Luyện thi Đại học 2012 - Chuyên đề Khảo sát hàm số - Lê Bá Bảo

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
Chủ đề 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ 
I- LÝ THUYẾT: 
1- Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên ( );a b ( có thể a là -¥ , b là 
+¥ ) và điểm ( )0 ;x a bÎ . 
a. Nếu tồn tại số 0h > sao cho 0( ) ( )f x f x< với mọi ( )0 0;x x h x hÎ - + và 0x x¹ thì 
ta nói hàm số ( )f x đạt cực đại tại 0x . 
b. Nếu tồn tại số 0h > sao cho 0( ) ( )f x f x> với mọi ( )0 0;x x h x hÎ - + và 0x x¹ thì 
ta nói hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . 
2- Chú ý: 
a. Nếu hàm số ( )f x đạt cực đại ( cực tiểu) tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại ( điểm 
cực tiểu) của hàm số; 0( )f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, 
kí hiệu là C§ ( )CTf f , còn điểm ( )0 0 0; ( )M x f x được gọi là điểm cực đại (điểm cực 
tiểu) của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 
Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực 
trị của hàm số. 
3- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: 
3-1. Định lý: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x và đạt cực trị tại đó thì ( )/ 0 0f x = 
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm 0x mà ( )/ 0 0f x ¹ thì 0x không phải là điểm 
cực trị của hàm số. Nếu ( )/ 0 0f x = thì chưa thể khẳng định 0x là điểm cực trị. 
3-2. Định lý: (DẤU HIỆU I) 
 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trong khoảng ( );a b và ( ) ( )/ 0 00, ;f x x a b= Î . 
a. Nếu qua 0x đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là 
/
0( ) 0, f x x x< " < và 
/
0( ) 0, f x x x> " > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . 
b. Nếu qua 0x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm , tức là
/
0( ) 0, f x x x> " > và 
/
0( ) 0, f x x x< " < thì hàm số đạt cực đại tại 0x . 
 3-3. Định lý: (DẤU HIỆU II) 
 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trong khoảng ( );a b và ( ) ( )/ 0 00, ;f x x a b= Î . 
a. Nếu // 0( ) 0f x < thì hàm số đạt cực đại tại 0x . 
b. Nếu // 0( ) 0f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . 
x a b
f / (x)
f(x)
x 0
0+ -
CD
CT
- +0
x 0
f(x)
f / (x)
bax
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
4- Một số nhận xét quan trọng: 
a. Nếu 0x là điểm cực trị thì ( )/ 0 0f x = . Nói cách khác 0x là nghiệm của phương trình 
( )/ 0f x = . Hay ( ) ( )/ /§ 0 C CTf x f x= = 
b. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: 
QUY TẮC I QUY TẮC II 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính ( )/f x . Xác định các điểm tới 
hạn. 
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận. 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính ( )/f x . Giải phương trình 
( )/ 0f x = và kí hiệu ix ( 1, 2,...i = ) là các 
nghiệm của nó. 
Bước 3: Tính ( )//f x và ( )// if x . Kết luận 
II- CÁC DẠNG TOÁN: 
DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
( ) ( )a) b) 2 c) 3y x y x x y x x= = + = - 
Bài giải: 
a) y x= 
TXĐ: D R= 
Ta có: 
 khi 0
 khi 0
x x
y x
x x
³ì
= = í- <î
. Suy ra: /
1 khi 0
1 khi 0
x
y
x
>ì
= í- <î
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x = và (0) 0f = . 
b) ( )2 y x x= + 
TXĐ: D = 
Ta có: ( )
( )
( )
2 khi 0
2
2 khi 0
x x x
y x x
x x x
ì + ³ï= + = í
- + <ïî
. Suy ra: /
2 2 khi 0
2 2 khi 0
x x
y
x x
+ >ì
= í- - <î
/ 0 1y x= Û = - . Hàm số liên tục tại 0x = , không có đạo hàm tại 0x = . 
Bảng biến thiên: 
0
0
f(x)
f/(x)
x
0
0
1
_+ +
-1
0
f(x)
f'(x)
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm 1x = - và ( 1) 1f - = . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x = 
và (0) 0f = . 
c) ( )3y x x= - 
TXĐ: D R= 
Ta có: ( )
( )
( )
3 khi 0
3
3 khi 0
x x x
y x x
x x x
ì - ³ï= - = í
- - <ïî
. Suy ra: 
( )
/
3 1
 khi 0
2
3 khi 0
2
x
x
xy
x x x
x
ì -
>ïï= í
-ï + - <ï -î
/ 0 1y x= Û = . 
