Sáng kiến kinh nghiệm ''Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán Hình học Lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên'' - Dương Phượng Hoàng

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Như chúng ta đã biết, Toán học có vai trò to lớn trong đời sống khoa học và kỹ thuật, Toán học góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá bồi dưỡng những đức tính phẩm chất của người lao động như cẩn thận, chính xác, tính kỹ luật, bồi dưỡng óc thẩm mỹ . . . nhằm góp phần đạt được mục đích đào tạo đội ngũ lao động có kỹ thuật và giàu tính sáng tạo.
Trong nhà trường, Toán học cùng với các bộ môn khác góp phần rèn luyện học sinh thành những con người phát triển toàn diện. Bên cạnh đó, Toán học còn giúp học sinh hiểu và nắm vững một cách chính xác, vững chắc có hệ thống các tri thức cơ bản và rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các tình huống khác nhau trong cuộc sống.
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy đa số học sinh ý thức được tầm quan trọng của bộ môn Toán, các em rất xem trọng môn học này và một số học sinh học rất tốt. Tuy nhiên, bên cạnh đó cũng không ít học sinh không hứng thú lắm đôi khi lại rất sợ học môn Toán mà đặc biệt là Toán Hình có học sinh thắc mắc không hiểu tại sao khi nghe thầy cô giảng bài tập, chứng minh định lý cũng như các em đọc chứng minh định lý trong sách thì các em hiểu ngay nhưng khi phải tự suy nghĩ và chứng minh thì không thể chứng minh được một cách chặt chẽ mặc dù các em đã học và ghi nhớ rất tốt lý thuyết theo yêu cầu của thầy cô, thậm chí có những bài thi, bài kiểm tra bỏ trắng phần Hình học. Trước tình hình đó với mong muốn giúp cho các em học sinh của mình có được phương pháp học tập tốt hơn đối với môn Hình học. Các em có được phương pháp phân tích bài toán tìm hướng đi cho bài toán để học sinh có thể tự tin hơn khi đứng trước một bài toán Hình nên tôi chọn đề tài 
“ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán Hình học lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên”.
II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Giúp học sinh có được phương pháp phân tích giải toán Hình để tìm hướng đi đúng cho bài toán, từ đó các em có thể tự học, tự rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận.
III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
-Học sinh lớp 8.
IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này tôi tập chủ yếu tập trung đi sâu vào việc hướng dẫn cho học sinh phương pháp phân tích bài toán Hình học lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên.
B/ NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Giải Toán hình học là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận nhưng phải trình bày như thế nào và bắt đầu từ đâu thì đối với nhiều học sinh là chuyện không dễ. Đúng là khi nghe hoặc đọc một bản chứng minh và hiểu rõ nó không khó vì bản chứng minh được được trình bày theo một trật tự lôgic từ cái đúng này đến cái đúng khác rất hợp lý, với lí lẽ xác đáng làm cho người nghe, người đọc phải chấp nhận. Do vậy cái lập luận đó nhẹ nhàng dẫn dắt người nghe dần dần đến kết luận tất yếu, phải thừa nhận.
Tuy nhiên cái lập luận có trật tự logic ấy không phải bổng nhiên mà có mà nó được hình thành trong quá trình nghiên cứu có phương pháp. Một trong những phương pháp nghiên cứu giúp ta đi đúng đường là phương pháp “phân tích đi lên”.
II/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
Nội dung đề tài thể hiện quá trình giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích bài toán Hình học bằng phương pháp phân tích đi lên dẫn dắt học sinh bắt đầu đi từ kết luận suy ngược dần để tìm về giả thiết bằng cách quan sát, dự đoán, phát hiện mối quan hệ của các yếu tố trong bài toán để từng bước phân tích tìm hướng đi đúng cho bài toán theo sơ đồ:
 Chứng minh b
 Chứng minh a
III/ BIỆN PHÁP CỤ THỂ:
1/ Một số chú ý đối với học sinh để giúp cho quá trình phân tích và trình bày chứng minh bài toán:
a/ Hình vẽ chính xác giúp quá trình phân tích thuận lợi hơn:
Để cho việc quan sát dự đoán trong quá trình phân tích bài toán được thuận lợi và đi đúng hướng thì một trong những yếu tố quyết định đó là hình vẽ phải chính xác vì khi phân tích một bài toán theo phương pháp phân tích đi lên là muốn tìm A phải tìm B có B ắt có A mà khi hình vẽ chính xác dễ dàng quan sát thì dễ dàng dự đoán được mối quan hệ giữa A và B. Có những bài toán mà đề bài không yêu cầu thẳng điều phải chứng minh ví dụ như:
-Đường thẳng a và đường thẳng b có vuông góc không?
