Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi THCS - Nguyễn Tuấn Thắng

Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
1 
19/05/08 
Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Tr−ờng THCS Phú Cát Độc lập - tự do - hạnh phúc 
đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
I. Sơ yếu lý lịch. 
II. Nội dung đề tài. 
A. Đặt vấn đề: 
1. Tên đề tài: “ khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung 
học cơ sở ”. 
2. Lý do chọn đề tài. 
- Công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu đ đ−ợc Đảng và 
Nhà n−ớc, ngành giáo dục đào tạo quan tâm. 
- Trong các kỳ đại hội Đảng đ nêu rõ và nhấn mạnh " Phát triển giáo dục 
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi d−ỡng nhân tài ". Để thực 
hiện tốt mục tiêu đó, ngành GD-ĐT đ thực hiện " Đổi mới ph−ơng pháp 
dạy và học ở tất cả các cấp học và bậc học. áp dụng những ph−ơng pháp 
giáo dục hiện đại để bồi d−ỡng năng lực t− duy sáng tạo, năng lực giải 
quyết vấn đề, chú ý bồi d−ỡng học sinh có năng khiếu ". 
- Sự phát triển mạnh mẽ của toán học hiện nay trên thế giới đang đặt ra 
cho những ng−ời làm công tác dạy toán nói chung và bồi d−ỡng học sinh 
giỏi nói riêng một yêu cầu cấp bách: phải đổi mới mạnh mẽ ph−ơng 
pháp dạy học, với học sinh giỏi phải đổi mới mạnh mẽ ph−ơng pháp học 
tập. 
- D−ới góc độ chuyên môn dạy chữ thuần tuý, dạy học là quá trình truyền 
tải tri thức của nhân loại, của ng−ời dạy đến ng−ời học. Quá trình học 
tập thực chất là quá trình tiếp thu và biến kiến thức của nhân loại thành 
vốn kiến thức của riêng mình. Đ nhiều năm chúng ta trao đổi bàn bạc, 
thể nghiệm ph−ơng pháp dạy học " nêu vấn đề " và hiện nay đang sôi 
nổi với ph−ơng pháp " lấy học sinh làm trung tâm ", dù là ph−ơng pháp 
nào thì yêu cầu phát huy cao vai trò chủ đạo của thầy và vai trò tích cực 
chủ động của trò là yêu cầu số một với học sinh giỏi. Học sinh năng 
khiếu còn đòi hỏi trí thông minh sáng tạo và cao hơn là tìm tòi phát 
hiện, tiếp cận với nghiên cứu khoa học. 
- Để học toán tốt, điều quan trọng nhất đối với yêu cầu của ng−ời học là 
phải biết rèn nếp suy nghĩ qua từng khái niệm, từng định lý, qua việc 
giải từng bài tập. Với mỗi bài tập, đều phải có suy nghĩ tìm tòi. Để dạy 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
2 
19/05/08 
toán tốt, ngoài vốn tri thức toán học sâu sắc, chính xác, điều quan trọng 
nhất đối với ng−ời thầy là phải luôn biết rèn t− duy, nếp suy nghĩ, luôn 
biết tìm tòi, khai thác, phát triển các bài tập, các dạng bài tập và những 
h−ớng dẫn đối với học sinh để ng−ời học phát huy cao vai trò chủ động 
của mình trong quá trình học tập nghiên cứu toán học. Nh− vậy, ng−ời 
dạy từ " biết m−ời dạy một " để học sinh " học một biết m−ời "và cũng 
nh− thế đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục, theo kịp sự phát 
triển mạnh mẽ cuả toán học hiện nay.Trên thế giới:từ một bài toán cụ 
thể mà ta phát triền thành nhiều những dạng toán khác. Đó là nội dung 
mà tôi muốn trình bày trong bản sáng kiến kinh nghiệm này từ thực tiễn 
của bản thân trực tiếp tham gia làm công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi. 
