Giáo trình bồi dưỡng Toán 8

Phần 1: Ôn tập các bài toán về tam giác
 Phần Hình học 7.
Buổi 1-2: tam giác -với bài toán tìm số đo góc
I/. Cơ sở lý thuyết
	-Tổng các góc trong tam giác bằng 180O
	- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
	- Trong tam giác vuông cạnh góc vuông bằng 1/2 cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh đó bằng 30O
	- Các tính chất về góc của tam giác cân, tam giác đều, cặp tam giác bằng nhau, tính chất phân giác
II/. Một số bài toán
Bài 1: Góc A của tam giác ABC bằng 75O. Từ đỉnh A, người ta vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M. Đoạn thẳng AM cùng với các yếu tố của tam giác tạo thành 2 tam giác cân. Tính các góc B và góc C của tam giác,
Hướng dẫn giải:
	Từ giải thiết của bài toán ta có các khẵng định sau:
a, Các tam giác AMB và AMC không cùng cân tại M vì nếu không thì AM = MB = MC Suy ra tam giác ABC vuông tại A Trái giả thiết.
b, Các tam giác AMB và AMC không cùng cân tại A vì nếu không thì AM = AB = AC Suy ra A, B, C, M thuộc đường tròn tâm A, Trái giả thiết.
c, Tam giác AMB không thể cân tại B và tam giác AMC không thể cân tại C. Vì nếu không thì AB=AM và AC=CM. Suy ra AB+BC =BC tức là không tồn tại tam giác ABC.
 A
 1 2
 B M C 
 A Hình 1
 1 2
 B M C
	Hình 2
Vậy: DAMC cân tại M và DAMB cân tại A. 
Hoặc: DAMC cân tại M và DAMB cân tại B
* Trường hợp DAMC cân tại M (AB<AC)và 
DAMB cân tại A (Hình 1)
Trên hình 1:
 éA2=éC Vậy éB=éAMB = éA2+éC =2éC 
Suy ra
éC=(180O-75O) : 3 =35O Và éB=75O
* Trường hợp:DAMC cân tại M (AB<AC) và 
DAMB cân tại B
Trên hình 2: éA1=éAMB = 2éC
éA=éA1+éA2 = 3éC. Vậy éC=25O và éB = 80O
Bài 2: Đường cao của một tam giác vuông Hạ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn mà hiệu của hai đoạn này bằng một trong hai cạnh góc vuông. 
Tính các góc của tam giác.
 A
 B H D C 
Hướng dẫn giải:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia
BC thành hai đoạn BH và HC mà HC-HB=AB
Trên tia đối của tia HB lấy D sao cho HD=HB. Ta có DC=AB
DADB là tam giác cân tại A nên DA=BA và tam giác ADC
Là tam giác cân tại D
Suy ra éB= éBDA=éDAC+éC=2éC . Suy ra 3éC=90O
Suy ra éC = 30O và éB=60O
Bài 3: Trong một tam giác đường cao đường trung tuyến phát xuất từ một đỉnh chia góc ở đỉnh ấy ra làm 3 phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác.
Hướng dẫn giải:
 A
 I
 B M H C 
+ DAMC là tam giác cân (vì AH vừa là đường cao, 
vừa là đường phân giác)
=> MH=HC. Từ M kẻ MI vuông góc với AB 
Từ các tam giác bằng nhau AMI và AMH ta có
MH=MI. Từ đó MI=1/2 MB .
Vậy éMBI = 30O và éC= 60O, éA=90O 
Bài 4: Biết số đo góc ở đỉnh A của tam giác cân ABC bằng 100O M là mọt điểm thuọc miền trong của tam giác ấy vớiéMBC=10O, éMCB=20O Tính góc AMB?
Hướng dẫn giải
 E
 A
 M
 B C
Từ giả thiết của đề bài ta có: éABC=éACB=40O 
suy ra BC > CA. Trên tia CA lấy E sao cho CE=CB. Dễ suy ra
DMBC=DMCE => ME=MB và éMEC = 10O. Mặt khác
DBCE cân tại C với góc ở đỉnh C bằng 40O=>éCEB=70O
=> éMEB=60O vậy tam giác MEB đều. 
