Một số bài toán ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9

Một số bài toán ôn tập
Bài 1 : (Đề 16)
	a. Biết các số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, và các số dương x3, x4 là các nghiệm của phương trình bậc hai : cx2 + bx + a = 0, trong đó a và c là các số dương . Với điều kiện nào của a và c thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất ?
	b. Chứng minh rằng nếu cặp giá trị (x, y) nghiệm đúng các phương trình : x2 - 3xy + 2y2 + x - y = 0 (1) và x2 - 2xy + y2 - 5x + 7y = 0 (2) thì cũng nghiệm đúng phương trình : xy - 12x +15 y = 0 (3) .
	c. Cho dãy số nguyên dương lẻ tăng a1 < a2 < a3 < ...< an
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n ³ 1), giữa hai số a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 và a1 + a2 + a3 + ... + an + an+1 bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương k2 . 
Bài 2: (Đề 15)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương trình sau đây vô nghiệm : a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0. 
Bài 3: (Đề 17)
	a.Giải phương trình : 
	b. Giải hệ phương trình : 
Bài 4: (Đề 18)
	a. Chứng minh rằng nếu : thì 
	b. Cho phương trình : (1)
	1. Tìm điều kiện của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt .
	2. Tìm m để bốn nghiệm x1 < x2 < x3 < x4 thỏa mãn điều kiện : x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3
Bài 5: (Đề 19)
	a. Giải phương trình : 
	b. Giải hệ phương trình : 
Bài 6: (Đề 21)
	a. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xz = 0 . Đặt với a, b, c là các số dương . Hỏi a, b, c có thể là các cạnh của một tam giác được hay không ?
	b. Ba số thực a, b, c thỏa mãn : . Chứng minh a, b, c < 0
Bài 7: (Đề 22)
	a. Cho đa thức f(x) = ax4+ bx3 +cx2 + dx + e . Biết rằng với x = 0 và x = 1 thì f(x) là số lẻ, trong đó a, b, c, d, e ẻ Z . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.	
	b. Với số nguyên dương n nào thì các số dương a1, a2, ..., an thỏa mãn hệ phương trình sau : : 	
Bài 8: (Đề 24)
	a. P(2) là giá trị của đa thức P(x) khi x = 2 . Chứng minh rằng P(x) - P(2) chia hết cho x - 2.
	b.Tìm giá trị của đa thức Q(x) khi x = 2, biết giá trị của đa thức P(x) với x = 2 là P(2) = 4 và biết số dư trong phép chia (2x - 5).P(x) + (4x - 1).Q(x) cho x - 2 là 17.
Bài 9: (Đề 26)
Cho ba số a, b, c tùy ý . Chứng minh rằng trong ba số (a - b)2 ; (b - c)2 ; (c - a)2 ít nhất có một số không lớn hơn và khi nào thì số nhỏ nhất trong ba số trên bằng .
Bài 10: (Đề 28)
	a. Cho phương trình 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1) . Chứng minh rằng khi (1) có nghiệm thì hai nghiệm của nó thỏa mãn bất đẳng thức : .
	b. Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số lấy giá trị là số thực khác 0. Biết rằng với mọi số thực x khác 0. Tính giá trị của f(2) .
Bài 11: (Đề 29)
	a. Tìm số nguyên x sao cho đa thức 19x + 93 nhận giá trị là số chính phương.
	b. Cho hai phương trình : x2 - (2m + n)x - 3m = 0 và x2 - (m +3n)x - 6 = 0 .Tìm m và n để hai phương trình trên tương đương với nhau .
Bài 12: (Đề 30)
	a. Giải phương trình : 
	b. Tìm a và b sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
	c. Chứng minh rằng nếu phương trình bậc ba : ax3+ bx2 + cx + d = 0 có hai nghiệm thực thì tích hai nghiệm đó không nhỏ hơn .
