổng d−ới dạng hiệu(t−ơng 
tự bài 2) )
100
1
98
1
(
2
5
100.98
5
);....;
8
1
6
1
(
2
5
8.6
5
);
6
1
4
1
(
2
5
6.4
5
);
4
1
2
1
(
2
5
4.2
5
−=−=−=−= do đó: 
100.98
5
....
10.8
5
8.6
5
6.4
5
4.2
5
+++++ = )
100
1
98
1
....
8
1
6
1
6
1
4
1
4
1
2
1
(
2
5
−++−+−+− = 
 =
20
49
)
100
1
2
1
(
2
5
=− 
b.Ph−ơng pháp làm t−ơng tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các 
bài toán trên.Vậy ta xét các tr−ờng hợp sau: 
+Tr−ờng hợp 1:Nếu 
+
− = − = − = = −2 1 3 2 4 3 k 1 ka a a a a a ...... a a =n 
Bài toán này giải đ−ợc dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó: 
 = −
1 2 1 2
n 1 1
a a a a
 . 
+ +
= −
k k 1 k k 1
n 1 1
a a a a
Cộng từng vế ta có: 
1 2 2 3 3 4 k k 1
n n n n
......
a .a a .a a .a a .a
+
+ + + =
k k 1
1 1
a a
+
− 
+Tr−ờng hợp 2:Nếu 
+
− = − = − = = −2 1 3 2 4 3 k 1 ka a a a a a ...... a a = b n≠ 
Ta có 
1 2 2 3 3 4 k k 1
n n n n
......
a .a a .a a .a a .a
+
+ + + =
n
(
b 1 2 2 3 3 4 k k 1
b b b b
.... )
a .a a .a a .a a .a
+
+ + + + 
Bài toán này thực chất đQ đ−a về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là 
k k 1
n 1 1
( )
b a a
+
− 
-Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài 
toán khó hơn : 
Bài4:Tính tổng :A=
1 1 1 1
....
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1).n.(n 1)
+ + + +
− +
 với n 1≥ ,n N∈ 
B=
1 1 1 1
....
1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n 1)(2n 3)
+ + + +
− + +
 với n 2; ≥∈ nN 
H−ớng dẫn: Ph−ơng pháp giải t−ơng tự nh− các bài trên:viết các hạng tử d−ới 
dạng hiệu. 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
5 
Nhận xét: 
2 1 1
(n 1)n(n 1) (n 1).n n.(n 1)
= −
− + − +
 Do đó ta có: 
 A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ... ) ( )
2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1).n n.(n 1) 2 2 n.(n 1)
− + − + + − = −
− + +
Nhận xét: 
4 1 1
(2n 1)(2n 1)(2n 3) (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)
= −
− + + − + + +
 Do đó ta có: 
B =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ... )
4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3)
− + − + − + + −
− + + +
 =
1 1 1
( )
4 3 (2n 1)(2n 3)
−
+ +
*)Nhận xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:
1 1 b a
a b a.b
−
− = với a 0;0 ≠≠ b thì 
việc áp dụng ng−ợc công thức trên trong thực tế đ−ợc sử dụng rất nhiều. Chẳng 
hạn với bài toán sau: 
Bài 5: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh: 
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
H−ớng dẫn:Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để 
chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các 
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số: 
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng 
ng−ợc công thức 
b a 1 1
a.b a b
−
= − tức 
b c 1 1
.
