Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số lớp 8

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài	
Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và đời sống thì toán học luôn là một ngành giữ vai trò rất quan trọng nó đòi hỏi sự suy luận và trí thông minh cao, chứa đựng rất nhiều những thử thách tác động đến bộ não của chúng ta. Nói đến Toán học là nói đến sự rõ ràng và logic, kiến thức toán học bao gồm cả một quá trình tri thức rất phong phú: tư duy trừu tượng, phân tích tổng hợp, suy lý, quy nạp, khái quát hoá,  Giải Toán là một bộ phận không thể thiếu được của quá trình tri thức vì nó đảm bảo cho học sinh hiểu biết sâu sắc lý thuyết, ứng dụng lý thuyết vào thực hành; thực tiễn cuộc sống; tạo điều kiện tốt để nghiên cứu, đi sâu vào các môn học và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Toán học còn là môn học hình thành nhân cách cho học sinh: rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, óc phân tích tổng hợp, tính hệ thống, khái quát hoá và góp phần hình thành các đức tính cần cù, nhẫn nại, chính xác, biết suy nghĩ, khai thác các vấn đề trong cuộc sống. 
Trong thực tế dạy và học, bên cạnh một số ít học sinh khá giỏi thì hiện nay thực trạng học sinh học yếu môn Toán đã và đang là vấn đề trăn trở của nhiều giáo viên đứng lớp và là nỗi lo chung của toàn ngành, toàn xã hội. Là người giáo viên đã và đang nghiên cứu Toán học trong chương trình Toán bậc Trung học cơ sở, chúng tôi nhận thấy một số bài toán chưa hoặc không có giải thuật đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ thật tốt mới tìm ra được lời giải. Chính vì thế đòi hỏi mỗi giáo viên phải có năng lực, kinh nghiệm và những phương pháp giải đúng đắn để truyền thụ và hướng dẫn cho học sinh.
Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng, nó góp phần xây dựng một nền tảng vững chắc cho các em học sinh trong suốt quá trình học tập ở bậc phổ thông. Đặc biệt hơn, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều ứng dụng đối với các dạng toán khác có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, chứng minh đẳng thức, giải bất phương trình, 
Xuất phát từ những vấn đề đã nêu trên, việc nghiên cứu những phương pháp chọn lọc về việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh tiếp thu bài dễ hơn, củng cố các kiến thức đã học, rèn kỹ năng cho các em trong quá trình giải Toán nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ngày càng được tốt hơn.
Vì những lý do trên nhóm chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong chương trình Đại số 8” để nghiên cứu trong khóa luận này.
Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách có hệ thống nhằm làm nổi bật các ưu, khuyết điểm của từng phương pháp. Tìm hiểu, đi sâu vào một số ứng dụng của nó qua một số dạng toán cụ thể.
Qua đó, giúp học sinh có hệ thống về việc phân tích đa thức thành nhân tử và lựa chọn đúng đắn các phương pháp phân tích vào việc giải toán sau này.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng thích hợp cho từng dạng phương pháp.
Liên hệ được ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng toán.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đúc kết kinh nghiệm.
Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 8 với các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó; một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao.
Phạm vi nghiên cứu
Việc phân tích đa thức thành nhân tử trong trường Trung học cơ sở.
Giả thuyết khoa học
Nếu trong thực nghiệm chúng ta hướng dẫn tốt những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh ở từng đối tượng thì sẽ giúp các em hệ thống được những phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình được cách giải và đưa ra được nhiều cách giải cho một bài toán. Từ đó nâng cao được năng lực tự học của học sinh, giúp các em biết vận dụng từng phương pháp cụ thể vào những dạng toán có liên quan, bởi vì các em nhớ được những phương pháp giải và có một kiến thức khá ổn định. Bên cạnh đó, các em hình thành được cho mình các kĩ năng giải toán, từ đó sẽ dần dần nâng cao được chất lượng học toán của học sinh.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp 8 và các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài.
- Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.
- Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên trong nhóm.
- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề các tiết dạy tự chọn trên lớp. 
Bố cục
Đề tài gồm: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. 