Bài 13: (Đề 32)
	a. Cho a, b, c là ba số khác nhau và c khác 0. Chứng minh rằng nếu các phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = 0 . 
	b. Cho ba số a, b, c thỏa mãn :. Tính tổng M = a + b2 + c3 .
	c. Lập phương trình bậc hai có các hệ số nguyên và có một nghiệm là 
Bài 14: (Đề 33) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số nguyên .
	a. Chứng minh rằng với a, b, c là ba số bất kì thì biệt số D của tam thức trên không thể bằng 1994 và cũng không thể bằng 1995.
	b. Khi tam thức có các hệ số nguyên thay đổi, hãy tìm số D nguyên dương nhỏ nhất mà không là số chính phương . 
Bài 15: (Đề 35) Biết các số dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình : 
Tính giá trị của biểu thức : xy + 2yz + 3 xz . 
Bài 16: (Đề 15)
	1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn . Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lượt ở D, E, F .Chứng minh :
	a. EF // BC; DF // AC và DE // AB
	b. CT = TA + TB
	c. Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, Bn, và CP với đường tròn nhỏ . Chứng minh CP = AM + BN.
	2. Cho đường tròn tâm O và tiếp tuyến PN (N là tiếp điểm). Gọi M là trung điểm đoạn PN. Đường tròn tâm O1 qua P và M cắt đường tròn tâm O ở A và B .Đường thẳng BA cắt PN ở Q.
Chứng minh MQ : QN : PM : PQ = 1 : 2 : 3 : 4
Bài 17: (Đề 17) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C . Gọi AH và BI là các đường cao của tam giác .
	a. Chứng minh HI // d
	b. Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đường thẳng d . Chứng minh MN = EF.
Bài 18: (Đề 19) Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn tại T sao cho T là trung điểm của đoạn AB, P là một điểm trên đoạn BT (P không trùng với B và T). Từ P kẻ tiếp tuyến PMN với đường tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N . NB cắt đường tròn (O) ở E , AM cắt đường tròn (O) ở I, IE cắt AB ở F . Chứng minh AF = BP. 	
Bài 19: (Đề 23)
	1. Một hình vuông AMKE nội tiếp tam giác vuông ABC sao cho K thuộc cạnh huyền BC ; E, M thuộc các cạnh góc vuông CA và AB . Các cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo tỉ số . Tính các góc của tam giác .
	2. Cho hình vuông ABCD tâm O . Gọi K, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và F là trung điểm của NC. Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD tại G. Chứng minh FG là tiếp tuyến đường tròn tâm O nội tiếp trong hình vuông.
	3. Trên một đường tròn viết 1994 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng lièn trước và sau nó . Chứng minh tất cả các số đó bằng nhau. 
Bài 20: (Đề 24) 
Hình thang ABCD ngoại tiếp một đường tròn với hai cạnh bên AD và BC không song song . Các đáy AB và CD tiếp xúc với đường tròn lần lượt ở M và N . Trên cạnh AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB . Chứng minh các đường thẳng AD, BC, NM' đồng qui. 
Bài 21: (Đề 25) 
Cho tam giác tam giác vuông cân (AB = AC) . M là một điểm trên cạnh BC khác hai điểm B và C và khác trung điểm của BC, kẻ MP // AC, MQ // AB (PẻAB, QẻAC) . Đường thẳng qua A song song PQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai R. Tính góc ARM.
Bài 22: (Đề 26) 
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn tam O bán kính R ta kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC .
Chứng minh rằng: PC cắt AH tại trung điểm của AH.
Tính AH theo R và PO = d
Bài 23: (Đề 28) 
Cho tam giác ABC vuông ở B nội tiếp đường tròn tâm O . Trên tia đối của tia BA lấy điểm B sao cho AD = 3AB . Đường thẳng Dy vuông góc với CD tại D và cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O tại E. Tam giác BDE là tam giác gì ? vì sao ?
Bài 24: (Đề 30)
 Một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh A và B của tam giác ABC cắt các cạnh AC và BC của tam giác ABC lần lượt tại D và E . Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và CDE cắt nhau tại hai điểm phân biệt là C và M . Chứng minh góc OMC = 900 .