Mặt khác dể thấy BA là phân giác éEBM=> DEBA=DMBA
=>éAMB = éAEB = 70O
III/. Bài tập về nhà
	Bài 1: Biết các góc ở đáy của tam giác cân là éA=éC=80O Từ A và C người ta kễ các đường thẳng cắt các cạnh đối diện ở D và E sao cho éCAD=60O, éACE=50O. Tính éADE?
	Bài 2: Trong tam giác ABC cân tại C. Kẻ trung tuyến CM và phân giác AD. Tính các góc của tam giác, biết độ dài đường phân giác AD gấp đôi độ dài đường trung tuyến CM
	Bài 3: Trong tam giác ABC biết các đườgn cao hạ từ A và B xuống các cạnh đối diện không nhỏ hơn các cạnh đối diện đó. Tính các góc của tam giác.
Buổi 3-4: Tam giác với bài toán về đoạn thẳng.
I/. Cơ sở lý thuyết
	- Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
	- Quan hệ về các yếu tố trong tam giác, Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
	- Quan hệ các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau.
II/. Một số bài toán
 A
 B 
 D N 
 M E 
 C
	Bài 1: Từ trung điểm D của cạnh BC của tam giác, người ta kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc A. Đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại M Và N. Chứng minh rằng: a, BM=CN. b, Tính AM và BM theo AC=b và Ab=c. 
	Hướng dẫn giải
a, Từ B kẻ BE//AC cắt MN tại E
Khi đó DDBE=DDCN (g.c.g) =>BE=CN.
Dễ cm DMBE cân tại B =>BM=CN(=BE)
b, Ta có AM=AB+BM và AN=AC- CN, mặt khác AM=AN
và BM=CN=>2AM=AB+AC
Hay AM = (AB+AC):2=> AM=(b+c):2.
Nếu AB<AC thì BM=AM-AB = (b+c):2- c
Nếu AB>AC thì BM=AB-AM = c - (b+c):2 
	Bài 2: Gọi a,b,c lần lượt là 3 cạnh của tam giác có 3 đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Chứng minh rằng: ≥ 4
Hướng dẫn giải:
 A
 c D
 b
B E
 a 
 C 
Vẽ tam giác ABC có các cạnh lần lượt là AB = c; AC = b; BC=a với các đường cao tương ứng là ha, hb, hc.
Kẽ Cx//BA
Gọi E là điểm đối xứng của A qua Cx
Theo Pitago ta có
AB2+ AE2 = BE2 ≤ (BC+CE)2
ị c2+4hc2 ≤ (a+b)2
ị 4hc2 ≤(a+b)2 - c2 (1)
Tương tự ta có: 
4ha2 ≤(c+b)2 - a2 (2)
4hb2 ≤(a+c)2 - b2 (3)
Từ (1), (2), (3) Ta có: 4(ha2 + hb2 +hc2 )≤(a+b+c)2 
Suy ra điều cần chứng minh.
≥ 4
	Bài 3: Cho tam giác ABC, trên nữa mặt phẵng không chứa tia AC có bờ là đường thẳng AB , người ta vẽ AD vuông góc với AB và AD=AB. trên nữa mặt phẵng không chứa tia AB có bờ là đường thẳng AC , người ta vẽ AE vuông góc với AC và AE=AC. Gọi P,Q,M theo thứ tự là trung điểm của BD, CE, và BC. Chứng minh rằng: 
	a, BE=CD, BE vuông góc với CD.
	b, D PQM là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải:
a, DDAC=DBAE (c.g.c) nên DE=BE và éAEB=éACD. Gọi giao
 D
 E
 A
 P Q
 I NN
 M C
 B 
 điểm của BE với CD và DC theo thứ tự là I và N
khi đó trong tam giác vuôngANE ta có éANE+éAEN=90O 
Trong tam giác NIC thì éINC+éICN= 90O Vậy éNIC=90O
Hay DC vuông góc với BE.
b, Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có MP//DC 
và MP=DC/2 , MQ//BE và MQ=BE/2. Từ các chứng minh trên ta có 
MP=MQ và MP^ MQ vậy DMQP vuông cân tại M.