PHẦN 2. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
 ĐA THỨC
Đơn thức
Cho P là một trường (thông thường ta xét các trường số , , ).
Biểu thức dạng: (1) được gọi là một đơn thức, với 0 ≠ a  P được gọi là hệ số, x1, x2  , xn được gọi là các ẩn số (hay biến số) lấy các giá trị trên P, và k1, k2,  , kn  .
      	Nếu a ¹ 0, số k = k1 + k2 +  + kn được gọi là bậc của đơn thức (1).
      	Hai đơn thức:  và được gọi là hai đơn thức đồng dạng (tức chúng chỉ khác nhau ở hệ số, còn các ẩn số như nhau với cùng số mũ tương ứng).
Đa thức nhiều biến
Một tổng hữu hạn các đơn thức dạng:  , ki   được gọi là một đa thức nhiều ẩn với các ẩn (hay các biến số) x1, x2, , xn. Ta có thể kí hiệu các đa thức nhiều ẩn bởi:
f(x1, x2,..xn) = 
Mỗi đơn thức được gọi là một số hạng (hay hạng tử) của đa thức.
          Nếu tất cả các hệ số ai của đa thức đều bằng 0 thì đa thức được gọi là đa thức không.
          Nếu trong một tổng các đơn thức có những đơn thức đồng dạng thì ta có thể rút gọn chúng. Sau khi rút gọn, ta có thể viết đa thức dưới dạng một tổng của các đơn thức đôi một không đồng dạng. Ta gọi đó là dạng chính tắc của đa thức.
          Bậc của đa thức nhiều ẩn (đã viết dưới dạng chính tắc) là bậc cao nhất trong các bậc của các đơn thức. Đôi khi người ta còn gọi đó là bậc đối với tập thể các ẩn, để phân biệt với bậc của mỗi ẩn có mặt trong đa thức (là bậc cao nhất của ẩn đó trong đa thức).
          Nếu tất cả các số hạng của đa thức đều có bậc bằng nhau thì ta gọi đa thức đó là đa thức đẳng cấp (hay đa thức thuần nhất).
Đa thức một biến
Một hàm số f(x) được gọi là một đa thức một biến nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn của những đơn thức có cùng một biến, nghĩa là:
 f(x)= 
Ở đây a1, a2, , an là những số bất kỳ, còn k1 , k2, ..., kn là những số nguyên không âm và không bằng nhau. 
Ta có thể cho rằng tất cả những đơn thức trong cách viết trên là không đồng bậc vì nếu những đơn thức đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một đơn thức. Người ta cũng viết f(x) theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các đơn thức. Thường thường người ta viết đa thức dưới dạng:
f(x) = 	(*)
Với a0 ≠ 0, a1, a2 , ..., ak là những số bất kỳ và không đồng thời bằng 0.
Các số a0, a1, a2, ..., ak của đa thức f(x) được gọi là hệ số của đa thức. Số a0 được gọi là hệ số bậc cao nhất, còn số ak gọi là hệ số tự do.
Nếu đa thức f(x) được viết dưới dạng (*) ta nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc và dạng chuẩn tắc này không là duy nhất.
Quy ước: Một số cũng là một đa thức và gọi là đa thức bậc 0.
Hằng đẳng thức
 Các khái niệm bộ giá trị thừa nhận được, giá trị của đa thức, miền xác định của một đa thức nhiều ẩn được định nghĩa bằng cách xem chúng như những biểu thức toán học. Hai đa thức của cùng một số ẩn x1, x2,  , xn được gọi là hằng đẳng (hoặc có khi gọi là đồng nhất) nếu chúng có giá trị bằng nhau tại mọi bộ giá trị thừa nhận được lấy trong miền xác định của các đối số, chúng lập thành một hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức).
      Sau đây là một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
3. x2 –  y2= (x + y)(x – y)   
4. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
5. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
6. x3 +  y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
7. x3 –  y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 
8. 
9. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
10. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
11. xn –  yn = (x – y) (xn-1 + xn-2y +  + xyn-2 + yn-1)
12. x2k –  y2k = (x – y) (x2k-1 – x2k-2y + x2k-3y2 –  – y2k-1).