Bài 25: (Đề 35) Cho đường tròn tâm O, dây cung AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Qua M kẻ dây cung thay đổi cắt dây cung AB ở P và cắt đường tròn tại Q.
Chứng minh rằng các đường thẳng MA và MB theo thứ tự là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ.
Chứng minh rằng khi dây cung kẻ qua M thay đổi thì tổng hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác apq và bpq không đổi. 
1001 bài toán
Bài 26(Bài 922) Cho tam giác ABC có phân giác AD.
Chứng minh hệ thức : AD2 = AB.AC – DB.DC
Tính độ dài AD theo độ dài ba cạnh a, b, c của tam giác .
Bài 27 (Bài 923) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên cung BC không chứa A, D khác B và C . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D lên các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi P là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh:
Ba điểm H, I, K thẳng hàng .
Đường thẳng Hk đi qua trung điểm của đoạn DP.
Bài 28 : (Bài 924)
 Cho tam giác ABC cân tại A . Một đường tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC . Tiếp tuyến d của đường tròn (O) cắt AB tại P và cắt AC tại Q .
Chứng minh : BC2 = 4BP.CQ 
Ngược lại : chứng minh rằng nếu BC2 = 4BP.CQ thì đoạn thẳng PQ tiếp xúc với đường tròn tâm (O) (P thuộc AB, Q thuộc AC) 
Bài 29: (Bài 935) 
Cho tam giác ABC .Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt các tia CA, CB tương ứng tại điểm M và N. Chứng minh :
Điểm M nằm giữa hai điểm C và A, điểm N nằm giữa hai điểm C và B.
Bài 30: (Bài 952) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O . Cho biết phân giác của các góc và cắt nhau tại điểm E thuộc cạnh CD.
Chứng minh : AD + BC = CD
Cho biết . Tính 
Bài 31: (Bài 956) 
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các đường cao AD, BE, CF . Gọi I là trực tâm .
Chứng minh rằng : I là tâm đường tròn (I;r1) nội tiếp tam giác DEF.
Chứng minh rằng : SABC = (DE + EF + FD)
Chứng minh rằng :
Bài 32: (Bài 963) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có Â = 450 , có BC = a . Vẽ các đường cao BB’, CC’ . Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.
Chứng minh tứ giác AB’O’C’ nội tiếp đường tròn;
Tính B’C’ theo a 
Bài 32 : (Bài 966) Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC . Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI.
Chứng minh hai tam giác BIC và AOH dồng dạng 
Chứng minh AO vuông góc với BI.
Bài 33: (Bài 970) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng các đường tròn (O) và (O’) có đường kính tương ứng là AB và AC, các đường tròn này cắt nhau tại A và D.
Chứng minh rằng B, C, D thẳng hàng, suy ra hệ thức : ;
Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD ; AM cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh tam giác ABE cân;
Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh góc OIO’ = 900 . 
các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9
Bài 1: (T - 32)
Cho hai số dương a, b . Chứng minh rằng 
Bài 2: (T - 33) Chứng minh rằng : 
Bài 3: (T - 36) Cho . Chứng minh rằng : 
Bài 4:(T - 36) 
Chứng minh rằng phương trình x5 + x +1 = 0 có nghiệm duy nhất là : 
Bài 5 : (T - 36) Rút gọn biểu thức sau: 
Bài 6: (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau : 
Bài 7 (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau : 
Bài 8: (T -23) Chứng minh rằng số : là một nghiệm của phương trình : x4 – 16x2 + 32 = 0
Bài 9: (T - 37) Chứng minh rằng số là một nghiệm của phương trình : x3 – 3x – 18 = 0. Từ đó hãy tìm x.
Bài 10 : (T - 37) Chứng minh rằng số là một số nguyên.
Bài 11: (T - 37) Chứng minh rằng với x > thì số sau đây là một số nguyên : 
Bài 12: (T - 37) Chứng minh rằng : 
Bài 13: (T – 37) Cho . Tính P = x3 +3x +2
Bài 14: (T - 37) Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2x3 +2x2 + 1 với 
Bài 15: (T - 38) Tính tổng S = a1+ a2 + a3 +  +a99 với vói n = 1, ., 99
Bài 16: (T -38) Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy số a1, a2,, ak, .với 
là số nguyên. Tìm tất cả các giá trị của n để an chia hết cho 3.