(a b)(a c) a b a c
−
= −
− − − −
 Do đó: 
b c c a a b 1 1 1 1 1 1
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b a c b c b a c a c b
− − −
+ + = − + − + −
− − − − − − − − − − − −
=
1 1 1 1 1 1 2 2 2
a b c a b c a b c a b c a b b c c a
+ + + + + = + +
− − − − − − − − −
 (ĐPCM) 
*)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)= 2x x+ ; (x+1)(x+2)= 2x 3x 2+ + ;.ta sẽ có 
các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử: 
Bài6:Rút gọn các biêủ thức sau: 
 a. M=
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20
+ + + +
+ + + + + + + + +
 b. N=
2 2 2 2
1 1 1 1
x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30
+ + +
− + − + − + − +
H−ớng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử 
Ta có: 2x +x = x(x+1); 2 2x 3x 2 x x 2x 2+ + = + + + = (x+1)(x+2); 
2 2x 5x 6 x 2x 3x 6+ + = + + + = (x+2)(x+3); 2 2x 7x 12 x 3x 4x 12+ + = + + + =(x+3)(x+4);
2 2x 9x 20 x 4x 5x 20+ + = + + + =(x+4)(x+5) Do đó: 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
6 
M=
1 1 1 1 1
(x 1)x (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5)
+ + + +
+ + + + + + + + +
 =
1 1 ... (2n) 4 1 2 3 n
+ + + + + = + + + + nên 
A<
1 1 1 1 1
(1 ...
4 1.2 2.3 3.4 (n 1).n
+ + + + +
−
) hay 
A<
1 1 1 1 1 1 1 1
(1 1 ... )
4 2 2 3 3 4 n 1 n
+ − + − + − + + −
−
 hay 
A<
1 1
(1 1 )
4 n
+ − hay A <
1 1
2 4n
− hay A<
2
1
 (ĐPCM) 
b.Nhận xét: 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
(2n 1) (2n 1) 1 (2n 1) 2n.(2n 2) (2n 1) 2 2n 2n 2
< ⇔ < ⇔ < −
+ + − + + + +
nên ta có: 
B < 2 2 2 2
1 1 1 1
...
3 1 5 1 7 1 (2n 1) 1
+ + + +
− − − + −
 hay 
B < 
1 1 1 1
...
4.2 4.6 6.8 2n(2n 2)
+ + + +
+
 hay 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
8 
B < 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ... )
2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2
− + − + − + + −
+
 hay 
B < 
1 1 1 1 1 1
( ) B B
2 2 2n 2 4 4(n 1) 4
− ⇒ < − ⇒ <
+ +
 (ĐPCM) 
Bài10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì: 
A= 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.... 2
1 2 3 n n
+ + + + < − 
H−ớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng ph−ơng pháp làm trội,t−ơng tự nh− bài 9. 
-Nhận xét: Với k=2;3;4;;n ta có: 2 2
1 1 1 1 1
hay
k (k 1).k k k 1 k
< < −
− −
 (2) 
Lần l−ợt cho k=2;3;4;;n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta đ−ợc: 
A= 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...
1 2 3 4 n 1 2 2 3 n 1 n
+ + + + + < + − + − + + −
−
 hay 
A<2-
n
1
 (ĐPCM) 
-Từ bài 10 ta có thể ra bài tập sau: 
Bài11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2≥ thì: 
 B = 2 2 2 2
1 1 1 1
.... 1
2 3 4 n
+ + + + < 
H−ớng dẫn: áp dụng kết quả bài 10 ta có A<2-
1
n
 mà B = A-1 hay A = B+1 khi 
đó: B+1 < 2-
1
n
 hay B < 1-
1
n
 hay B < 1 (ĐPCM) 
Bài12: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n 2≥ thì: 
 C = 2 2 2 2
1 1 1 1 2
.....
2 3 4 n 3
+ + + + < 
H−ớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng ph−ơng pháp làm trội.Vậy vận dụng nó 
nh− thế nào?có giống với bài 11 không?(với bài 11 thì ch−a đánh giá đ−ợc 
C<
3
2
).HQy xem nhận xét sau: 
2 2 2 2
1 4 4 1 1 1
2( )
n 4n 4n 1 n 2n 1 2n 1
= < ⇔ < −
− − +
 Do đó: 
C < 2(
1 1 1 1 1 1
... )
3 5 5 7 2n 1 2n 1
− + − + + −
− +
 hay 
C < 
1 1
2(
3 2n 1)
−
+
) hay 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
9 
C < 
3
2
 (ĐPCM) 
Bài13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2≥ ta có: 
 D= 3 3 3 3
1 1 1 1 1
.....