 (x1 + x2 +  + xn)2 = x12 + x22 +  +xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +  + xn-1xn
13. Nhị thức Newton
 trong đó
 	 với k = 0, 1, , n.
 Đặc biệt  
 Phân tích đa thức thành nhân tử
Đa thức bất khả quy
* Định nghĩa: Giả sử f(x) P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói f(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trái lại thì đa thức được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P.
      Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở. Chẳng hạn x2 – 2 bất khả quy trên nhưng khả quy trên  : .
* Tính chất
a) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.
b) Đa thức f(x) là bất khả quy khi và chỉ khi mọi ước của nó đều là đa thức bậc 0 hoặc là đa thức có dạng a.f(x) với a ≠ 0, a  P.
c) Đa thức f(x) là bất khả quy trên P khi và chỉ khi với mọi đa thức p(x) P[x] thì hoặc, hoặc (f(x), p(x)) = 1.
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
 + Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
 + Với bất kì đa thức (khác 0) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
anxn + an-1xn-1 +  + a0 = c( xn + xn – 1 + ..+ ) (với c0, c1)
b) Định nghĩa 2
Giả sử f(x) P[x] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói f(x) là bất khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của f(x). Trường hợp trái lại thì f(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P. 
Một số định lí cơ bản
· Định lí 1: Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành các  đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và nhân tử bậc không.
          · Định lí 2: (Tiêu chuẩn bất khả quy trên trường số phức và số thực)
a) Trên trường số phức , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất. Vậy mọi đa thức trên có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất.
b) Trên trường số thực , một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức . Vậy mọi đa thức trên có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất hoặc bậc 2 với .
         · Định lí 3: (Tiêu chuẩn Eisentein về các đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ) 
Giả sử f(x) = a0 + a1x +  +  anxn, n > 1, an  0, là một đa thức với hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của tất cả các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các ... a được k = – 1. 
Vậy :
 A = – 1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z).
Hoạt động 5: Phương pháp dùng nghiệm phức (5 phút)
Giới thiệu phương pháp: Phương pháp này gần với lý thuyết tổng quát hơn cả.
Chúng ta cần nhớ rằng: i2 = -1
Khi biết được i2 = -1 thì việc phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng nghiệm phức sẽ đễ dàng hơn.
 Chú ý rằng nếu một đa thức với hệ số thực có một nghiệm phức thì nó cũng có một nghiệm phức liên hợp là . Và khi đó là một tam thức bậc hai với hệ số thực.
Học sinh chú ý lắng nghe và ghi bài vào vở.
Hoạt động 6: Bài tập vận dụng (8 phút)
Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử.
Nhận xét và nêu ưu – khuyết điểm của phương pháp.
Học sinh làm bài tập: x4 + 4
* Trên trường số phức ta có thể phân tích
x4 + 4 = x4 +2 x2 + 4 – 2x2
= (x2 + 2)2 – 2x2
=(x2 + 2 - 2x)( x2 + 2 + 2x) 
 ( ta nhớ rằng i2 = -1) 
=[(x2 - 2x +1 – i2)][( x2 + 2x+ 1 - i2)]
=[(x2 - 2x +1) – i2)][( x2 + 2x+ 1) - i2)]
=[(x2 -1)2 – i2)][( x2 + 1) - i2)]
= (x – 1 + i)(x + 1 – i)(x + 1 + i)(x – 1 – i)
 * Trên trường số thực, ta biết rằng trong 4 nghiệm phức của đa thức đã cho có hai cặp nghiệm liên hợp nhau. Đó là 1 + i, 1 – i và – 1 + i, – 1 – i. 