Bài 17: (T - 48) Chứng minh rằng nếu số nguyên dương a không phải là lũy thừa bậc n của bất kỳ số tự nhiên nào, trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2, thì là một số vô tỉ.
Bài 18: (T - 48) Cho hai số hữu tỉ tùy ý r và s. Chứng minh rằng nếu r và s không đồng thời bằng 0 thì là một số vô tỉ.
Bài 19 : (T - 50) Giả sử a, b là các số hữu tỉ dương, không phải là bình phương của bất kì số hữu tỉ nào. Chứng minh rằng nếu r và s là hai số hữu tỉ sao cho là một số hữu tỉ thì t = 0.
Bài 21(T - 51) Cho các số hữu tỉ a, b, c, m, n . Chứng minh rằng nếu : x = m + nlà một nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thì x = m - ncũng là nghiệm của phương trình đó .
Bài 22: (T - 51)
Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho là nghiệm của phương trình: x3 + ax2 + bx + 1 = 0
Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình (1) ứng với a, b vừa tìm được . Đặt Sn = x1n + x2n + x3n . Chứng minh rằng Sn ẻ Z với mọi số tự nhiên n tùy ý .
Bài 23 : (T - 52) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận làm nghiệm.
Bài 24: (T - 52) Giả sử a, b là hai số hữu tỉ dương, ngoài ra b không phải là bình phương của bất kì số hữu tỉ nào . Chứng minh rằng nếu tồn tại hai số hữu tỉ c và d sao cho thì a2 – b là một số hữu tỉ . Điều ngược lại có đúng không ? 
Bài 25 : (T - 66) Giải các phương trình sau :
x4 + (x – 1)(x2 - 2x + 2) = 0 
x3 + x2 + x = 
2000(2001 – 2000x2)2 = 2001 – x 
Bài 26: (T - 73) Giả sử các phương trình x2 + px + 1 = 0 và x2 + qx + 2 = 0 có các nghiệm lần lượt là a, b và c, b . Chứng tỏ rằng (b – a)(b – c) = pq – 6 
Bài 27 (T -74) Biết rằng m ≠ 0 và phương trình mx2 + px + q = 0 (1) có hai nghiệm dương x1, x2 . Chứng minh rằng :
Phương trình qx2 + px + m = 0 (2) cũng có hai nghiệm dương x3, x4 ;
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
Bài 28(T - 76): Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phương trình x3 + px + q = 0 (p, q ẻ R).Chứng minh rằng : x13+ x23 + x33	 = 3x1 x2 x3
Bài 29 (T - 76) Trình bày cách giải phương trình bậc ba x3 + px2 + qx + r = 0 biết rằng giữa các nghiệm x1, x2, x3 của nó có mối liên hệ x1 = x2 + x3.
Bài 30(T - 77) : Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + px – 1 = 0 với là số nguyên lẻ . Chứng minh rằng : với số tự nhiên n tùy ý, các số Sn = x1n+ x2n	và Sn + 1 = x1n + 1+ x2n + 1 là những số nguyên và nguyên tố cùng nhau.
Bài 31(T77) Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho các nghiệm của phương trình x2 – m(n + 1)x + m + n +1 = 0 cũng là số tự nhiên.
Bài 32 (T77) Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 – 6x + 1 = 0. Chứng minh rằng : Với số n tùy ý, số Sn = x1n+ x2n là số nguyên và không là bội của 5.
Bài 33(T77) Chứng minh rằng a1a2 ≥ 2(b1 + b2) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm x2 + a1x + b1 = 0 (1), x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Bài 34(T77) Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 – ax + 1 = 0
Hãy tính S7 = x17 + x27 
Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số nguyên nhận số là nghiệm .
Bài 35(T78): Cho a, b là các số dương . Biết rằng phương trình x3 – x2 + 3x – b = 0 có ba nghiệm (không nhất thiết phân biệt) . Chứng minh rằng : 
Bài 36(T78) Giả sử là một số nguyên tố có ba chữ số . Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỉ .
Bài 37(T78) Cho phương trình bậc ba : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a khác 0) có ba nghiệm dương là x1, x2, x3 . Chứng minh rằng x17+ x27 + x37 ≥ 
Bài 38(T94) Giải các phương trình sau 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
g. 
h. 
i. 
k. 
l. 
m. 
n. 
o. 
Bài 39(T150) Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + ax + b . Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b trong ba số có ít nhất một số lớn hơn hay bằng .
Bài 40 (T153) Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình . Chứng minh rằng .
Bài 41 (T154) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x, y thì .
Bài 42 (T155) Cho ba số thực x, y, z bất kì . Chứng minh rằng .
Bài 43 (T156) Với a, b, c là ba số dương bất kì, hãy chứng minh rằng Bài 44 (T156) Cho a, b, c ẻ [0; 2] có tổng a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ 5 . 
Bài 45 (T156) Chứng minh rằng nếu x, y nguyên dương thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai :
 và 
Bài 46 (T157) Chứng minh rằng nếu phương trình 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 có nghiệm thì 
4c2 ≥ 3(a2 +b2) – ab
Bài 47 (T157) Cho x, y là hai số thực và x, y > . Chứng minh rằng x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 > x2 + y2
Bài 48 (T159) Giả sử các số thực x, y, z đều lớn hơn –1 và thỏa mãn điều kiện : x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2. Chứng minh rằng : x5+ y5 + z5 ≥ x2 + y2 + z2.
Bài 49 (T159) Cho a, b, c ẻ [0; 1]. Chứng minh rằng a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1
Bài 50 (T159) Cho x, y, z ẻ [0; 2] . Chứng minh rằng 2(x + y + z) – (xy + yz + zx) ≤ 4 
Bài 51 (T159) Cho x + y + z = 0 và x, y, z ẻ [-1;1] . Chứng minh rằng : x2 + y4 + z6 ≤ 2.
Bài 52 (T159) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương m, n thỏa mãn bất đẳng thức : thì .
Bài 53 (T159) Hãy xét xem khẳng định sau đúng hay sai : “Với mọi số nguyên dương m, n thì ” ?
Bài 54 (T175) Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện thì abc 
Bài 55 (T177) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì :.
Bài 56 (T177). Cho các số không âm x, y thỏa mãn điều kiện x3 + y3 = 2. Chứng minh rằng x2 + y2 ≤ 2.
Bài 57 (T177). Cho x, y ≥ 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng 
Bài 58 (T180). Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng 
Bài 59 (T180). Chứng minh rằng nếu a, b là các số dương và a + b = 1 thì 
Bài 60 (T181). Cho n số dương bất kì a1, a2, , an > 0 . 
Chứng minh rằng : (1 + a1)(1 + a2)  (1 + an) 
Bài 61 (T181). Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng 
Bài 62 (T181). Cho a, b, c, d > 0 và c2 + d2 = (a2 + b2)3 . Chứng minh rằng 
Bài 63 (T182). Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
3abc(a + b + c) ≤ 1
Nếu a, b, c dương thì 
Bài 64 (T199). Ba số không âm a, b, c thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện a, b, c ≤ 1; a + b + c = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2.
Bài 65 (T200). Cho a, b dương cố định : x, y là hai số dương thay đổi sao cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P = xy
Q=x + y 
Bài 66 (T200). Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 67 (T201). Cho x, y thay đổi sao cho 0 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y) 
Bài 68 (T201). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó a > 0 cho trước, x là số thực thay đổi (x ≠ - a).
Bài 69 (T202). Cho x2 + y2 + z2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 70 (T202). Xét các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn xy + 4zt +2yz + 2xt = xy + 4zt +2yz + 2xt = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Bài 71(218) Xác định các số thực p, q sao cho đa thức x4 + 1 chia hết cho đa thức x2 + ax + q.
Bài 72 (T221) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng nếu với mọi x ẻ[-1; 1], thì .