3. Phạm vi và đối t−ợng. 
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi trình bày nội dung thông qua bài toán 
quen thuộc mà hầu hết sách đại số nào cũng viết, hầu nh− ng−ời bồi d−ỡng 
học sinh giỏi nào cũng dạy để từ đó hình thành nên những bài toán, dạng 
toán khác. 
Đối t−ợng của đề tài này phù hợp với yêu cầu các học sinh khá và giỏi. 
B. Giải quyết vấn đề. 
Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
a3 +b3+c3 -3abc 
Đây là bài toán quen thuộc và hầu nh− đồng chí nào day bồi d−ỡng học 
sinh giỏi đều phải sử dụng. 
Tuy nhiên biết cách khai thác, phát triển ta sẽ đ−ợc hàng loạt bài toán lý 
thú và có hiệu quả cao trong công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi. 
1. Tr−ớc hết, ta tìm tòi các cách giải khác nhau của bài toán. ở bài toán này 
cách giải thông th−ờng: 
Cách 1: 
a3 +b3+c3 -3abc = a3 +b3+ 3ab(a+b) - 3ab(a+b) + c3 -3abc 
= (a+b)3 + c3 - 3ab(a+b+c) 
= (a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab] 
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ac+c2-3ab) 
= (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) 
Sau khi cho học sinh chứng minh: 
(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc 
Cách 2: 
a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c)3-3(a+b+c)(ab+bc+ca) 
= (a+b+c)[((a+b+c)2-3(ab+bc+ca)] 
= (a+b+c)( a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc -3ac) 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
3 
19/05/08 
= (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) 
2. Các bài toán t−ơng tự: 
Bài toán 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a3 +b3-c3 +3abc 
Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a3 -b3+c3 +3abc 
3. Khai thác bài toán 
Từ kết quả việc phân tích thành nhân tử ở bài toán cơ bản 
bài toán 3: Chứng minh rằng 
a3 +b3+c3 -3abc= (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) 
Bài toán 4: Cho a+b+c = 0. Chứng minh rằng: a3 +b3+c3 = 3abc 
Ngoài cách giải bằng cách xét rồi phân tích 
a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) = 0 
( do a+b+c = 0) 
Ta còn cách giải khác cho bài toán này là: 
Từ a+b+c = 0 ⇒ a+b = - c 
⇒ (a+b)3 = - c3 
⇒ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = - c3 
⇒ a3 +b3+c3 = - 3ab(a+b) 
⇒ a3 +b3+c3 = - 3ab(-c) 
⇒ a3 +b3+c3 = 3abc 
Thay giả thiết bằng kết luận của bài toán 4 ta đ−ợc bài toán 5: 
Bài toán 5: 
Cho a3 +b3+c3 = 3abc. Chứng minh rằng a+b+c = 0 hoặc a = b = c 
Rõ ràng từ a3 +b3+c3 = 3abc ⇒ a3 +b3+c3 -3abc = 0 
Phân tích vế trái thành nhân tử, ta đ−ợc kết quả sau: 
a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) = 0 
⇒ a+b+c = 0 
hoặc a2+b2 +c2-ab-bc -ac = 0 
• a2+b2 +c2-ab-bc -ac = 0 
⇒ 2a2+2b2 +2c2-2ab-2bc -2ac = 0 
⇒ (a2-2ab+b2 )+(b2-2bc+c2)+(a2 -2ac+c2) = 0 
⇒ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 0 
⇒ a =b =c 
Tiếp tục biến đổi giả thiết ở bài toán 5 ta có: 
Bài toán 6: Cho a3 +b3+c3 > 3abc. Chứng minh rằng a+b+c > 0 
Từ a3 +b3+c3 > 3abc 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
4 
19/05/08 
⇒ a3 +b3+c3 - 3abc > 0 
⇒ (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) > 0 
⇒ (a+b+c) [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] > 0 
⇒ (a+b+c) > 0 
( do (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 > 0) 
Tiếp tục khai thác bài toán cơ bản, ta có hàng loạt các bài toán khác 
mà cách giải có thể tìm thấy dễ dàng: 
Bài toán 7: 
Rút gọn biểu thức sau: 
Bài toán 8: 
Rút gọn biểu thức sau: 
Bài toán 9: 
Rút gọn biểu thức sau: 
Bài toán 10: 
Cho a+b+c = 2004. Tính 
4. Mở rộng bài toán 
Từ bài toán cơ bản kết hợp với bài toán 4 để ý rằng nếu thay 
 a = x-y ; b = y-z ; c = z-x 
Chúng ta sẽ chứng minh đ−ợc a+b+c = 0. Nên chúng ta sẽ có đ−ợc 
các dạng toán khác rộng hơn, sâu hơn 
Bài toán 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 
Đặt a = x-y ; b = y-z ; c = z-x, ta có a+b+c = 0. 