Hàm số liên tục tại 0x = , không có đạo hàm tại 0x = . 
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm 0x = và (0) 0f = . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1x = 
và (1) 2f = - . 
Bài tập 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2 3 2a) 4 b) 2 3 c) 3y x x y x x y x x= - = - - = - + 
Bài giải: 
a) 24y x x= - 
TXĐ: [ ]2;2D = - 
Ta có: ( )
2
/ /
2
24 2 , 2;2 0
4 2
xxy x y
x x
é =-
= Î - Þ = Û ê
- = -êë
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = - và ( )2 2f - = - . Hàm số đạt cực đại tại điểm 
2x = và ( )2 2f = . 
x
f'(x)
f(x)
0
1
++ _
0
0
-2
2
-2
0
0 _
2- 2 2-2x
f'(x)
f(x)
0 +_
0
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
b) 22 3y x x= - - 
TXĐ: ( ); 3 3;D ù é= -¥ - È +¥û ë 
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
/ /
2
2 3
2 , ; 3 3; 0 2
; 3 3;3
x xxy x y x
xx
ì - =ï= - Î -¥ - È +¥ Þ = Û Û =í
Î -¥ - È +¥- ïî
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = và ( )2 3f = . Hàm số không có cực đại. 
b) 3 23y x x= - + 
TXĐ: ( ];3D = -¥ 
Ta có: 
( ) ( ) { }
( ) { }
2 2
/ /
3
3 2 2 0
, ;3 \ 0 0 2
;3 \ 02 3
x x x x
y x y x
xx x
- - ì - =ï= Î -¥ Þ = Û Û =í Î -¥- + ïî
Hàm số không tồn tại đạo hàm tại 0, 3 x x= = . 
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = và ( )2 3f = . Hàm số không có cực đại. 
Bài tập 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
( )a) =2sin2 3 b) 3 2cos cos 2y f x x y x x= - = - - 
Bài giải: 
a) ( ) =2sin2 3y f x x= - 
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . 
Ta có: ( )/ 4 2 0
4 2
cos y x x k kp p= = Û = + Î và // 8sin 2y x= - . 
Lúc đó: //
8 2
8sin
8 2 14 2 2
 khi 
 khi 
k n
y k k
k n
p p p p
- =ìæ ö æ ö+ = - + = íç ÷ ç ÷ = +è ø è ø î
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 2
4 2 4 2 4
x k n np p p p p p= + = + = + và 1
4
y np pæ ö+ = -ç ÷è ø
0
23x
f'(x)
f(x)
- 3
++ _
3
0
_
3
2
0
0
_ +
2
0
f(x)
f'(x)
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
và hàm số đạt cực tiểu tại các điểm ( )2 1
4 2 4 2
x k np p p p= + = + + và ( )2 1 5
4 2
y np pé ù+ + = -ê úë û
. 
b) 3 2cos cos 2y x x= - - 
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . 
Ta có: 
( )/ /
sin 0
2 22sin 2sin 2 2sin 1 2 0 0 31 2 0
2 2
3
cos
cos
x x k
x ky x x x x y
x
x k
p
p p
p p
= Û =é
ê éê = +ê= + = + Þ = Û ê + = Û êê êê = - +êëë
và // 2cos 4cos 2y x x= + . 
Lúc đó: // 2 22 6cos 3 0
3 3
y kp ppæ ö± + = = - <ç ÷è ø
 và ( )// 2cos 4 0, y k k kp p= + > " Î . 
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 2 2
3
x kp p= ± + và 2 92
3 2
y kp pæ ö± + =ç ÷è ø
và hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x kp= và ( ) ( )2 1 cosy k kp p= - . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
1) Tìm cực trị của các hàm số sau: 
4
3 2 2
5 3 2
1 4 4a) ( ) 3 b) ( ) 3 c) ( ) 2 6 
3 3 4
2 1 3 3d) ( ) e) ( ) +2 f) ( ) 
1 5 3 1
= - - + = + - = - +
- - +
= = - =
+ -
xf x x x x f x x f x x
x
x x x x xf x f x f x
x x
2) Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
5 3
a) ( ) 2sin2 3 b) ( ) 4 c) ( ) 8 d) ( ) sin2 2
e) ( ) 3 2cos cos2 f) 2 1 g) ( ) sin cos
f x x f x x x f x x f x x x
f x x x y x x x f x x x
= - = - = - = - +
= - - = - - + = +
DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài tập 1: Tìm m để hàm số ( )3 23 1 1y mx mx m x= + - - - có cực trị. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: / 23 6 1y mx mx m= + - + . 
