Kỳ thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Phòng GD & ĐT Thuận An

Phßng GD & §T ThuËn An
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
Năm học 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán lớp 8
 Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
A= ( Với x ¹ 0 ; x ¹ )
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với 
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình:
Câu 3: ( 6 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
x2 - (2x + 3)(x + 5) + 3
x20 + x +1
(x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4
Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
b) Chứng minh 
c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh MAD cân.
d) Tính diện tích MDC theo a.
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
----- Hết -----
Phòng GD –ĐT Thuận An 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
 Năm học 2009-2010
 Môn : Toán lớp 8
 Thời gian làm bài 150 phút
Đáp án 
Gợi ý
Điểm
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
A= ( Với x ¹ 0 ; x ¹ )
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x =
Giải
1) ( 1 điểm ) ĐK: x ¹ 0; x ¹ )
A = = 
= 
2) A=
3
1
Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình:
ĐK : 
Phương trình tương đương 
 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
 Bài 3.(6điểm) 
 x2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x2 - 2x2-13x-15 +3 = -x2-13x -12
=-(x2+x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12)
x20 + x +1 =x20-x2+x2+x+1 =x2(x18-1) +(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
 =x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) 
=(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1]
(x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 =A
Đặt t =x2+y2+1 
Ta có : A = t4 -17t2x2 +16x4 = t4 –t2x2 -16t2x2 +16x4 = t2(t2-x2) -16x2(t2-x2) 
=(t2-x2)(t2-16x2) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x)
= ( x2+y2+1+x) ( x2+y2+1-x)(x2+y2+1-4x)( x2+y2+1+4x)
1
1
1
1
1
1
 Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuông góc với DF.
b) Chứng minh 
c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh MAD cân.
d) Tính diện tích MDC theo a.
a. 
 vuông tại C vuông tại M
Hay CE DF.
b.Xét có 
và 
=> đồng dạng (gg)
=> 
Mà BC =a 
Do đó : 
c.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
 AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
 cân tại A
d. 
Do đó : 
Mà : .
Vậy : .
Trong theo Pitago ta có : 
.
Do đó : 
2
2
2
2
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Giải
Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng 
Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày 
Suy ra : còn ½ cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình .
Mà máy 2 phải cày một mình ½ cánh đồng đó trong 6 ngày 
Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày . 
Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được cánh đồng 
=> 2 ngày , máy 2 cày được : cánh đồng 
Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng 
=> 2 ngày máy 1 cày được cánh đồng 
=> 1 ngày máy 1 cày được cánh đồng 
=> máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày 
Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày .
Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày .
(học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa)
4