Theo bài toán 4, nếu a+b+c = 0 thì a3 +b3+c3 = 3abc 
Hay (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) 
Bài toán 12: Cho biểu thức 
)(3 222
333
cabcabcba
cba
abccba
−−−++=
++
−++
)(3222
333
cba
cabcabcba
abccba
++=
−−−++
−++
))(
2
1()()()(
3
222
333
cba
cacbba
abccba
++=
−+−+−
−++
)
3
1()(6012
3
222
333
=
−−−++
−++
=
cabcabcba
abccbaA
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
5 
19/05/08 
( với x≠y; y≠z; z≠x) 
Chứng minh rằng A không phụ thuộc vào x ; y ; z. 
Theo bài toán 11, ta có 
Bài toán 13: Rút gọn biểu thức 
( với x≠y; y≠z; z≠x) 
Từ kết quả của bài 11, ta có 
Theo bài toán 5 ta có thể mở rộng bài toán sau, bài toán 14 
Bài toán 14: 
Cho abc ≠ 0; a3 +b3+c3 = 3abc. Tính giá trị biểu thức 
Theo bài toán 5, ta có nếu a3 +b3+c3 = 3abc thì a+b+c = 0 hoặc a=b=c 
• Nếu a+b+c = 0 thì a+b = - c ; b+c = - a ; c+a = - b. Do đó 
• Nếu a=b=c thì 
Nếu xét a,b,c d−ới dạng nghịch đảo ta có bài toán: 
Bài toán 15: Cho 
Tính giá trị của biểu thức sau: 
x)-z)(z-y)(y-(x
 x)-(zz)-(yy)-(x 333 ++
=A
3
x)-z)(z-y)(y-(x
 x)-z)(z-y)(y-3(x
==A
 x)-(zz)-(yy)-(x
 )x-(z)z-(y)y-(x
333
322322322
++
++
=B
))()((
 x)-z)(z-y)(y-3(x
 )x-)(zz-)(yy-3(x 222222
xzzyyxB +++==
)1)(1)(1(
a
c
c
b
b
aP +++=
1)).().(())()(( −=−=−−−=+++=
abc
abc
a
b
c
a
b
c
a
ca
c
cb
b
baP
82.2.2 ==P
0;0111 ≠=++ abc
cba
222 c
ab
b
ac
a
bcM ++=
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
6 
19/05/08 
Theo bài toán 4, ta có: 
Từ 
Vậy: 
Ta còn có thể mở rộng bài toán ở các dạng bài tập khác 
Bài toán 16: Giải ph−ơng trình 
 x3 + 3ax2 + 3(a2-bc)x+a3+b3+c3 - 3abc = 0 (1) 
(1) ⇔ (x+a)3 - 3bc(x+a) + b3+c3 = 0 
Đặt x+a = y, bài toán trở thành 
 y3 - 3bcy + b3+c3 = 0 
⇔ (y+b+c)(y2+b2+c2-yb-yc-bc) = 0 
⇔ y+b+c = 0 
hoặc y2+b2+c2-yb-yc-bc = 0 ⇔ y = b = c 
• Nếu b ≠ c, ph−ơng trình (1) có một nghiệm y = - b - c ⇒ x = -(a+b+c) 
• Nếu b = c 

 Nếu b =c = 0 thì ph−ơng trình có nghiệm y = 0 ⇒ x = -a 

 Nếu bc ≠ 0 thì ph−ơng trình có hai nghiệm 
y =- b -c ⇒ x = -(a+b+c) 
hoặc y = b = c ⇒ x = b-a = c-a 
Bài toán 17: Chứng minh rằng ph−ơng trình sau không có nghiệm nguyên 
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3= 30 (2) 
Dễ dàng tìm đ−ợc 
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3= 3(x-y)(y-z)(z-x) 
(2) ⇔ (x-y)(y-z)(z-x) = 10 
Giả sử tồn tại x0, y0, z0 ∈ Z để: 
(x0 - y0)( y0- z0)(z0 - x0) = 10 = 1.2.5 = (-1).2.(-5) = 1.(-2).(-5) 
 x0 - y0 = m 
⇒ y0 - z0 = n 
 z0 - x0 = p 
0111 =++
cba
abccba
3111
333 =++⇒
33.)111( 333 ==++= abcabccbaabcM
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
7 
19/05/08 
7
7
Do (x0- y0 )+( y0-z0)+( z0-x0 ) = 0 ⇒ m+n+p = 0 (m,n,p ∈ Z). 