2 3 4 n 4
+ + + + < 
H−ớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng ph−ơng pháp làm trội.Vậy sử dụng nh− 
thế nào?HQy xem nhận xét sau: 
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
hay hay ( )
k k k k (k 1)k(k 1) k 2 (k 1)k k(k 1)
< < < −
− − + − +
 Do đó ta có: 
D< 3 3 3
1 1 1
....
2 2 3 3 n n
+ + +
− − −
hayD<
1 1 1 1 1 1 1
( ... )
2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n.(n 1)
− + − + + −
− +
hay 
D<
1 1 1
( )
2 2 n(n 1)
−
+
 hay D < 
4
1
 (ĐPCM) 
Bài14: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 3≥ ta có: 
 E= 3 3 3 3
1 1 1 1 1
....
3 4 5 n 12
+ + + + < 
H−ớng dẫn:Ta có: 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
hay hay ( )
n n n n (n 1)n(n 1) n 2 (n 1)n n(n 1)
< < < −
− − + − +
Do đó : 
 E < 
1 1 1 1 1 1 1
( ... )
2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)n n(n 1)
− + − + + −
− +
 hay 
 E < 
1 1 1
( )
2 2.3 n(n 1)
−
+
 hay E < 
12
1
 (ĐPCM) 
Bài15:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n 2≥ ta có: 
 H=
1 2 3 n 1
... 1
2! 3! 4! n!
−
+ + + + < 
H−ớng dẫn:Ta có: 
n 1 1 1
n! (n 1)! n!
−
= −
−
 Do đó: 
H=1-
1 1 1 1 1
...
2! 2! 3! (n 1)! n!
+ − + + −
−
 hay H=1-
1
n!
 hay H<1 (ĐPCM) 
Bài16:Chứng minh rằng với mọi số nguyên d−ơng n ta có: 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
10 
 K=
1 5 11
2! 3! 4!
+ + +.+
2n n 1
n!
+ −
<2 
H−ớng dẫn:Ta có: 
2n n 1 n(n 1) 1 1 1
(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)!
+ − +
= − = −
+ + + − +
Do đó K=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ... ( )
2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! (n 1)! (n 1)!
+ − + − + − + + −
− +
 hay 
K=
1 1 1 1 1 1 1
( ... ) ( ... )
2! 1! 2! 3! (n 1)! 3! (n 1)!
+ + + + + − + +
+ +
 hay 
K=
1 1 1 1 1
2! 1! 2! n! (n 1)!
+ + − −
+
 hay K = 2-
1 1
n! (n 1)!
−
+
 Vậy K < 2 (ĐPCM) 
Bài17: Chứng minh rằng với mọi số nguyên d−ơng n ta có: 
 M= 2 2
3 5 7 2n 1
.... 1
4 36 144 n .(n 1)
+
+ + + + <
+
H−ớng dẫn:Ta có: 2 2 2 2
2n 1 1 1
n .(n 1) n (n 1)
+
= −
+ +
 Do đó: 
M= 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 2 3 n (n 1) (n 1)
− + − + + − = −
+ +
<1 (ĐPCM) 
Bài18:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 
 N= 2 2
1 1 1 1 9
....
5 13 25 n (n 1) 20
+ + + + <
+ +
H−ớng dẫn:Ta có: 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
. ( )
k (k 1) 2k 2k 1 2 k(k 1) 2 k k 1
= < = −
+ + + + + +
Với k=2: )
3
1
2
1
(
2
1
13
1
−< 
 k=3: )
4
1
3
1
(
2
1
25
1
−< 
 . 
 k = n: 2 2
1 1 1 1
( )
n (n 1) 2 n n 1
< −
+ + +
Do đó N<
1 1 1 1 1 1 1 1
( ... )
5 2 2 3 3 4 n n 1
+ − + − + + −
+
 hay N<
1 1 1 1
( )
5 2 2 n 1
+ −
+
 hay 
N<
1 1 9
hayN
5 4 20
+ < (ĐPCM) 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
11 
III.khai thác các ứng dụng bài 28 trong giải ph−ơng 
trình,bất ph−ơng trình: 
Bài19:Giải ph−ơng trình: 
a.(
1 1 1 1 1 1
..... ).x ... .