Buổi 5-6: Tam giác với bài toán cực trị
Bài 1: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng a. Hãy tìm trên a một điểm M sao cho AM + MB là ngắn nhất.
	A
 M a
	B
	Hình 1 
Giải: Nối A với B cắt a tại điểm M. 
Dễ dàng chứng minh điểm đó thỏa mãn bài toán. 
Thật vậy, trên a lấy một điểm M' khác điểm M
Ta thấy rắng AM' +M'B AB =AM+MB
Dấu "=" xảy ra khi M'M
	 B
 A
	 M	 a
 A'	 
	Hình 2
Bài 2: Bạn Tú đang ở vị trí A cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí B (Hình 2). Con đướng ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là 
con đường nào? 
	Hướng dẫn giải: (Hình 2)
* Lấy A' đối xứng với A qua a.
* Nối A'B cắt a tại M là điểm cần tìm
CM: Theo tính chất đỗi xứng trục ta có MA = MA'
=> AM + MB bé nhất khi AM' + MB bé nhất khi và chỉ khi A', M, B thẳng hàng.
Bài 3: Trên một nữa mắt phẳng bờ là đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên a hẵy tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) sao cho AM + MN + NB bé nhất.
	 B
 A
	 a	
	 M N
 A'	
 	 Hình 5
Hướng dẫn giải:
Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a tại M
Trên A lấy MN=d (sao cho BN bé nhất) các điểm
 MN là các điểm cần tìm.
Bài 4: cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và cách nhau một khoảng không đổi d. Trên nữa mặt phẳng bờ a không chứa b lấy một điểm A. Trên nữa mặt phẳng bờ b không chứa a lấy một điểm B Hãy tìm trên a điểm M, trên b điểm N sao cho AM+MN+NB bé nhất.
( Hướng dẫn - Lấy A' đối xứng với A qua a Nối A'B cắt b tại N từ N dựng NM vuông góc với a - M thuộc a- Các điểm M thuộc a, N thuộc b là các điểm cần tìm).
 Nếu a,b không song song với nhau ta có bài toán 7 sau
 C x 
 M 
 O
 A 
 N
 B y
Bài 5: Cho góc xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm M,N sao cho AM + MN + NA nhỏ nhất.
Từ bài toán 5 ta có thể có ngay 
cách giải của bài toán sau:  
Bài 5': Cho tam giác nhọn ABC và 
một điểm I cố định trên cạnh BC tìm trên AB, AC
các điểm M, N sao cho chu vi tam giác IMN là nhỏ nhất.
Và nếu không cố định điểm I trên cạnh BC ta có bài toán khó sau:
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn tìm trên các cạnh AB, AC, BC các điểm M, N, I sao cho Chu vị tam giác MNI là nhỏ nhất (M, N, I là chân 3 đường cao của tam giác ABC
Buổi 7,8: Ôn tập tổng hợp về tam giác
Bài 1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC, CB lấy theo thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD=CE.
a, Chứng minh tam giác ADE là tam giac cân.
b, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c, Từ B và C theo thứ tự kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. 
Chứng minh: BH=CK
d, Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm.
 A
 H K
 D B O C E
ABC
ACB
Hướng dẫn giải bài 1:
ACE
ABD 
a, DABC cân ở A (gt) nên AB=AC và = 
Suy ra = , BD = CE(gt).
DABD=DACE (c-g-c), do đó AD=AE 
Vậy tam giác ADE cân ở A.
MAD
MAE
b, DAMD=DAME (c-c-c), suy ra: = 
Vậy AM là tia phân giác của gốc DAE
AED
ADE
c, DADE cân ở A (theo câu a) =
 DBHD=DCKE (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau) do đó BH=DK
OAK
d, Gọi giao điểm của BH,CK là O
OAE
Ta có DAHO=DAKO (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau), do đó =
Nên AO là tia phân giác của góc DAE mặt khác theo câu b, thì AM là phân giác của góc DAE . Vì thế AO trùng AM. Vậy AM, BH, CK đồng quy.