-So sánh độ dài hai đoạn thẳng AB; CD?
-Tìm quan hệ của hai góc A và B.
-Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh?
-Tứ giác MNPQ là hình gì? Chứng minh
Trong trường hợp này hình vẽ chính xác có thể nói lên kết quả, vấn đề còn lại là làm sao lập luận để dẫn đến kết quả đó. Vì vậy yêu cầu học sinh phải vẽ hình chính xác rõ ràng, dễ nhìn, nếu có thể rèn luyện cho các em dựng hình.
b/ Nắm được cơ sở lập luận cho việc trình bày chứng minh:
Chứng minh bài toán Hình học là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận mà quá trình lập luận phải chặt chẽ mọi khẳng định điều phải có căn cứ ( Từ đâu mà suy ra, do đâu mà có, dựa vào đâu). Do đó, nên chú ý cho học sinh những căn cứ làm cơ sở cho quá trình lập luận.
-Các định nghĩa, định lý, tiên đề, hệ quả, dấu hiệu nhận biết  đã được học từ khi học Hình.
-Giải thiết của bài toán.
-Kết quả của chứng minh trên.
2/ Hướng dẫn phân tích bài toán bằng phương pháp phân tích đi lên :
*Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và A = 600. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Vẽ I đối xứng với A qua B.
a/ Tứ giác ABEF là hình gì ? Chứng minh.
b/ Chứng minh tứ giác AIEF là hình thang cân.
A
F
D
C
E
B
I
600
ABCD là hình bình hành
BC = 2AB; A = 600
EB = EC ( EBC)
FA = FD (FAD)
I đối xứng với A qua B.
a/ ABEF là hình gì? Chứng minh.
b/ AIEF là hình thang cân? Chứng minh.
GT
KL
a/ Tứ giác ABEF là hình gì? Chứng minh.
Giáo viên hướng dẫn phân tích.
GV: Các em biết rằng khi hình vẽ chính xác có thể giúp ta định dạng được hình cần chứng minh ở dạng đặc biệt nào. Vậy hãy quan sát và nêu dự đoán của mình tứ giác ABEF là hình gì?
HS: Qua quan sát ta thấy tứ giác ABEF là một hình thoi.
GV: Giả sử dự đoán của các em là đúng. Vậy bây giờ ta hãy chứng minh ABEF là hình thoi. Có bao nhiêu cách để chứng minh một tứ giác là hình thoi? Với bài toán này ta chọn cách chứng minh nào là hợp lí, là phù hợp giả thiết của đề bài?
HS có thể đưa ra các cách chứng minh khác nhau nếu có thời gian giáo viên hướng dẫn học sinh hết các cách mà tự các em phát hiện, còn nếu thời gian không nhiều giáo viên gút nhanh và đưa ra cách chứng minh nào là nhanh nhất hoặc cách chứng minh nào mà có vận dụng các tính chất quan trọng mà giáo viên muốn khắc sâu cho học sinh, muốn rèn kỹ năng vận dụng cho học sinh.
Học sinh có thể trả lời: Có nhiều cách để chứng minh tứ giác ABEF là hình thoi nhưng theo em cách chứng minh theo dấu hiệu hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là dễ và quen thuộc với các em nhất.
GV: Nếu chọn cách chứng minh theo dấu hiệu hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì tứ giác ABEF phải thoả mãn điều kiện gì?
HS: Tứ giác ABEF là hình bình hành.
 Và AB = BE ( hoặc AB= AF; )
*GV hướng dẫn học sinh phân tích để chứng minh ABEF là hình bình hành.
GV: Bây giờ ta chứng minh ABEF là hình bình hành.
Vậy chứng minh ABEF là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết nào?
HS quan sát hình vẽ, kết hợp giả thiết và chọn dấu hiệu nhận biết phù hợp: Chứng minh tứ giác ABEF là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau .
GV: Vậy ta chọn cặp cạnh nào để chứng minh chúng vừa song song vừa bằng nhau.
HS có thể trả lời:
Với giả thiết của bài toán ta dễ dàng chứng minh AE vừa song song vừa bằng AF.
*GV hướng dẫn phân tích để chứng minh AB = BE:
GV: Ta có nhiều cách để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau vậy để chứng minh AB= BE trong bài toán này ta chọn cách chứng minh nào?