1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110
+ + + = + + + 
b.(
1 1 1 1 148 98
... ).(x 2) x x
1.3 3.5 5.7 97.99 99 99
+ + + + − + = − 
c.
1 1 1 1 2007
...
x(x 1)3 6 10 2009
2
+ + + + =
+
H−ớng dẫn:a.Xét 
110.10
1
...
102.2
1
101.1
1
+++ = )
110
1
10
1
...
102
1
2
1
101
1
1(
100
1
−++−+− 
= )
110
1
...
102
1
101
1
(
100
1
)
10
1
...
3
1
2
1
1(
100
1
+++−++++ 
 Xét )
110
1
100
1
...
12
1
2
1
11
1
1
1
(
10
1
110.100
1
...
12.2
1
11
1
−++−+−=+++ 
= )
110
1
...
100
1
...
12
1
11
1
100
1
...
3
1
2
1
1(
10
1
−−−−−−++++ 
= )
110
1
...
102
1
101
1
10
1
...
2
1
1(
10
1
−−−−+++ Do đó ta có: 
 x= 10
100
1
:
10
1
= 
b.Xét )
99
1
97
1
...
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1(
2
1
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
−++−+−+−=++++ 
 =
99
49
)
99
1
1(
2
1
=− Khi đó ta có: 
99
98
99
148
)2(
99
49
−=+− xxx hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay 
 49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈R 
c. 
2009
2007
2
)1(
1
...
10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
 hay 
2 2 2 2 2007
...
2.3 3.4 4.5 x(x 1) 2009
+ + + + =
+
⇔ 2(
1 1 1 1 1 1 1 1 2007
... )
2 3 3 4 4 5 x x 1 2009
− + − + − + + − =
+
⇔ 2(
1 1 2007
)
2 x 1 2009
− =
+
⇔ 1-
2 2007
x 1 2009
=
+
⇔
2009
2
1
2
=
+x
⇔ x=2008(thoả mQn 
x o ; x 1≠ ≠ − ) 
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
12 
Bài21:Giải ph−ơng trình: 
a.(
10
9
10
1
)1)(
10.9
1
....
4.3
1
3.2
1
2.1
1
−=+−++++ xxx 
b.(
60.50
1
...
13.3
1
12.2
1
11.1
1
()
60.10
1
....
53.3
1
52.2
1
51.1
1
++++=++++ x ) 
H−ớng dẫn:a. (
10
9
10
1
)1)(
10.9
1
....
4.3
1
3.2
1
2.1
1
−=+−++++ xxx 
 ⇔ ( )
10
1
9
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1 −++−+−+− (x-1)+
10
9
10
1
−= xx 
 ⇔
10
9
10
1
)1(
10
9
−=+− xxx ⇔ 0x=0 ⇔ x ∈R 
b. .(
60.50
1
...
13.3
1
12.2
1
11.1
1
()
60.10
1
....
53.3
1
52.2
1
51.1
1
++++=++++ x ) 
 ⇔ )
60
1
50
1
...
12
1
2
1
11
1
1
1
(
10
1
)
60
1
10
1
...
53
1
3
1
52
1
2
1
51
1
1(
50
1
−++−+−=−++−+−+− x 
 ⇔ )
60
1
...
12
1
11
1
50
1
...
2
1
1(
10
1
)
60
1
...
52
1
51
1
10
1
...
3
1
2
1
1(
50
1
−−−−+++=−−−−++++ x 
⇔ )
60
1
...
52
1
51
1
10
1
...
2
1
1(
10
1
)
60
1
...
52
1
51
1
10
1
...