Ta có:	 [x – (1 + i)][x – (1 – i)] = x2 – 2x + 2
 [x – (–1 + i)][x – (1 – i)] = x2 + 2x + 2
 Vậy ta có x4 + 4 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
4/. Củng cố: (4 phút): mang tính chất hướng dẫn.
a/. 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
b/. x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)
c/. x4 + 64
5/. Dặn dò – nhận xét tiết học: (1 phút)
3.3. Kết quả thực nghiệm
- Qua quá trình thực nghiệm nội dung phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử như đã nêu trên, kết quả đạt được như sau:
- Kết quả triển khai trong Tổ chuyên môn: Được sự quan tâm chỉ đạo của nhà trường cũng như uy tín của trường Đại Học Đồng Tháp, nhà trường đã tổ chức được một buổi trao đổi về đề tài một cách cụ thể cho giáo viên trong tổ. Sau đó chúng tôi tiến hành lấy ý kiến của những giáo viên trong tổ bằng phiếu góp ý kiến. Nhìn chung đa số giáo viên trong tổ chuyên môn đều thống nhất với những nội dung thực nghiệm như đã nêu trong chương 2 của đề tài.
* Kết quả thực nghiệm tại trường THCS An Thạnh Nhì:
Chất lượng học sinh
Lần kiểm tra
Lần 1 (Tổng số: 39 học sinh, kết quả kiểm tra năm học trước)
Lần 2 (Tổng số: 38 học sinh)
Tổng số
Tỉ lệ
Tổng số 
Tỉ lệ
Học sinh làm bài chưa được (điểm dưới 5)
6
15.38%
2
5.27%
Học sinh làm bài được nhưng chưa hoàn chỉnh (điểm từ 5 – 6.5)
13
33.34%
11
23.95%
Học sinh làm bài được nhưng chưa đầy đủ các bước (điểm từ 7 – 8)
14
35.90%
15
39.47%
Học sinh làm bài được hoàn chỉnh (điểm trên 8.5)
6
15.38%
10
26.31%
	* Kết quả thử nghiệm tại trường THCS Trinh Phú: Do nội dung của việc ứng dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương trình và chứng minh đẳng thức) đến thời điểm hiện nay thì học sinh lớp 8 chưa học đến nên chúng tôi mạnh dạng thử nghiệm trên học sinh đã học qua lớp 8 (đang học lớp 9). Chúng tôi tiến hành triển khai lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó trong 2 buổi và buổi thứ 3 cho HS làm bài kiểm tra và kết quả đạt được như sau: 
Tổng số
Giỏi
(Trên 8 điểm)
Khá
( Từ 6.5 đến 7.5)
Trung bình
( Từ 5 đến 6)
Điểm dưới 5
30 HS
11
8
8
3
Tỉ lệ %
36.66%
26.67%
26.67%
10%
3.4 Kết luận sư phạm
Trong quá trình giảng dạy về các phân tích đa thức thành nhân tử và việc ứng dụng của nó, chúng tôi nhận thấy các phương pháp đưa ra là phù hợp với đối tượng, đa số học sinh hiểu sâu được lí thuyết, nắm được các dạng toán và đều phân tích được các đa thức thành nhân tử và ứng dụng được vào thực tiễn như: rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức,  Bên cạnh đó vẫn còn một số học sinh lúng túng trong khi phân tích và một số ít vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản. Cần rèn luyện cho học sinh về cách lập luận logic và cách trình bày bài toán.
	Do thời gian thực nghiệm đề tài của chúng tôi còn hạn chế nên khả năng tiếp thu kiến thức của các em học sinh có phần vội vàng, mong quý thầy cô góp ý chân tình để chúng tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
PHẦN 3. KẾT LUẬN
* Kết luận chung
	Qua thời gian gần 4 tháng nghiên cứu, tìm hiểu, trao đổi và thực nghiệm bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nhóm sinh viên chúng tôi cũng đã hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình một cách hoàn thiện nhất.
	Đề tài đã hệ thống được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng của nó trong giải toán, giúp người giáo viên Trung học cơ sở, đặc biệt giáo viên dạy Toán khối 8 và giáo viên bồi dưỡng HSG khối 9 của trường có được một hệ thống các bài tập, ví dụ để ôn tập cũng như bồi dưỡng cho các em HS.
	Có được hệ thống phương pháp dành riêng cho từng loại đối tượng HS.