 E
 D M
 N 
 A C B
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB dựng các tam giác đều ADC, BEC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Chứng minh:
	a, AE = BD,
	b, Tam gáic MCN là tam giác đều. 
Hướng dẫn giải bài 2:
a, é ACE = é DCB = 1200.
D ACE = D DCB (c-g-c), do đó: AE = BD
b, Vì AE=BD, M là trung điểm của AE, N là trung
điểm của BD, D ACE = D DCB (theo a,)
do đó: éMEC=éNBC. 
DMEC=DNBC (c-g-c), suy ra CN=CM và
éMCN = 600 suy ra D CMN là tam giác đều.
 C
 I 
 A 	 	 B	 
 	Bài 3: Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của các gốc B và C cắt nhau tại I. Biết rằng: C=700 , éBIC=1200. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải bài 3: 
Ta có éACI = éICB = 35O, éBIC = 120O 
=> éIBC = 180O-120O-35O = 25O 
Mặt khác BI là phân giác góc B (I là giao điểm của
các phân giác trong của tam giác ABC)
=> é B = 2éIBC = 50O 
=> éA = 180O - 70O - 50O = 60O
Bài 4 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12,6cm, BC=25,2cm
	a, Tính (AB+AC)2 và (AB-AC)2
	b, Tính BH, CH chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất.
Hướng dẫn giải bài 4
a, Vì BC = 25,5 cm và AH =12,6 cm nên BC=2AH. Do tam giác ABC vuông ở 
 A
B H C
A, có AH = BC nên H là điểm giữa của BC Hay tam giác ABC là tam giác vuông cân. Do đó AB=AC=. 
Chứng tỏ: (AB+AC)2=(2AB)2 = 4AB2 = 2 BC2
Tính trên máycho ta kết quả (AB+AC)2 = 1270,08.
Do tam giác ABC cân tại A nên (AB-AC)2 = 0
	b, Cũng do tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A nên BH=HC=HA=12,6cm
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC=18,6cm; hai trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Tính CN
	B
	N
	 G
 	 C 
 A M 	
Hướng dẫn giải bài 5
Kí hiệu trọng tâm tam giác là G. Đặt BG=x, CG=y.
Khi ấy ta có x2 + y2 = BC2 và y2 + =CM2 =AM2=BM2=
Từ phương trình cuối suy ra y2=2x2 thay vào phương trình đầu 
ta được 2x2+x2=3x2=BC2
Hay x2= suy ra y= =15.18683641
 Do đó CD = Vậy CN 22,78025461 cm
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ MI, MJ, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí của M sao cho tổng MI2+ MJ2+ MK2 nhỏ nhất.
 A
 K J 
 M N
 B I H C
Hướng dẫn giải: Kẻ AH ^BC, MN ^ AH (N thuộc AH)
 Theo Pitago ta có: AM2=MK2+MJ2 
=> MK2+MJ2 ≥ AN2 ( AM>AN)
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥ AN2+NH2
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥ 
=> MK2+MJ2 +MI2 ≥ 
Dấu "=" xãy ra khi MºN Hay M thuộc đường cao AH. Vậy Khi M thuộc đường cao AH thì MK2+MJ2 +MI2 nhỏ nhất.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của M lên AC, AB. Kẽ BH^AC tại H. MQ^BH tại Q.
	a, Tính éDME.
	b, Chứng minh rằng: BD=MQ.
	c, Gọi I, N, K theo thứ tự là hình chiếu của D, H, E lên BC. chứng minh rằng: BI=KN.
	d, Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh BC thì IK có độ dài không đổi.
 A
 H 
 E J D 
 C K N M I B 
Hướng dẫn giải:
a, éDME = 90O + 30O = 120O
b, DMQB = DBDM (Cạnh huyền - góc nhọn)
ịMQ=BD.
c, EJ^KH
DHEJ=DDIB (Cạnh huyền - góc nhọn)
ị EJ = IB. Mặt khác EJ=NK (tính chất đoạn chắn)
ịIB=NK.
d, B cố định suy ra H cố định suy ra N cố định ị BN cố định.
BN = IK suy ra IK có độ dài không đổi.
Bài 9: Cho Tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC , G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AG=1/3AB, E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC.
Hướng dẫn giải: