Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị

MỤC LỤC
STT
MỤC
NỘI DUNG
TRANG
1
MỤC LỤC
1
2
A.PHẦN MỞ ĐẦU
2
3
I
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2
4
II
MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3
5
III
GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
3
6
IV
KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
3
7
B.PHẦN NỘI DUNG
4
8
I
CƠ SỞ LÍ LUẬN
4
9
II
CƠ SỞ THỰC TIỄN
4
10
III
THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN
4
11
IV
CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
6
12
V
HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
23
13
C.PHẦN KẾT LUẬN
24
14
I
Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI CÔNG TÁC
24
15
II
KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
24
16
III
BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT TRIỂN
24
17
IV
ĐỀ XUẤT,KIẾN NGHỊ
24
A. PHẦN MỞ ĐẦU
 ----------- eôf -----------
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lí luận:
Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu quả có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội.
Toán cực trị là dạng toán rất gần gũi với cuộc sống và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày, nó giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em khá, giỏi.
Toán cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo do vậy giáo viên rất thuận lợi trong việc sưu tầm và tuyển chọn sắp xếp các dạng toán một cách hợp lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng và một vấn đề là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lôgíc khi giải toán cực trị.
2. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay bản thân đang là giáo viên dạy Toán tại trường TH-THCS Gáo Giồng, thấy được những khó khăn học sinh thường mắc phải trong quá trình giải Toán, tôi cũng luôn trăn trở và suy nghĩ để tìm ra được giải pháp nào tốt nhất, hữu hiệu nhất để giúp đỡ học sinh trong quá trình nắm bắt kiến thức về Toán cực trị.Sau nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tôi mạnh dạn đưa ra đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN CỰC TRỊ”, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện sáng kiến này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp Trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.
II. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Tôi nghiên cứu, viết sáng kiến này hy vọng giúp các em học sinh lớp 8, lớp 9 nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt là các em học sinh giỏi có phương pháp và hướng để giải . Đồng thời qua chuyên đề này hy vọng các em được hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ năng trình bày một bài toán cực trị. Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức vè rèn phong cách làm việc của người lao động mới, có kế hoạch. Có phân tích tìm hướng giải quyết trước khi làm việc cụ thể.
- Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
+ Phương pháp phân tích tổng hợp.
+ Phương pháp thực nghiệm.
III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
-Đề tài có thể được áp dụng đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9.
-Ôn thi cho học sinh tuyển sinh vào lớp 10.
IV. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
Đề tài hiện đã và đang được áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trong những bài toán nâng cao ở lớp 9 và hướng tới áp dụng trong ôn tập cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 năm học 2011-2012.
B. PHẦN NỘI DUNG
 ----------- eôf -----------
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Vấn đề đổi mới phương pháp giảng dạy trong trường THCS là một vấn đề cấp thiết hàng đầu, đối với học sinh THCS chủ yếu là ở lứa tuổi thiếu niên các em có thói quen suy nghĩ độc lập, tuy nhiên khả năng tư duy của các em chưa phát triển hoàn chỉnh để nhận thức hoặc làm tốt vấn đề nào đó. Khi đứng trước một bài toán cực trị học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm gì, làm như thế nào, không biết liên hệ giả thiết với các kiến thức đã học để tìm ra lời giải một công việc rất quan trọng.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Toán cực trị là một nội dung thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi. Vấn đề này tuy không mới mẻ nhưng tương đối khó đối với học sinh lớp 8, lớp 9, nhất là các bài toán cực trị ở mức độ được nâng cao trong khi đó kiến thức trang bị cho học sinh không được đáng kể do đó với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy, sự sáng tạo của học sinh, khơi dậy được sự hứng thú học tập yêu thích môn toán qua các bài toán cực trị, tôi đã tìm tòi qua sách, đồng nghiệp để tìm ra những phương pháp bài tập phù hợp với học sinh, nhất là trong giai đoạn các em mới tiếp cận với các bài toán này ở lớp 8 và lớp 9. Nhằm giúp cho học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tôi đã mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến này.
III. THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN.
Thuận lợi
Được sự quan tâm của các ban ngành địa phương,của Ban giám hiệu nhà trường.
Phụ huynh học sinh có sự quan tâm đến việc học tập của con em, nên đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt. 
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão do đó đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học. 
2. Khó khăn
Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì do đó dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em.
Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2011 -2012 ở lớp 9 do tôi trực tiếp giảng dạy tôi thu được số liệu như sau:
Lớp
Bài 
kiểm tra
TS
HS
Điểm 5
Điểm <5
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9
Bài số 1
15
1
6,7
2
13,3
6
40,0
4
26,7
2
13,3
IV. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1. ĐỊNH NGHĨA 
Cho biểu thức f(x).
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) £ M (M là hằng số) 
+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M 
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) 
+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m 
Kí hiệu : 	GTLN của hàm f là M = max f(x)
 	GTLN của hàm f là m = min f(x)
Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự.
Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau :
Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : 
f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số.
Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.
II) Cực trị hàm tam thức bậc hai: 
1) phương pháp : Sử dụng trực tiếp định nghĩa về GTLN, GTNN thông qua việc biến đổi tổng quát một tam thức bậc hai về dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất chứa biến và hạng tử tự do.
Xét
Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 + x) + c (do
 = a (x + )2 + c - = a (x + )2 + 
 Đặt = k Do (x + )2 ³ 0 nên
- Nếu a > 0 thì a.(x + )2 ³ 0 do dó Þ min P = k Û x + = 0 Û x = -
- Nếu a < 0 thì a.(x + )2 £ 0 do đó Þ max P = k Û x = -
2) Các ví dụ: 
a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN của tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau.
Giải: 
Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1
Vậy GTNN của A=2 Khi x=1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức 
Giải: 
Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1 
Vậy GTNN của B = 7 khi x=1
b) Dạng 2: Tìm GTNN của biểu thức bậc cao
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức 
Giải: 
 C 
Dấu (( = )) Xảy ra 
Vậy GTNN của C = 0 Khi x=3
VÝ dô 2: Tìm GTNN của B = (x2 – x + 1)2 
Giải : 
Mặc dù B ³ 0 nhưng GTNN của B không phải bằng 0 vì x2 – x + 1 ¹ 0 
Ta có : x2 – x + 1 = ≥ . Dấu "=" xảy ra Û x = 
Do đó B nhỏ nhất Û (x2 – x + 1 ) nhỏ nhất.
Vậy min B = = Û x = 
III) Cực trị của hàm phân thức:
A) Kiến thức cần thiết.
+ Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần nguyên.
+ Cho P = với A > 0 thì max P = ; min P = 
Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức.
B) Một số ví dụ.
1) Dạng 1: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm GTNN của 
Giải: 
Xét 
Ta có 
Dấu (( = )) Xảy ra x=1 
Vậy GTNN của N = -2 khi x=1
2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử và mẫu số là nhị thức 
Ví dụ 1 : Tìm x Î N để đạt giá trị lớn nhất. 
Giải :
Đặt A = Þ 2A = = = 7 + 
Nhận thấy A lớn nhất Û 2A lớn nhất Û lớn nhất
 Û 2x – 3 là số dương nhỏ nhất.
Mà x Î N nên 2x – 3 dương nhỏ nhất bằng 1 Þ x = 2
Vậy max(2A) = 12 Þ maxA = 6 Û x = 2. 
Ví dụ 2 : Tìm x Î Z để M = đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải : Ta có M = = = -1 + 
Để M nhỏ nhất thì nhỏ nhất Þ x – 5 là số âm lớn nhất.
Mà x Î Z nên x – 5 = -1 Þ x = 4 . 
Vậy min M = -3 khi x = - 4.
3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cña ph©n thøc cã tö lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc bËc hai.
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q = . 
Giải : 
a/ Ta có Q = = 
Do ³ 0 với " x Þ Q ³ -1 với " x. Dấu “=” xảy ra Û x = -2 
Vậy min Q = -1 Û x = -2 
b/ Ta có Q = = = 
Do ≤ 0 với " x Þ Q ≤ 4. Dấu “=” xảy ra Û x = 
Vậy maxQ = 4 Û x = 
2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của của phân thức là bình phương của một nhị thức.
Ví dụ: Tìm GTNN của M = . 
Giải : ĐKXĐ : x ≠ 1
Ta có M = = 
Đặt y = , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ³ 2
Dấu “=” xảy ra Û y = 1 Û = 1 Û x = 2 
Vậy min M = 2 Û x= 2
IV) Cực trị của hàm đa thức nhiều biến:
1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức biết quan hệ giữa các biến.
Ví dụ 1: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của 
Giải: Ta có x + y = 2 
Thay vào biểu thức Ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A=2 khi x =y=1
VÝ dô 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 
 N = 2x + 3y – 4z
biết rằng x,y,z ³ 0 và thoả mãn hệ phương trình 
Giải : 
Từ hệ phương trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10 Û y = 2 – x (*)
Thay (*) vào (1) Þ 2x + 2 – x + 3z = 6 Û x + 3z = 4 Û z = (**)
Thay (*) và (**) vào biểu thức N ta được :
N = 
Do x ³ 0 nên ≥ . Dấu "=" xảy ra Û x = 0 
Vậy min  ... í dụ 2 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x, y, z.
biết x, y, z là các số thoả mãn hệ phương trình : 
Giải : 
Xét hệ phương trình Û 
Do đó y, z là nghiệm của phương trình : t2 – (5 – x)t + x2 – 5x + 8 = 0 (1)
Ta có D = (5 – x)2 – 4(x2 – 5x + 8 ) = -3x2 +10x – 7
Khi đó y, z có GTLN, GTNN Û phương trình (1) có nghiệm.
tức là D ≥ 0 Û -3x2 +10x – 7 ³ 0 Û 3x2 – 10x + 7 £ 0
Û (x – 1)(3x – 7) £ 0 Û 1 £ x £ 
Vì vai trò x, y, z như nhau nên 1 £ y £ ; 1 £ z £ . 
Vậy GTLN của x, y, z là và GTNN của x, y, z là 1.
2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức nhiều đại lượng bằng cách biến đổi biểu thức đưa về các tổng bình phương.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của 
Giải 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy Khi x =y=1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:
Giải: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của biểu thức B = 5 Khi 
Bài tập đề nghị:
1, Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, b, 
2, Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a, b, c, 
3, Bài 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a, 
b, 
4, Bài 4:Tìm GTNN của
a, b, Biết x+2y =1
V) Phương pháp bất đẳng thức.
A) lý thuyết.
1, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a, 
b, dấu “=” xảy ra 
c, dấu “=” xảy ra và 
d, dấu “=” xảy ra và ; 
2, Bất đẳng thức Côsi:
a, Cho 2 số không âm a và b ta có:
 Dấu “=” xảy ra 
b, Cho 3 số không âm a và b ta có:
 dấu “=” xảy ra 
c, Tổng quát: Cho n số không âm ta có:
dấu “=” xảy ra 
3, Bất đẳng thức BunhiaCôpxki.
a, Cho hai cặp số a và b; x và y ta có:
 dấu “=” xảy ra 
b, Tổng quát: Cho 2n số ta có
dấu “=” xảy ra 
B) Các ví dụ:
1) Bất đẳng thứcCôsi
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:
Giải:
áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có:
dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của M=2 khi x = 0
2) Bất đẳng thức BunhiaCopski
Ví dụ 1: Tìm GTLN của Biết x+y = 4
Giải: TXĐ: ; 
Xét 
dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của khi x = 1,5 ; y= 2,5
Ví dụ 2: Cho x+y =2 . Tìm GTNN của 
Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có:
mà x+y=2 nên tức là 
dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A = 2 khi x = y = 1
3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức.
a, 
b, 
 Giải
Áp dụng BĐT 
a, Ta có: 
dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A=3 khi 
b, (1)
 (2)
dấu “=” xảy ra của (1) 
dấu “=” xảy ra của (2) 
Khi đó: 
Vậy GTNN của B=4 khi 
Ví dụ 2: Tìm GTNN của
Giải:
dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của C=4 khi 
4) Bài tập đề nghị:
a, Bài tập sử dụng BĐT Côsi
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
 với x+y=100 và 
 với x > 2 với x;y cùng dấu
b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
 biết 
Cho xy+yz+xz = 1 Tìm GTNN của 
c, Bài tập sử dụng các BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Tìm GTLN của A
 Tìm GTNN của B
VI) Phương pháp tìm miền xác định.