Hàm số có cực trị / 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. 
 TH1: /0 1 0 m y x= Þ = > " Î nên hàm số không có cực trị. 
 TH2: 0m ¹ . Yêu cầu ( )/ 2 10 12 3 0 ;0 ;4y m m m
æ öÛ D > Û - > Û Î -¥ È +¥ç ÷è ø
. 
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là: ( ) 1;0 ;
4
m æ öÎ -¥ È +¥ç ÷è ø
. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số ( )
2 1 1
1
x m x
y
mx
+ - +
=
-
 có cực trị. 
Bài giải: 
* Với 20 1m y x x= Þ = - + - , ta thấy hàm số đạt cực đại tại 1
2
x = . Suy ra giá trị 0m = thỏa 
bài toán. 
* Với 0m ¹ Þ TXĐ: 1\D R
m
ì ü= í ý
î þ
. 
Ta có: 
( )
2
/
2
2 1 2
1
mx x my
mx
- + -
=
-
. Đặt 2( ) 2 1 2g x mx x m= - + - . 
Hàm số có cực trị / 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt 1
m
¹ . 
y.c.b.t 
( )
2
0 1 1 2 0
2 1 0,1 10 1 2 0
g m m
m m m
g m
m m
D >ì ì - - >
ï ïÛ Û Û - + > "í íæ ö ¹ - + - ¹ç ÷ï ïîè øî
Kết luận: Vậy hàm số có cực trị với mọi m . 
Bài tập 3: Cho hàm số ( )4 3 24 3 1 1y x mx m x= + + + + . Tìm m để: 
 a) Hàm số có 3 cực trị. b) Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: ( ) ( )/ 3 2 24 12 6 1 4 12 6 6y x mx m x x x mx m= + + + = + + + 
2
/ ( ) 4 12 6 6 00
0
g x x mx m
y
x
é = + + + =
= Û ê =ë
a) Hàm số có 3 cực trị / 0yÛ = có 3 nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua 3 nghiệm đó. 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt 0¹ 
y.c.b.t ( ) { }
20 3 3 2 2 0 1 7 1 7; ; \ 1
3 3(0) 0 6 6 0
g m m m
g m
ìD > æ ö æ ö- - >ì - +ïÛ Û Û Î -¥ È +¥ -ç ÷ ç ÷í í¹ + ¹î ï è ø è øî
b) Để ý rằng: 
 * Nếu phương trình ( ) 0g x = vô nghiệm thì ( ) 0, g x x> " Î , nên 0x = là điểm cực 
tiểu và hàm số không cực đại. 
 * Nếu phương trình ( ) 0g x = có nghiệm kép thì ( ) 0, g x x³ " Î , nên 0x = là điểm 
cực tiểu và hàm số không cực đại. ( do sự thay đổi dấu của /y ) 
Theo nhận xét trên thì yêu cầu bài toán 2 1 7 1 70 3 2 2 0
3 3g
m m m- +Û D £ Û - - £ Û £ £ 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 
Bài tập 4: Tìm m để hàm số 22 2 4 5y x m x x= - + + - + có cực đại. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: 
( )
/ //
2 32
22 . ,
4 5 4 5
x my m y
x x x x
-
= - + =
- + - +
. 
 * Nếu 0m = thì 2 0, y x= - < " Î nên hàm số không có cực trị. 
 * Nếu 0m ¹ , để ý, vì dấu của //y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực đại thì 
trước hết // 0 0y m< Û < . 
Khi đó hàm số có cực đại / 0yÛ = có nghiệm. 
Ta có: ( ) ( )2/ 0 2 2 1 2 (1)y x m x= Û - + = - 
Đặt 2t x= - thì (1) trở thành: ( )
2
2 2 2
2
00 0 )
2 1 14 1
4
 ( do tt m
mt t
m t t
m
£ì£ <ìï ï= + Û Ûí í- = =ï ïî -î
Þ (1) có nghiệm 2 4 0 2 0 ( do )m m m- > Û < - < . 
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là 2m < - . 