Kết quả đạt được
Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán có vai trò rất quan trọng, nó được xem là nền tảng vững chắc để tiếp thu và giải các dạng toán khác có liên quan.
Qua việc nghiên cứu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và việc ứng dụng của nó, đề tài đã hệ thống được cụ thể các phương pháp nên phù hợp với từng đối tượng học sinh, học sinh đã giải tốt hơn những bài toán có dạng phân tích đa thức thành nhân tử và những kiến thức này là rất cần thiết cho việc phát triển tư duy toán học, suy luận logic, hình thành lòng say mê, hứng thú học toán của học sinh sau này.
Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp chúng tôi bước đầu làm quen với một đề tài nghiên cứu khoa học, tuy có nhiều cố gắng nhưng chắc hẳn đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và khuyết điểm, chúng tôi rất mong được sự đóng góp nhiệt tình của quý thầy cô, đồng nghiệp và các bạn học viên để đề tài của chúng tôi được hoàn thiện hơn. Chúng tôi chân thành cảm ơn và rất mong có được sự đóng góp ý kiến.
Hạn chế của đề tài
- Đa số học sinh không vận dụng được hết các phương pháp đã trình bày trong đề tài.
- Chưa thực nghiệm được trên cùng đối tượng học sinh (còn thử nghiệm trên học sinh lớp 9).
Hướng phát triển của đề tài
 Mở rộng hơn những ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán học phổ thông và phân tích các đa thức nhiều biến thành nhân tử.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đức Chí (2004), 500 bài toán cơ bản và nâng cao 8, NXB Đại 
học sư phạm.
[2] Phan Đức Chính (2005), SGK Toán 8 tập 1, 2, NXB giáo dục.
[3] Phan Đức Chính (2005), SGV Toán 8 tập 1, 2, NXB giáo dục.
[4] Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức và ứng dụng, NXB giáo dục.
[5] Nguyễn Bá Kim (2000), PP dạy học môn Toán, NXB giáo dục.
[6] Hoàng Kỳ (1999), Đại số sơ cấp, NXB giáo dục.
[7] Nguyễn Văn Nho (2004), Phương pháp giải các dạng Toán 8 tập 1, 2, 
NXB giáo dục.
[8] Nguyễn Đức Tấn (2004), Giải bằng nhiều cách các bài toán 8, NXB Đại 
học sư phạm.
[9] Tôn Thân (2009), SBT Toán 8 tập 1,2, NXB giáo dục.
[10] Đỗ Đức Thái – Đỗ Thị Hồng Thúy (2004), Bồi dưỡng Toán 8, NXB giáo 
dục.
[11] Vũ Dương Thụy (1999), Thực hành giải toán, NXB giáo dục.
PHỤ LỤC
Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 1)
Trường THCS An Thạnh Nhì
Họ và tên HS: ..
 Lớp : 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1:	 8xy3 + 2xy2
Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z)
Bài 3: 9x2 + 24x + 16
Bài 4: (3x – 1)2 – x2
Bài 5: x2y2 – x2y4
Bài 6: 5xy + y + 10x + 2
Bài 7: x5 + x3 + x2 + 1
Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2
Bài 9: x3 + 2x2 + x
Bài 10: x2 – 2xy + y2 + xz – yz
Bài 11: 8x3 + 27y3
Bài 12: x2 + 3x + 2
Bài 13: x4 + x2 + 1
Bài 14: x4 + 4
Đáp án 
Bài 1: 8xy3 + 2xy2 = 2xy2(4y + 1)
Bài 2: 9xy(y – 2z) – 15x(y – 2z) = 3x(y – 2z)(3y – 5)
Bài 3: 9x2 + 24x + 16 = (3x + 4)2
Bài 4: (3x – 1)2 – x2 = (4x – 1)(2x – 1)
Bài 5: x2y2 – x2y4 = x2y2(1 – y)(1 + y)
Bài 6: 5xy + y + 10x + 2 = (5x + 1)(y + 2)
Bài 7: x5 + x3 + x2 + 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x2 – x + 1)
Bài 8: ax2 – ay2 + bx2 – by2 = (a + b)(x + y)(x – y)
Bài 9: x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2