HS có thể nhận thấy được với giả thiết của bài toán ta có nhiều cặp đoạn thẳng bằng nhau vậy có thể dựa theo tính chất bắc cầu chứng minh AB và BE cùng có quan hệ với một đoạn thẳng khác, khi đó học sinh có thể sẽ nhận thấy được AB và BE cùng bằng nửa cạnh BC và khi đó sẽ có câu trả lời.
Sơ đồ phân tích:
ABCD là hình bình hành
AD// BC
AD = BC
Đã có: FAD
 EBC
BE// AF
BE = AF
Đã có: E là trung điểm BC
 F là trung điểm AD
và
BC = 2AB
AB = 
E Là trung điểm của BC
BE = 
ABEF là hình bình hành
và
AB = BE
ABEF là hình thoi
Chứng minh:
BC // AD ( ( gt ) ABCD là hình bình hành)
BE // AF
EBC ( E là trung điểm BC)
F là trung điểm AD 
BC = AD ( do ABCD là hình bình hành)
BE = AF
BE = BC ( E là trung điểm BC)
AF = AD ( F là trung điểm AD)
Xét tứ giác ABEF ta có:
BE // AF ( chứng minh trên)
BE = AF ( chứng minh trên)
Vậy tứ giác ABEF là hình bình hành (1)
( Tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành).
Mặt khác ta có:
BE = BC ( chứng minh trên).
AB = BC ( do BC = 2 AB)
Nên BE = AB ( 2) 
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABEF là hình thoi ( hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi).
b/ Chứng minh tứ giác AIEF là hình thang cân:
Giáo viên hướng dẫn phân tích:
GV: Có mấy cách để chứng minh một tứ giác là hình thang cân.
HS: Có hai cách:
-Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
GV: Theo các em ta chọn dấu hiệu nhận biết nào để chứng minh tứ giác AIEF là hình thang cân là hợp lý?
HS quan sát hình vẽ kết hợp giả thiết dễ dàng giúp các em dự đoán hướng đi là chứng minh theo dấu hiệu hình thang có 2 góc kề đáy bằng nhau vì nhận thấy đề bài có nói đến góc A.
GV: Xem như cách chọn dấu hiệu của các em là đúng là hợp lý. Bây giờ ta đi vào chứng minh.
GV: Để chứng minh tứ giác AIEF là hình thang cân theo dấu hiệu hình thang có hai góc kề đáy bằng nhau là hình thang cân. Vậy ta cần chứng minh gì? 
HS: Cần phải chứng minh:
-AIEF là hình thang.
-A = I
GV hướng dẫn phân tích AIEF là hình thang.
GV: Để tứ giác AIEF là hình thang ta cần chứng minh gì?
HS sẽ nhận thấy và trả lời ngay: để tứ giác AIEF là hình thang ta cần chứng minh hai cạnh đối AI và EF song song.
GV: Kết hợp giả thiết và chứng minh trên xem để EF song song với AI ta cần phải chứng minh gì?
HS có thể sẽ nhận thấy được dựa vào kết quả câu a cho phép ta kết luận EF song song AB mà A, B, F lại thẳng hàng EF// AI.
GV hướng dẫn phân tích A = I 
GV: Muốn chứng minh A = I theo các em ta cần chứng minh gì? HS dễ thấy theo giả thiết ta đã có A = 600 cho nên nếu I = 600 thì A = I HS có thể trả lời: cần chứng minh I = 600 
GV: Để có I = 600 ta cần phải chứng minh gì ?
HS quan sát hình vẽ cho phép dự đoán tam giác BIE là tam giác đều HS có thể trả lời : cần chứng minh tam giác BIE đều.
GV: Hãy nhớ lại xem có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết tam giác đều và ta chọn dấu hiệu nào để chứng minh tam giác BIE đều là hợp lý.
HS quan sát kết hợp giả thiết và chứng minh trên HS có thể trả lời: Ta chọn cách chứng minh là tam giác BIE cân có một góc bằng 600 cụ thể ta cần chứng minh rIBE cân tại B và IBE = 600
GV: Để chứng minh rIBE cân tại B cần chứng minh BI = BE nhưng rất dễ vì BI và BE cùng bằng AB. Để có IBE = 600 ta cần chứng minh IBE = A , đơn giản BC // AD và IBE và A ở vị trí so le trong.
Quá trình phân tích có thể dừng lại tại đây.