2
1
1(
50
1
−−−−+++=−−−−+++ x 
⇔ x = 5
50
1
:
10
1
= 
Bài22:Giải các ph−ơng trình sau: 
a. 2 2
1 1 1
x 4x 3 x 8x 15 6
+ =
+ + + +
b. 2 2 2
1 2 3 6
x 5x 6 x 8x 15 x 13x 40 5
−
+ + =
− + − + − +
c. 2 2
1 1 1
x 9x 20 x 13x 42 18
+ =
+ + + +
d. 2 2 2 2
1 1 1 1 1
....
x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 15x 56 14
+ + + + =
+ + + + + + + +
H−ớng dẫn: 
a.Nhận xét: 2x +4x+3=(x+1)(x+3) 
 2x +8x+15=(x+3)(x+5) 
 ĐKXĐ:x 1;x 3;x 5≠ − ≠ − ≠ − 
PT đQ cho đ−ợc viết: 
1 1 1
(x 1)(x 3) (x 3)(x 5) 6
+ =
+ + + +
 ⇔
1 1 1 1 1 1
( )
2 x 1 x 3 x 3 x 5 6
− + − =
+ + + +
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
13 
 ⇔
1 1 1 1
( )
2 x 1 x 5 6
− =
+ +
 3(x 5 x 1) (x 1)(x 5)⇒ + − − = + + 
 ⇔
2 2(x 3) 4+ = 
 ⇔ x+3=4 hoặc x+3=-4 
 ⇔ x=1 hoặc x=-7 (thoả mQn ĐKXĐ) 
*)Các câu b;c;d ph−ơng pháp làm hoàn toàn t−ơng tự câu a. 
Bài 23:Giải bất ph−ơng trình: 
 (
1 1 1
... )
1.51 2.52 10.60
+ + + x < 
1 1 1 1
...
11 2.12 3.13 50.60
+ + + + 
H−ớng dẫn:Cách làm t−ơng tự bài 21b);chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay cho 
dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn d−ơng : 
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 3 10 51 52 60
+ + + + − − − − nên ta có kết quả là x < 5 
Phần 3:kết luận: 
 Ph−ơng pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm 
vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học 
tập môn toán.Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác 
nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán 
theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai 
thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán cùng loại. 
 Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đ−a ra trong đề tài này giúp các em học 
sinh sẽ biết cách làm chủ đ−ợc kiến thức của mình,thêm yêu mến môn toán,tự tin 
trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này. 
 Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều 
khiếm khuyết,hi vọng đ−ợc các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài 
đ−ợc hoàn chỉnh hơn. 
*)Sau đây là một số bài tập đề nghị: 
Bài 1:Tính các tổng sau: 
a.
1 1 1 1
...
1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1)
+ + + +
− +
b.
1 1 1
...
4.5 5.6 (n 3)(n 4)
+ + +
+ +
c.
7 7 7 1
...
1.8 8.15 (7n 6)(7n 1) 7n 1
+ + + +
− + +
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 
Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 
14 
d.
1 1 1 1
...
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
+ + + +
+ +
Bài 2:Rút gọn các biểu thức sau: 
a.
2 2 2 2
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) x 4
+ + +
+ + + + + + +
b.
1 1 1 1 1
...
A 1.(2n 1) 3.(2n 3) 5(2n 5) (2n 3).3 (2n 1).1
1 1 1B 1 ...
3 5 2n 1
+ + + + +
− − − − −
=
+ + + +
−
Bài 3:Giải ph−ơng trình: 
a.(
1 1 1 1 149 99
... )(2x ) x .x
1.2 2.3 99.100 2 50 200
+ + + − + = − 
b. 2 2 2
1 1 1 1
x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 6
+ + =
+ + + + + +
Bài 4:Chứng minh rằng với n là số nguyên d−ơng bất kỳ thì: 
 A= 2 2 2 2
1 1 1 1
....
1 2 3 n
+ + + + <1,65 
 Ngày 21 tháng 5 năm 2008 
 Ng−ời thực hiện: 
 Lê thị hiền 
 Giáo viên:Tr−ờng THCS Thị Trấn.