Bài 10: x2 – 2xy + y2 + xz – yz = (x – y)(x – y + z)
Bài 11: 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
 Bài 12: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Bài 13: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Bài 14: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)
Đề kiểm tra thực nghiệm (Đề 2)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy
Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2
Bài 3: 4x2 + 12x + 9
Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2
Bài 5: x2y4 – 25x2y2
Bài 6: xy + 5y + 2x + 10
Bài 7: x5 – x3 + x2 – 1
Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2
Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x
Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz
Bài 11: 24x3 + 81y3
Bài 12: 2x2 + 5x + 2
Bài 13: x4 + x2 + 1
Bài 14: 4x4 + 81	
Đáp án
Bài 1: 14x2y3 + 2xy4 – 4xy = 2xy(7xy2 + y3 – 2)
Bài 2: 5x2(y – 2z) – 20x(y – 2z)2 = 5x(y – 2z)(x – 4y + 8z)
Bài 3: 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2
Bài 4: (2x + 1)2 – 16x2 = (1 + 6x)(1 – 2x)
Bài 5: x2y4 – 25x2y2 = x2y2(y + 5)(y – 5)
Bài 6: xy + 5y + 2x + 10 = (x + 5)(y + 2)
Bài 7: x5 – x3 + x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)2(x2 – x + 1)
Bài 8: ax2 – ay2 – bx2 + by2 = (a – b)(x + y)(x – y)
Bài 9: 3x3 – 6x2 + 3x = 3x(x – 1)2
Bài 10: x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x + y)(x + y + z)
Bài 11: 24x3 + 81y3 = 3(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
 Bài 12: 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)
Bài 13: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Bài 14: 4x4 + 81 = (2x2 + 6x + 9)(x2 – 6x + 9)
Đề kiểm tra thử nghiệm 
Trường THCS Trinh Phú
Họ và tên HS: ..
 Lớp : 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM
(KẾT QUẢ ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ)
(Thời gian làm bài 60 phút) 
Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n 6 	 (2 điểm)
Câu 2: Chứng minh rằng: = 5	(2 điểm)
Câu 3: Rút gọn biểu thức:
	(1.5 điểm)
	(1.5 điểm)
Câu 4: Giải phương trình: ( 3 điểm)
a) ( x2 + x – 6) = 0	( 1 điểm)
b) (x2 – 3 x – 4) = 0	( 1 điểm)
c) (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0	( 1 điểm)
ĐÁP ÁN
Câu 1: Chứng minh rằng: n3 –n 6 
Ta có: n3 – n= n(n2-1)=n(n-1)(n+1) 
Ta có tích 2 số liên tiếp chia hết cho 2
Tích 3 số liên tiếp chia hết cho 3
Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6
( Nguyên lý Đirichlet)
Câu 2: Chứng minh rằng: = 5
VT = = 
	=
Câu 3: Rút gọn biểu thức:
Giải:
Ta có: = 
 = 
 =
Giải:
Ta có: =
	 = 
Câu 4: Giải phương trình: 
a) x2 + x – 6 = 0
 	Giải:
Ta có: x2 + x – 6 = 0
ó x2 +3 x - 2x – 6 = 0
ó (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0
ó x(x+3) -2 (x+3)= 0
(x+3)(x -2)= 0
Vậy nghiệm của phương trình là 
b) x2 – 3 x – 4 = 0 
Giải:
Ta có 	ó x2 + x - 4x – 4 = 0
ó (x2 + x) – (4x + 4) = 0
ó x(x+1) -4 (x+1)= 0
(x+1)(x -4)= 0
 ó 
Vậy nghiệm của phương trình là 
c) (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0
Giải:
Ta có: ó (x2 – 5x – 6) (x2 – 2 x – 3) = 0
ó [(x2 +x) –(6x +6)][ (x2 +x)-(3 x + 3)] =0
ó [x(x +1) –6(x +1)][x (x +1)-3( x + 1)] =0
ó( x - 6)(x +1) (x +1)(x - 3) =0 
ó( x - 6)(x +1)2(x - 3) =0 
ó ó
Vậy nghiệm của phương trình là