Bài tập 5: 
 1) Xác định giá trị tham số m để hàm số 
2 1( ) x mxy f x
x m
+ +
= =
+
 đạt cực đại tại 2.x = 
 2) Xác định giá trị tham số m để hàm số 3 2( ) ( 3) 1f x x m x m= + + + - đạt cực đại tại 1.x = - 
Bài giải: 
1) TXĐ: { }\D R m= - 
Ta có: 
( )
2 2
/
2
2 1( ) x mx mf x
x m
+ + -
=
+
Cách 1: Hàm số đạt cực đại tại / 2
1
2 (2) 0 4 3 0
3
m
x f m m
m
= -é
= Þ = Û + + = Û ê = -ë
Với 3m = - , ta có: 
( )
( )
2
2
6 8 3
3
x xy x
x
- ... đều trục tung Û phương trình / 0y = hay ( ) 0g x = có 
hai nghiệm phân biệt 1 2, x x và 1 2 0x x+ = 
Yêu cầu bài toán 
2
1 2
72 0 0
0 0 0
3
g
a a
ax x a
ì + > "D >ì ïÛ Ûí í
+ = - = Û =î ïî
Kết luận: Vậy 0a = là yêu cầu bài toán. 
Bài tập 3: Cho hàm số ( )3 26 3 2 6.y x x m x m= - + + - - Xác định m để đồ thị hàm số có hai 
điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: ( )/ 23 12 3 2y x x m= - + + . 
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm cách đều trục tung Û phương trình / 0y = có hai nghiệm 
phân biệt 1 2, x x : 
Y.c.b.t ( )/ 36 9 2 0 2 0 2 (*)m m mÛ D = - + > Û - > Û < . 
* Biểu diễn: ( )/ 2. 2 2 2
3
xy y m x m-æ ö= + - + -ç ÷è ø
Gọi 0x là điểm cực trị của hàm số, suy ra: 
( ) ( ) ( ) ( )/ /00 0 0 0 0
2. 2 2 2 2 2 2 ( do 0 ) 
3
xy y x m x m m x m y x-æ ö= + - + - = - + - =ç ÷è ø
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 12 
Như vậy: ( )0 02 2 2y m x m= - + - . 
Hàm số đạt cực trị tại các điểm 1 2, x x suy ra: 
( )
( )
1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
y m x m
y m x m
ì = - + -ï
í
= - + -ïî
. 
Để ý, do 1 2, x x là nghiệm của phương trình 
/ 0y = nên theo định lí Vi-et, ta có: 
 1 2
1 2
4
. 2
x x
x x m
+ =ì
í = +î
 (**) 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục hoành 1 2. 0.y yÛ > 
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 0
2 4 2 1 0 (1)
m x m m x m
m x x x x
Û é - + - ù é - + - ù >ë û ë û
Û + é + + + ù >ë û
Thay (**) vào (1) ta được: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2 4 2 2.4 1 0 2 4 17 0 17
4
m
m m m m
m
¹ -ìï+ é + + + ù > Û + + > Û íë û > -ïî
Đối chiếu với điều kiện (*), các giá trị m cần tìm là: 17 2
4
m- < < . 
Bài tập 1: Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, 
đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: / 34 4y x mx= - 
 /
2
0
0
 (*)
x
y
x m
=é
= Û ê =ë
. 
Hàm số có cực đại và cực tiểu thì / 0y = có ba nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua các 
nghiệm đó Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û 0m > . 
Khi đó: 
4
4 2
0 2
' 0
 2
x y m m
y
x m y m m m
é = Þ = +
= Û ê
= ± Þ = - +êë
. 
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là ( )40, 2A m m+ và 2 điểm cực tiểu là 
( )4 2, 2B m m m m- - + và ( )4 2; 2C m m m m- + . 
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đêu 
AB AC
AB BC
=ìÛ í =î
2 2 4 34 ( 3) 0AB BC m m m m mÛ = Û + = Û - = . 
Kết luận: 3 3m = là giá trị cần tìm. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 13 
Bài tập 1: Cho hàm số 3 23 2y x x= - + . Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3 2y x= - sao tổng 
khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: Tọa độ điểm cực đại là ( )0;2A , điểm cực tiểu (2; 2)B - . 
 Xét biểu thức 3 2P x y= - - 
 Thay tọa độ điểm ( )0;2 4 0AA PÞ = - suy ra: 
. 24 0A BP P = - < . 
Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 3 2y x= - , để MA MB+ nhỏ 
nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng 
 Phương trình đường thẳng AB: 2 2y x= - + 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
4
3 2 4 25 ;
2 2 2 5 5
5
xy x
M
y x y
ì =ï= -ì ï æ öÛ Þí í ç ÷= - + è øî ï =ïî
Bài tập 1: Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3 23 , với m là tham số thực. Xác định m để 
hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 221 £- xx . 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta cã .9)1(63 2/ ++-= xmxy 
+) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i 21, xx 
 Û ph­¬ng tr×nh 0/ =y cã hai nghiÖm pb lµ 21, xx 
 Û Pt 03)1(22 =++- xmx cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ 21, xx . 
ê
ê
ë
é
--<
+->
Û>-+=DÛ
31
31
03)1( 2/
m
m
m )1( 
+) Theo ®Þnh lý Viet ta cã 
î
í
ì
=
+=+
3
)1(2
21
21
xx
mxx
Khi ®ã ( ) ( ) 41214442 22122121 £-+Û£-+Û£- mxxxxxx 
 )2(134)1( 2 ££-Û£+Û mm 
Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ 313 --<£- m vµ .131 £<+- m 
Bài tập 1: Cho hàm số 3 23 3 1y x mx m= - + - - . Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, 
cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng : 8 74 0.d x y+ - = 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có / 23 6y x mx= - + 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 14 
/ 00
2
x
y
x m
=é
= Û ê =ë
Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt Û 0m ¹ . 
Hai điểm cực trị là ( ) ( )30; 3 1 ; 2 ;4 3 1A m B m m m- - - - 
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là ( )3;2 3 1I m m m- - 
Vectơ ( )32 ;4AB m m=

; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (8; 1)u = -

. 
Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d Û 
I d
AB d
Îì
í ^î
Û 
38(2 3 1) 74 0
2
. 0
m m m
m
AB u
ì + - - - =ï Û =í
=ïî
  . 
Kết luận: Vậy giá trị tham số cần tìm là 2m = . 
Bài tập 1: Cho hàm số 3 23 2 (C)y x x= - + . 
Xác định các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) nằm hai phía khác 
nhau của đường tròn ( phía trong và phía ngoài ): 2 2 22 4 5 1 0x y ax ay a+ - - + - = . 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: / 23 6y x x= - . 
 /
0 2
0
2 2
x y
y
x y
= Þ =é
= Û Þê = Þ = -ë
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (0;2), (2; 2)A B - . 
Đường tròn ( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0aC x y ax ay a+ - - + - = . 
* Hai điểm , A B nằm về hai phía của đường tròn ( ) ( ) ( )/ /. 0a aa A C B CC P PÛ < 
( )2 2 2
0, 
35 8 3 5 4 7 0 5 8 3 0 ;1
5a R
a a a a a a a
> " Î
æ ö æ öÛ - + + + < Û - + < Û Îç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
 
Kết luận: Vậy giá trị tham số cần tìm là 3 ;1
5
a æ öÎç ÷è ø
Nhắc: Phương tích của 1 điểm ( );A AA x y với đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ + + + = 
là ( )
2 2
/ 2 2 0A A A AA CP x y ax by c= + + + + = . 
Cách khác: 
 Đường tròn ( )aC có tâm ( );2I a a , bán kính 1.R = 
Ta có: ( ) ( )
2
2 2 2 2 36 62 2 2 5 4 8 5 1
5 5 5
IB a a a a a Ræ ö= - + + = + + = + + ³ > =ç ÷è ø
. 
Þ Điểm B nằm ngoài đường tròn ( )aC . 
Do đó, điểm A nằm phía trong đường tròn ( ) 1aC IA RÛ < = 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 15 
( )22 2 32 2 1 5 8 3 0 ;1
5
a a a a a æ öÛ + - < Û - + < Û Îç ÷è ø
Bài tập 1: Cho hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= - - + - + . 
Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ các điểm 
cực đại, cực tiểu 1 2, x x thỏa 1 22 1x x+ = . 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: ( ) ( )/ 2 2 1 3 2y mx m x m= - - + - . 
Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x : 
Y.c.b.t
( ) ( )2 2/
00 0
 (*)2 6 2 62 4 1 01 3 2 0
2 2
mm m
m mm m m m
¹ì¹ì ¹ìï ïÛ Û Ûí í í - +- + + >D = - - - > < <ï î ïî î
Theo định lí Vi-et đối với phương trình / 0y = : 
( )
( )
1 2
1 2
2 1
 (1)
3 2
. (2)
m
x x
m
m
x x
m
ì -
+ =ïï
í
-ï =ïî
Theo giả thiết: 1 22 1x x+ = (3) 
Từ (1) và (3), thế vào (2) ta được: 
 ( ) ( )23 23 4 2 3 8 4 0 do 0mm m m m m
m m m
-- -æ öæ ö = Û - + = ¹ç ÷ç ÷è øè ø
2
3
2
m
m
é =êÛ ê
=ë
 ( thỏa (*) ). 
Kết luận: Vậy giá trị m cần tìm là 2
3
m = ; 2m = . 
Bài tập 1: Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 7 2 2 2 .y x m x m m x m m= - + + + + - + Viết phương trình 
đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: ( ) ( )/ 2 23 6 1 2 7 2y x m x m m= - + + + + . 
 ( ) ( )/ 2 20 3 6 1 2 7 2 0 (1)y x m x m m= Û - + + + + = 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2/ 2 29 1 6 7 2 0 3 8 1 0
;4 17 4 17;
m m m m m
m
Û D = + - + + > Û - - >
Û Î -¥ - È + +¥
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 16 
* Biểu diễn: ( ) ( )/ 2 3 21 2 2. 8 1 5 3 23 3 3
x my y m m x m m m- -æ ö é ù= + - - - + + + +ç ÷ ê úè ø ë û
Gọi 0x là điểm cực trị của hàm số, suy ra: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
/ 2 3 20
0 0 0
2 3 2 /
0 0
1 2 2. 8 1 5 3 2
3 3 3
2 2 8 1 5 3 2 ( do 0 ) 
3 3
x my y x m m x m m m
m m x m m m y x
- -æ ö é ù= + - - - + + + +ç ÷ ê úë ûè ø
= - - - + + + + =
Như vậy, điểm cực trị ( ) ( ) ( )2 3 20 0 2 2; : 8 1 5 3 23 3x y d y m m x m m mÎ = - - - + + + + . 
Kết luận: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
( ) ( )2 3 22 28 1 5 3 23 3y m m x m m m= - - - + + + + với ( ) ( );4 17 4 17;mÎ -¥ - È + +¥ . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
1) Cho hàm số 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + - + - + - + . Tìm m để hàm số có cực đại và 
cực tiểu tại 1 2, x x sao cho: ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + 
2) Cho hàm số 
2 2
1
x mxy
x
+ +
=
-
. Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 
thuộc 2( ) : 4P y x x= + - 
3) Cho hàm số 
2 ( 1) 1x m x my
x m
+ + + -
=
-
. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT: 
 a. Cùng phía Ox. b. Khác phía Ox c. Cùng phía Oy d. Khác phía Oy 
4) Cho hàm số 
2 3
4
x x my
x
- + +
=
-
. Tìm m để 1 24y y= + với 1 2, y y lần lượt là CĐ, CT của hàm 
số. 
5) Cho hàm số 
22 3x x my
x m
- +
=
-
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thoả 8CD CTy y- > . 
6) Cho hàm số 
2 2 32 (4 1) 32 2
2
mx m x m my
x m
+ + + +
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị 
thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy). 
7) Cho hàm số 
2 ( 1) 4 2
1
x m x my
x
- + + -
=
-
. Xác định m để: 
a. Tích giá trị CĐ và giá trị CT nhỏ nhất. b. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực 
trị. 
8) Cho hàm số 2 3 3my x x
x
= - + + . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng 
minh rằng cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong ( ) 23 1y x= - . 
9) Cho hàm số 4 2( 1) 1y x m x= + + + . a. Tìm m để hàm số có CĐ, CT b. Viết phương 
trình đường cong qua các điểm cực trị của hàm số. 
10) Chứng minh các điểm cực trị của đt hàm số 4 3 21 3 8
4
y x x x x= - - + nằm trên 1 parabol. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 17 
11) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + có các điểm cực đại, cực tiểu lập 
thành một tam giác đều. 
12) Cho hàm số 3 2 23y x x m x m= - + + . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT: 
 a. Nằm hai phía với đường thẳng : 2 5x yD - = . b. Đối xứng qua đường thẳng : 2 5x yD - = . 
13) Cho hàm số: 
2 22( 1) 4
2
x m x m my
x
+ + + +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 
cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. 
14) Cho hàm số: 
2 ( 1) 1
1
x m x my
x
+ + + +
=
+
. Chứng minh rằng: Với mọi m hàm số luôn có cực 
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 .