1) Đưa về phương trình bậc 2 và sử dụng điều kiện 
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
Giải: (1)
Do 
 (1) 
 (2)
+, Nếu A=0 thì (2) có nghiệm 
+, Nếu thì (2) có nghiệm 
Với A=-2 thì nghiệm của (2) là: 
Với A=8 thì nghiệm của (2) là: 
Vậy GTNN của A = -2 khi x=2
 GTLN của A=8 khi 
VI) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa về biến mới để biến đổi rút gọn biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau:
Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức A
Ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A=32 khi x = -3
VII) Một số phương pháp khác.
1, Bình phương hai vế của biểu thức.
Có trường hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phương biểu thức đó:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
Giải:
Tìm GTNN của biểu thức M đã được giải trong phương pháp bất đẳng thức Côsi ở phần trên, ngoài phương pháp đó ra ta còn có phương pháp giải khác.
Dấu “=” xảy ra vậy GTNN của M=2 khi x=0
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau:
 với 
Giải:
Vì và 
nên hay 
Do nên 
Dấu “=” xảy ra và =0 
2) Sử dụng bài toán phụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
Vậy GTNN của bài toán này ta đã làm bằng hai cách nêu trên ngoài ra ta còn có cách khác nữa để giải bằng cách sử dụng bài toán phụ.
Xét bài toán phụ:
 Chứng minh rằng: 
Dấu “=” xảy ra 
áp dụng bài toán phụ ở trên ta có:
=
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của M=2 khi x=0
Để giải bài toán theo cách này học sinh phải chứng minh bài toán phụ rồi mới được vận dụng. Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải khác xét trong phần tiếp theo.
3, Sử dụng mp tọa độ.
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức.
Giải:
Xét trong cùng mặt phẳng tọa độ 0xy xét các điểm.
Ta thấy điểm B, C nằm khác nhau đối với trục hoành mà A thuộc trục hoành 
Xét 3 điểm A; B; C ta có:
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra A là giao điểm của BC với trục hoành 
Vậy GTNN của M=2 khi x=0
Nhận xét: Tìm GTNN của biểu thức M ở đây tôi đã đưa ra 4 phương pháp để tìm, trong mỗi phương pháp đều có cách giải riêng biệt tùy theo từng bài, từng dạng bài tập ta có thể lựa chọn cách giải cho phù hợp.
4, Phương pháp xét khoảng giá trị:
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức để
Dạng bài tập này ta đã có cách giải cụ thể sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đã nêu ở phần 4.3 ở trên ngoài ra ta còn sử dụng phương pháp xét khoảng để giải.
+, Nếu x<2 thì 
Khi đó A =2 – x +5-x+15 = 22-2x <18 ( 1)
+, Nếu x>5 thì 
Khi đó A= x- 2 +x = 5-15 = 2x+8 > 18 ( 2 )
+, Nếu thì ; 
Khi đó A = x- 2 + 5 –x +15 = 18 ( 3)
Kết hợp các giá trị của A trong 3 trường hợp trên ta có:
Giá trị nhỏ nhất của A = 18 khi 
Ta cũng xét ví dụ này ngoài cách trên ta còn có cách giải khác ta xét trong phần tiếp theo sau đây:
5, Sử dụng 
Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải:
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A = 18 khi 
Nhận xét:
Qua 3 cách giải trên cả cách giải theo 4.3 ta thấy cách giải thứ 3 là đơn giải dễ hiểu hơn cả. Ta chỉ cần sử dụng giá trị tuyệt đối Dấu “=” xảy ra 
VIII) Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .
Trong khi làm chúng ta có thể gặp nhứng bài toán tìm GTLN, GTNN một cách tường minh cụ thể, cũng có khi lại gặp nó dưới dạng một dạng toán khác. Đó chính là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN. 
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Giải phương trình: 
Giải: TXĐ: 
 Xét 
Để 
 thuộc TXĐ
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=5
Nhận xét:Để giải phương trình này bằng các phương pháp thông thường rất phức tạp và khó khăn nhưng giải phương trình trên bằng phương pháp đánh giá hai vế ta sử dụng BĐT BunhiaCopski đối với vế trái thì việc giải phương trình đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải:
Ta có: 
Do 
Khi đó TXĐ 
Ta có: 
áp dụng BĐT Côsi cho hàm số không âm ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 3: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM
Giải:
Xét và có
 cùng phụ với 
S
áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
Do đó mà không đổi
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của là 
Nhận xét: Ở đây tôi đã đưa ra 3 ví dụ để thấy được việc ứng dụng của bài toán tìm GTLN; GTNN rất rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ở ví dụ 1, ví dụ 2 đơn giản hơn rất nhiều nếu không sử dụng Bất đẳng thức thì việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt hơn trong một số dạng toán cực trị trong bộ môn hình học.
IX) Một số sai lầm thường gặp trong bài toán cực trị:
Trong quá trình giải toán cực trị học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
Trong ví dụ này ta đã nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ.
Lời giải sai: 
Từ đó điều này không thể xảy ra, vì không tồn tại để cho và đồng thời bằng 0
Lời giải đúng ta đã giải trong phần VI ( Phương pháp đặt ẩn phụ)
Ví dụ 2: Tìm GTNN của:
+) Lời giải sai:
Vậy GTNN của 
+) Phân tích sai lầm:
Sau khi chứng minh chưa chỉ ra trường hợp xảy ra 
xảy ra ( vô lý)
+) Lời giải đúng:
Để tồn tại thì do đó dấu “=” xảy ra 
Vậy khi x = 0
V. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG:
Sau một số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tôi thấy áp dụng tốt SKKN này cho học sinh thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần không nhỏ vào việc trí thông minh , khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, bởi khi giải các bài tập này học sinh phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, phải phân tích một cách tổng hợp.Do đó trong năm học này tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình lớp 9 một số bài toán ở mức dộ vừa phải với sức học của học sinh và kết quả thu được như sau:
Kết quả kiểm tra đối chứng
Hs khối 9
Số Hs
Tìm ra hướng giải hoàn chỉnh
Không tìm ra hướng giải hoàn chỉnh
Khi chưa áp dụng Skkn
15
9
60,0
6
40,0
Khi áp dụng Skkn
15
12
80,0
3
20,0
C. PHẦN KẾT LUẬN
----------- eôf -----------
I.Ý nghĩa của đề tài đối với công tác :
Trong quá trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh tôi nhận thấy khi chưa áp dụng học sinh chưa có phương pháp cụ thể , học sinh lúng túng chưa tìm được cách giải sau khi được vận dụng thì nhiều học sinh đã giải được thành thạo.
II. Khả năng áp dụng.
- Chủ yếu dùng để bồi dưỡng thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT và đặc biệt phù hợp với việc học của học sinh khá giỏi.
III. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển tiếp theo.
*Qua quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy để có kết quả cao giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:
- Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại các dạng bài tập.
- Lượng bài tập phù hợp với năng lực, đối tượng học sinh.
- Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm mỗi khi có bài toàn tìm GTLN, GTNN.
- Giáo viên phải soạn kỹ trước khi lên lớp, đưa ra phương án giải quyết tốt nhất cho từng dạng. Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau đề củng cố và rèn khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh.
* Do điều kiện áp dụng SKKN trên ở trường có tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa cao và do hạn chế về thời gian cũng như năng lực tư duy của các em nên trong SKKN này còn một số hạn chế sau:
- Chưa nêu những ví dụ phong phú, chưa khai thác và phát triển và đưa về dạng bài tập tổng quát.
- Lời giải của nhiều bài tập còn mang tính áp đặt chưa mang tính chất lấy học sinh làm trung tâm.
- Đã nêu nhưng chưa nhiều về bài toán cực trị hình học.
V. Kiến nghị và đề xuất.
Để SKKN ngày càng đạt hiều quả cao tôi thấy phải tiếp tục nghiên cứu nhằm:
+ Tìm ra được nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải quyết đối với từng dạng bài đó.
+Áp dụng tối đa phương pháp đổi mới dạy học toán theo hướng phát triền tư duy sáng tạo cho học sinh.
Nhà trường cũng như các cấp các ngành có chức năng cần tạo điều kiện giúp đỡ về thời gian cũng như tài liệu để các giáo viên có thể đầu tư vào công việc tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
 ----------- eôf -----------
 Gáo Giồng, ngày 08 tháng 3 năm 2012
 Người viết
 Nguyễn Thị Thanh
DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH
DUYỆT CỦA PHÒNG GIÁO DỤC