Vì vậy không tồn tại x,y,z ∈ Z thoả mn (2). 
Bài toán 18: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của hệ ph−ơng trình 
 x3 +y3 + 3xyz = z3 (1) 
 (2x+2y)2 = z3 (2) 
Đặt z = - t 
(1) ⇔ x3 +y3 + t3 - 3xyt = 0 
⇔ (x+y+t)(x2+y2 +t2- xy - yt - xt) = 0 
⇔ x+y+t = 0 
hoặc x2+y2 +t2- xy - yt - xt = 0 
 ⇔ (x-y)2 + (y-t)2 + (t-x)2 = 0 (3) 
(3) ⇒ x=y=t= -z < 0 ⇒ vô lý (vì x,y ∈ Z+) 
Do đó x+y+t = 0 ⇒ x+y = z 
⇒ (2) ⇔ 4z2 = z3 
⇔ z2(z-4) = 0 
⇔ z = 4 
⇒ x +y = 4. 
Vậy (x,y) ∈ {(1;3);(2;2);(3;1)} 
Vậy nghiệm nguyên d−ơng của hệ (x;y;z) ∈ {(1;3;4);(2;2;4);(3;1;4)} 
Bài toán 19: Giải ph−ơng trình sau 
(x2-3)3 - (4x+6)3 + 216 = 18(4x+6)(3-x2) (4) 
Đặt a = x2-3; b = - (4x+6); c = 6. Khí đó ph−ơng trình đ cho thành 
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 
⇔ (a+b+c)( a2+b2 +c2-ab-bc -ac) = 0 
⇔ a+b+c = 0 
hoặc a = b = c 
• Với a+b+c = 0, (4) ⇔ x2 - 4x- 3 = 0 ⇔ x1,2 = 2 ± 
• Với a = b = c, ta có 
 x2 + 4x+ 3 = 0 
 - 4x = 12 
 x2 = 9 
• ⇒ x = -3. 
Vậy nghiệm của ph−ơng trình (4) là : x1,2 = 2 ± và x3 = - 3 
Có những bài toán sau khi biến đổi, ta đ−a về đ−ợc và sử dụng các 
bài toán quen thuộc. 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
8 
19/05/08 
Bài toán 20: Chứng minh rằng a+b+c = 0 và abc ≠ 0 thì 
Đặt: 
Vế trái của đẳng thức trở thành : 
Xét 
 ( do a+b+c = 0) 
T−ơng tự ta có: 
Do đó: 
(theo bài toán 4, nếu a+b+c = 0 thì a3 +b3+c3 = 3abc ) 
5. H−ớng dẫn và tập cho học s ... c+d = 0 
⇒ a+b = - c - d = - (c+d) 
⇒ (a+b)3 = - (c+d)3 
⇒ a3 + b3 + 3ab(a+b) = - [c3+ d3 + 3cd(c+d)] 
⇒ a3 +b3+c3 + d3 = - [3ab(a+b) + 3cd(c+d)] 
⇒ a3 +b3+c3 + d3 = (c+d)(3ab- 3cd) 
⇒ a3 +b3+c3 + d3 = 3(c+d)(ab - cd) 
Nh− vậy ta có thể tạo thành bài toán mới 
Bài toán 21: 
Cho a+b+c+d = 0. Chứng minh rằng: a3 +b3+c3 + d3 = 3(c+d)(ab - cd) 
Tiếp tục tìm tòi, nâng cao bài toán 4, gợi ý h−ớng dẫn để học sinh nêu 
đ−ợc vấn đề 
Bài toán 22: 
Nếu a+b+c = 0 thì a5 +b5+c5= ? 