Sơ đồ phân tích:
I đối xứng với A qua B
ABEF là hình thoi
ABCD là hình bình hành
BI = AB
BE = AB
BC // AD
Mà IBE và A ở vị trí so le trong
BI = BE
IBE = A
rBIE cân 
và
IBE = 600
rBIE đều
I = 600
Đã có : A = 600
A = I
ABEF là hình thoi
AI// EF
AIEF là hình thang
AIEF là hình thang cân
Chứng minh:
EF // AI
EF // AB ( do ABEF là hình thoi)
A, B, I thẳng hàng ( vì I đối xứng với A qua B)
Vậy tứ giác AIBF là hình thang (1)
BE = BI
BE = BA ( ABEF là hình thoi)
BI = BA ( I đối xứng với A qua B) 
Vậy r BIE cân tại B (2)
Ta có: BC // AD ( do ABCD là hình bình hành)
Suy ra: IBE = A ( so le trong)
Mà A = 600 ( gt) 
Nên IBE = 600 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: rIBE đều
 Suy ra: I = 600
Ta lại có: A = 600 (gt)
 Nên I = A (4)
Từ (1) và (4) suy ra tứ giác AIEF là hình thang cân.
*Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Hình thang ABCD 
( AB// CD)
MA= MD ; NB = NC
a/ MN // DC
 MN // AB
b/ MN = 
GT
KL
A
B
N
D
M
C
E
a/ Chứng minh MN// DC và MN // AB:
Giáo viên hướng dẫn phân tích:
GV: Để MN song song DC ta cần chứng minh gì?
HS: Quan sát hình vẽ có thể nhận thấy hoặc không nhận thấy phải vẽ thêm yếu tố phụ. Trường hợp không nhận thấy giáo viên đặt câu hỏi gợi ý :
GV: Theo giả thiết ta có:
AB// CD và MA = MD ; NA = NC
Mà ở tiết học trước đã được học tính chất về đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Vậy hãy nghĩ xem ta cần làm gì để xuất hiện tam giác mà tam giác đó nhận MN là đường trung bình và có chứa DC.
Theo gợi ý học sinh suy nghĩ và có thể phát hiện vẽ thêm giao điểm của AN và DC.
GV: Gọi E là giao điểm của AN và DC.
Để MN// DC ta cần chứng minh gì?
HS quan sát thấy DCDE cho nên khi DE// MN thì dễ dàng suy ra DC// MN. Học sinh trả lời : MN song song DE
GV: Để MN // DE ta cần phải chứng minh gì? 
HS quan sát hình vẽ thấy M là trung điểm của AD và N hình như cũng có thể là trung điểm của DC. Học sinh có câu trả lời cần chứng minh MN là đường trung bình của rADE.
GV: Để MN là đường trung bình của tam giác ADE ta lại phải chứng minh gì?
HS dễ dàng nhận thấy. Theo giả thiết ta có M là trung điểm của AD nên chỉ cần chứng minh N là trung điểm của AE.
GV: Để N là trung điểm của AE hay NA = NE ta cần chứng minh gì?
HS: Để NA = NE ta cần chứng minh tam giác ABN bằng tam giác ECN
GV: Tam giác ABN bằng tam giác ECN theo trường hợp nào?
HS: Trường hợp góc- cạnh – góc.
GV: Hãy chĩ ra những cặp góc và cặp cạnh bằng nhau.
HS: BN = NC ( gt)
BNA = CNE ( đối đỉnh)
ABN = ECN 
( vì AB// CD mà ABN và ECN ở vị trí so le trong).
GV: Quá trình phân tích đã dẫn ta tìm về giả thiết của bài toán xem như ta đã đi đúng hướng.
Sơ đồ phân tích:
AB// DC (gt)
ABN = ECN 
BN = NC (gt)
ANB = ENC ( đối đỉnh)
rABN = rECN 
AN = AE
N là trung điểm của AE
Đã có: M là trung điểm của AD
MN là đường trung bình của rADE
Vẽ thêm : E là giao điểm của AN và DC và chứng minh MN // DE
MN // DC
Chứng minh:
Xét rABN và rECN :
ABN = ECN ( vì AB// CD (gt) mà ABN và ECN ở vị trí so le trong)
BN = NC (gt)
BNA = CNE ( đối đỉnh)
Vậy rABN = rECN ( g-c-g)
Suy ra: AN = NE ( cạnh tương ứng).
Xét rADE có:
MA = MD ( gt)
NA = NE ( chứng minh trên )
Vậy MN là đường trung bình của rADE
Suy ra : MN // DE
Mà CDE
Nên MN // DC
Ta lại có: DC // AB ( gt)
Suy ra: MN // AB
b/ Chứng minh MN = 
Hướng dẫn phân tích:
GV: Theo câu a ta đã chứng minh được MN là đường trung bình của r AD. Vậy MN có quan hệ về độ dài với đoạn thẳng nào?
HS dễ dàng nhận thấy vì MN là đường trung bình của rADE nên MN = 
GV: Nếu chứng minh được điều gì thì có thể khẳng định MN = 
HS nhận thấy vì MN = 
Mà muốn MN = chỉ cần chứng minh AB+ CD = DE
GV: Mà DE thì lại có quan hệ với hai đoạn thẳng nào?
HS: DE = DC+ CE
GV: Vậy muốn DE = DC + AB ta cần lý luận gì ?
HS: Vì DE = DC+ CE cho nên muốn cho DE = DC+ AB chỉ cần chứng minh 
CE = AB
GV: Dựa vào đâu ta có: CE = AB ?
HS: Dựa vào hai tam giác bằng nhau ABN và ECN.
Sơ đồ phân tích:
Theo chứng minh trên
MN là đường trung bình của rADE
MN = 
MN = 
Vì AB = CE ( do rABN = rECN)
MN = 
Chứng minh:
MN là đường trung bình của rADE ( chứng minh trên)
Suy ra: MN = 
Mà DE = DC+ CE
Nên MN = 
Lại có: EC= AB ( r ABN = rECN)
Vậy MN = 
3/ Kết quả cụ thể:
TSHS
G
K
TB
Yếu
Giữa HKI
184
37-20%
40-22%
85-46%
22-11%
Cuối HKI
184
56-30%
48-26%
70-38%
10-5%
Tăng
2-13%
19-10%
8-4%
Giảm
15-8%
12-6%
4/ Tự đánh giá:
Qua thời gian thực hiện giải pháp nầy tôi cảm thấy tâm đắc vì :
-Mọi đối tượng học sinh đều có thể tham gia trong quá trình giải bài tập.
-Một số học sinh đã hình thành được phương pháp phân tích bài Tốn giúp các em tự tin hơn, các em cĩ thể trình bày chứng minh trước thầy cơ và bạn bè.
-Học sinh yêu thích hơn môn Hình học.
-Nâng dần chất lượng cho học sinh qua kết quả cụ thể vừa nêu ở trên.
5/ Đề xuất kiến nghị:
-Mong các cấp lãnh đạo thường xuyên mở những lớp bồi dưỡng chuyên môn để giáo viên chúng tôi có điều kiện nâng cao, cập nhật hoá kiến thức, đồng thời có được phương pháp giảng dạy phù hợp yêu cầu đổi mới hiện nay. 
C/ KẾT LUẬN
Aùp dụng phương pháp phân tích đi lên vào giảy dạy theo tôi là một việc làm rất cần thiết vì khi có phương pháp nầy học sinh có thể tự mình phân tích suy luận một bài toán một cách chặt chẽ, giúp học sinh tự rèn luyện và rèn luyện có phương pháp. Thường xuyên luyện tập phân tích bài toán các em sẽ có kinh nghiệm, có cái phản xạ tự nhiên trong quá trình suy luận phân tích, là lúc nào đó các em thật sự nhạy bén trong phân tích thì lúc đó các em sẽ nhận thức vấn đề rất nhanh thấy ngay là sẽ bắt đầu từ đâu và chứng minh như thế nào qua suy luận phân tích rất nhanh diễn ra trong não. Khi đó các em đã đạt cái quý nhất cần cho người học toán: ấy là trực giác. Ở trên là phần trình bày của tôi về sáng kiến kinh nghiệm :” Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán Hình học lớp 8 bằng phương pháp phân tích đi lên”. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi sơ sót rất mong được sự đóng góp của các cấp lãnh đạo, của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Người viết
 	 Dương Phượng Hoàng
MỤC LỤC
Đ&Ð
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lý do chọn đề tài 	1
II/ Nhiệm vụ của đề tài	1
III/ Đối tượng nghiên cứu	1
IV/ Phạm vi nghiên cứu	2
B/ NỘI DUNG 
I/ Cơ sở lý luận 	2
II/ Nội dung đề tài	2
III/ Biện pháp cụ thể 	2
1/ Một số chú ý đối với học sinh để giúp cho quá trình phân tích và trình bày chứng minh.	2
a/ Hình vẽ chính xác giúp quá trình phân tích thuận lợi hơn	2
b/ Nắm được cơ sở lập luận cho việc trình bày chứng minh	3
2/ Hướng dẫn phân tích bài toán Hình học bằng phương pháp phân tích đi lên vào bài tập cụ thể	3
3/ Kết quả cụ thể	13
4/ Tự đánh giá	14
5/ Đề xuất, kiến nghị	14
C/ KẾT LUẬN	15