Để có a5 +b5+c5 ta phải sử dụng tích (a3 +b3+c3)( a2 +b2+c2) 
Do a3 +b3+c3 = 3abc nên tích 
(a3 +b3+c3)( a2 +b2+c2) = 3abc(a2 +b2+c2) (1) 
Biến đổi vế trái của (1) ( l−u ý a+b = - c ; a+c = - b ; b+c = - a) 
Ta có: 
(a3 +b3+c3)( a2 +b2+c2) = a5 +b5+c5 + a2 b2(a+b) + b2 c2(b+c) + a2 c2(a+c) 
 = a5 +b5+c5 - a2b2c- b2c2a- a2c2b 
 = a5 +b5+c5 - abc(ab+bc+ca) 
Từ (1) ⇒ a5 +b5+c5 = 3abc(a2 +b2+c2)+ abc(ab+bc+ca) (2) 
Do a+b+c = 0 ⇒ (a+b+c)2 = a2 +b2+c2+ 2(ab+bc+ca) = 0 
⇒ a2 +b2+c2 = - 2(ab+bc+ca) 
⇒ ab+bc+ca = - (a2 +b2+c2)/2 (3) 
Thay (3) vào (2) ta đ−ợc: 
a5 +b5+c5 = 3abc(a2 +b2+c2) - abc(a2 +b2+c2)/2 
= 5abc(a2 +b2+c2)/2 
hay 2 (a5 +b5+c5) = 5abc(a2 +b2+c2) 
Cũng với ph−ơng pháp h−ớng dẫn học sinh tìm tòi, ta đ−ợc tiếp bài toán 
ở dạng t−ơng tự 
Từ kết quả của bài toán 22, a+b+c = 0 thì 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
10 
19/05/08 
2 (a5 +b5+c5) = 5abc(a2 +b2+c2) 
Những ng−ời làm công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi có thể sáng tạo hoặc 
h−ớng dẫn học sinh sáng tạo ra những đề toán cao hơn 
Thay a+b+c = 0 bởi tổng (x-y) + (y-z) + (z-x) = 0 ; abc = (a3 +b3+c3)/3, 
với a,b,c thay lần l−ợt bởi (x-y) ; (y-z) ; (z-x) ta đ−ợc một bài toán mới. 
Bài toán 23: 
Chứng minh rằng 
Đây là một bài toán hay mà cách giải đ rõ ràng từ cách giải của bài 
toán 22. 
Trong quá trình bồi d−ỡng học sinh giỏi, một trong những biện pháp có 
hiệu quả tốt đó là khuyến khích, động viên học sinh luôn không tự thoả 
mn với những lời giải vừa tìm đ−ợc và tiếp tục khám phá tìm tòi lời giải 
khác. 
Ngay ở bài toán 23 này, ngoài các cách giải đ nêu, còn có thể có cách 
giải khác cũng rất hay. 
Đặt a = x-y ; b = y-z ; c = z-x, thì a+b+c = 0. 
Theo bài toán ta có: a3 +b3+c3 = 3abc 
Và a2 +b2+c2 = a2 +b2+(-b-a)2 = 2(a2 +b2+ab) 
Vế trái của đẳng thức ở bài toán 23 trở thành: 
abc(a2 +b2+ab) (1) 
Xét vế phải 
Do a+b = - c 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 
Một bài toán hay có thể khai thác cách giải mà đề sử dụng cách khai 
thác bài toán cơ bản đ nêu. 
Bài toán 24 
Chứng minh rằng: nếu các số a,b,c thoả mn điều kiện a+b+c = 0 thì 
2
)()()(
.
3
)()()(
6
)()()( 222333555 xzzyyxxzzyyxxzzyyx −+−+−−+−+−
=
−+−+−
5
)(
5
555555 babacba +−+
=
++
=
−−−−−−+
5
510105 5432234555 babbababaaba [ ]
)2()(
))((
5
)(2)).(()5(
22
22
522
abbaabc
abbabaab
baababbabaab
++=
+++−=
=
++−++−
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
11 
19/05/08 
a5(b2+c2)+ b5(c2+a2)+ c5(b2+a2) = [(a3+b3+c3) (a4+b4+c4)]/2 
Từ a+b+c = 0 ⇒ a3 +b3+c3 = 3abc 
a+b+c = 0 ⇒ a2 +b2+c2+ 2(ab+bc+ca) = 0 
⇒ a2 +b2+c2 = - 2(ab+bc+ca) 
⇒ a4 +b4+c4 + 2(a2b2+b2c2+c2a2) = 
= 4(a2b2+b2c2+c2a2 +2a2 bc+2acb2+2abc2) 
⇒ a4 +b4+c4 + 2(a2b2+b2c2+c2a2) = 4[a2b2+b2c2+c2a2 +2abc(a+b+c)] 
⇒ a4 +b4+c4= 2(a2b2+b2c2+c2a2) 
Vế phải trở thành 
3abc(a2b2+b2c2+c2a2) (*) 
Biến đổi vế trái thành 
a2c2(a3+c3)+ a2b2(a3+b3)+ b2c2(b3+c3) 
= a2c2(3abc - b3)+ a2b2(3abc - c3)+ b2c2(3abc - a3) 
= 3abc(a2b2+b2c2+c2a2) - a2c2b2 (a+b+c) 
= 3abc(a2b2+b2c2+c2a2) ( do a+b+c = 0) (**) 
Từ (*) và (**) suy ra đpcm. 
Việc khai thác tìm tòi, đào sâu, mở rộng và nâng cao bài toán còn thông 
qua việc khái quát hoá bài toán, khai thác các dạng toán khác nhau hoặc kết 
hợp để đ−ợc bài toán hay, khó hoặc những bài toán đa dạng. 
Ví dụ: Tìm m để : (x3+y3+z3+mxyz) chia hết cho (x+y+z) 
Bài toán 25: Thực hiện phép tính 
Biến đổi biểu thức ta đ−ợc: 
Bài toán 26: Thực hiện phép tính 
Đặt A = B + C + D 
Với: 
2
222
)(111
22
].11
3
zyx
xzzyxy
zy
zy
zy
x
x
zyzy
+++
++
+
+
−
+
+

 +−
22222
333
)()()()()()3(2 zyxxzzyyxzyx
zyx
xyzzyx
+++−+−+−=+++
++
−++
))((
)(1
)()(
))((
)(1
)()(
))((
)(1
)()(
222
yzxz
xy
yz
zyz
xz
zxz
zyxy
zx
xy
yxy
zy
yzy
zxyx
zy
zx
zxx
yx
yxx
A
−−
−
+
−
+
+
−
+
+
−−
−
+
−
+
+
−
+
+
−−
−
+
−
+
+
−
+
=
zxyzxyzyx
xyzy
zyxy
zx
xy
yxy
zy
yzy
C
−−−++
−
=
−−
−
+
−
+
+
−
+
= 222
3
2
22
))((
)(1
)()(
zxyzxyzyx
xyzx
zxyx
zy
zx
zxx
yx
yxx
B
−−−++
−
=
−−
−
+
−
+
+
−
+
= 222
3
2
22
))((
)(1
)()(
zxyzxyzyx
xyzz
yzxz
xy
yz
yz
xz
zxz
D
−−−++
−
=
−−
−
+
−
+
+
−
+
= 222
3
2
22
))((
)(1
()(
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
12 
19/05/08 
Vậy 
C. kết thúc vấn đề 
I. Một số kết quả 
1. Đối với thầy: 
- Từ một bài toán, tập hợp khai thác, phát triển nâng cao, mở rộng thành 
hơn 20 bài toán khác nhau. Không chỉ vài giờ, vài ngày mà đó là một 
quá trình tích luỹ, quá trình học hỏi không ngừng, không chỉ một vài 
năm. Rõ ràng với cách làm này, vốn kiến thức toán học của một ng−ời 
thầy không ngừng đ−ợc nâng cao, nó bổ xung cho kinh nghiệm giảng 
dạy của mỗi ng−ời càng thêm phong phú. 
- Phần trình bày trong đề tài này chỉ nêu cách khai thác phát triển một bài 
toán cơ bản rất quen thuộc với những ng−ời làm công tác bồi d−ỡng học 
sinh giỏi, còn có nhiều những bài toán khác, nhiều dạng khác, với cách 
khai thác phát triển, đào sâu nh− đ trình bày, ta có đ−ợc một khối 
l−ợng, một hệ thống các bài toán, các dạng toán rất phong phú đa dạng 
và nh− vậy vốn kiến thức, vốn kinh nghiệm giảng dạy của ng−ời thầy 
thêm sâu sắc. 
- Biết tập hợp các tri thức, các chủng loại sách rất đa dạng, biết học hỏi 
chắt lọc nhiều điều hay, nhiều nội dung sâu sắc qua từng phần trình bày 
của các tác giả. 
- Khai thác, phát triển, mở rộng, nâng cao các bài toán, các dạng toán (mà 
phần trình bày trong bản sáng kiến kinh nghiệm chỉ là một thí dụ)là một 
biện pháp th−ờng xuyên tôi thực hiện nhiều năm nay, và mỗi năm ở 
từng bài toán, từng dạng toán đều đ−ợc bổ xung thêm sâu sắc hơn, 
phong phú hơn trong cách khai thác. Tôi nghĩ rằng, đây cũng chính là 
ph−ơng pháp tự bồi d−ỡng, rèn luyện, ph−ơng pháp nghiên cứu khoa 
học, nh− vậy mới h−ớng dẫn đ−ợc cho học sinh khai thác phát triển các 
bài toán. 
- Với cách làm đ nêu trong phần sáng kiến kinh nghiệm này, tiết kiệm 
đ−ợc rất nhiều thời gian trong quá trình giảng dạy của thầy và học tập 
của trò mà hiệu quả lại rất cao. Những năm ch−a sử dụng ph−ơng pháp 
này, một tiết tôi chỉ bồi d−ỡng đ−ợc một vài bài. Với cách làm đ nêu 
tập trung đi sâu giải quyết bài toán cơ bản đó để khai thác phát triển, 
một tiết, một buổi bồi d−ỡng chúng ta có thể giải quyết đ−ợc chục bài 
)(2)3(2 222
333
zyx
zxyzxyzyx
xyzzyxDCBA ++=
−−−++
−++
=++=
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
13 
19/05/08 
mà kiến thức lại sâu rộng. Ph−ơng pháp khai thác phát triển bài toán đ 
nêu đáp ứng đ−ợc yêu cầu đòi hỏi của tri thức mỗi ngày một nhiều, một 
cao của công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi, giải quyết đ−ợc mâu thuẫn 
giữa thời gian học tập và khối l−ợng kiến thức cần truyền thụ. 
2. Đối với trò: 
- Đ−ợc th−ờng xuyên học tập theo cách phát triển, đào sâu mở rộng các 
bài toán, dạng toán cơ bản nh− một thí dụ trong sáng kiến kinh nghiệm 
này, học sinh vừa tiếp thu nhanh, sâu sắc, hiểu rộng đ−ợc các vấn đề 
thầy trình bày, vừa làm quen với ph−ơng pháp nghiên cứu khoa học giúp 
các em " học một biết m−ời ". 
- Học sinh tiết khiệm đ−ợc thời gian, hiểu biết sâu sắc các dạng toán, vừa 
có nhiều điều kiện cho học tập nghiên cứu. Tri thức của các em đ−ợc 
chủ động, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong khi học toán. 
II. Một số bài học kinh nghiệm 
Qua việc nghiên cứu suy nghĩ thể nghiệm đề tài "Khai thác phát triển 
một bài toán " cho học sinh giỏi tôi đ rút ra một số bài học cho bản thân và 
suy nghĩ nó cũng là một kinh nghiệm trong quá trình bồi d−ỡng học sinh 
giỏi toán: 
- Trong quá trình bồi d−ỡng học sinh giỏi, bên cạnh việc xây dựng hệ 
thống các ph−ơng pháp cơ bản để giải quyết các dạng toán, điều quan 
trọng là ở mỗi dạng toán, mỗi bài toán cơ bản phải biết khai thác phát 
triển, nâng cao, có nh− vậy mới vừa phát huy đ−ợc vai trò chủ động tích 
cực, thông minh sáng tạo của trò vừa tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận 
với ph−ơng pháp nghiên cứu khoa học. Học sinh phát huy đ−ợc trí lực và 
vốn kiến thức đ tích luỹ của mình một cách phong phú, sâu sắc. 
- Ng−ời dạy cũng nh− ng−ời học đều phải th−ờng xuyên s−u tầm, học hỏi 
sáng tạo, phải biết tập hợp những bài toán đơn lẻ, sắp xếp thành hệ 
thống, thành dạng toán phù hợp với yêu cầu và đối t−ợng. 
- Qua việc giảng dạy, bồi d−ỡng học sinh giỏi ở cấp Huyện cần phải tiến 
hành từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp, cố gắng đào sâu 
phát triển, nâng cao trên cơ sở kiến thức cơ bản, l−u ý tính vừa sức, tránh 
quá tải đối với học sinh. 
- Để làm tốt công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi toán, bản thân ng−ời giáo 
viên cũng phải luôn học tập, phấn đấu, nâng cao trình độ mới đáp ứng 
đ−ợc yêu cầu ngày càng cao của công tác bồi d−ỡng học sinh giỏi nhằm 
thực hiện mục tiêu " Bồi d−ỡng nhân tài ", trong sự nghiệp đổi mới của 
đất n−ớc. 
III. Nguyên nhân thành công 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
14 
19/05/08 
Nội dung đề tài này là sự tổng kết, đúc rút kinh nghiệm và kiến thức 
của bản thân trong quá trình giảng dạy trên lớp, đó là thành quả của một 
quá trình lao động nghiêm túc, sự nhiệt tình của thầy và sự hăng say của 
trò. Các em đều có lòng say mê, có năng lực đối với bộ môn toán. Các em 
ham học hỏi, ham hiểu biết, mong muốn đ−ợc tiếp thu những tri thức mới 
mẻ hơn, cao hơn, chính các em là thành quả, là nguồn động viên và là 
nguyên nhân thành công của đề tài này. 
IV. Kết luận 
 Trên đây là những biện pháp, suy nghĩ, kết quả những bài học kinh 
nghiệm mà bản thân tôi đ rút ra trong quá trình giảng dạy học sinh giỏi. 
Nội dung cơ bản của bản đề tài này giúp các em học sinh có ph−ơng pháp 
t− duy, rèn kỹ năng định h−ớng, tìm tòi lời giải dựa trên những bài toán cơ 
bản cụ thể. 
Tôi mong đ−ợc sự trao đổi, góp ý của các đồng chí và các bạn đồng 
nghiệp, để đề tài này đ−ợc sử dụng rộng ri hơn. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 
Quốc Oai, ngày 09 tháng 05 năm 2004. 
Ng−ời viết 
Nguyễn Tuấn Thắng 
ý kiến nhận xét đánh giá và xếp loại của hội đồng khoa học cơ sở . 
Khai thác phát triển một bài toán cho học sinh giỏi trung học cơ sở 
15 
19/05/08 
 Chủ tịch Hội đồng 
 (kí tên và đóng dấu)