Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Đặng Hữu Vũ

ÔN TẬP LÝ THUYẾT
1. Khái niệm tam giác đồng dạng:
Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC 
S
(kí hiệu DA'B'C' DABC) nếu:
 (k gọi là tỉ số đồng dạng)
2. Tính chất:
Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.
S
S
Tính chất 2: Nếu DA'B'C' DABC thì DABC DA'B'C' .
S
S
Tính chất 3: Nếu DA'B'C' DA''B''C'' và DA''B''C'' DABC thì 
S
DA'B'C' DABC.
3. Các trường hợp đồng dạng:
a) Tam giác thường:
* Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)
 Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba canh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 
* Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)
 Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. 
* Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)
 Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. 
b) Tam giác vuông:
Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Nếu hai tam giác vuông hai cạnh góc vuông tỉ lệ thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
4. Bài tập tiêu biểu: 
S 
Bài tập 1: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Trên OA lấy một điểm D sao cho OD = 1/3 OA. Qua D vẽ một đường thẳng song song với AB cắt OB tại E. Qua E vẽ một đường thẳng song song với BC cắt OC tại F. Chứng minh rằng DDEF DABC và xác định tỉ số đồng dạng.
Giải:
Tương tự, 
Từ (1) và (2) 
S 
Vậy DDEF DABC (c.c.c) ; k = 1/3.
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng:
S 
a) DNBC DBCM 
b) BM ^ CN.
Giải :
Từ (1) và (2) 
Mặt khác AB = BC = CD nên từ (3) suy ra 
DNBC và DBCM có 
S 
nên DNBC DBCM (c.g.c) 
Gọi O là giao điểm của BM với CN.
Xét tam giác OCM có 
Tiết 2: ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC 
ĐỒNG DẠNG
I. Dùng phương pháp tam giác đồng dạng để tính diện tích của các hình, chứng minh các hệ thức hình học bậc hai:
Hai tam giác đồng dạng thì suy ra được các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, đặc biệt là tỉ số diện tích của chúng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Từ đó có thể tính được diện tích của một số hình, có thể chứng minh được một số quan hệ hình học khác, như chứng minh các hệ thức hình học bậc hai, tìm giá trị các biểu thức hình học bậc hai. . . . . 
II. Bài tập tiêu biểu:
Bài tập1: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo vuông góc với nhau tại o. Biết AB = 1/2CD và AO = 1/3AC. Giả sử diện tích tam giác AOB là a2, tính diện tích tứ giác ABCD.
Giải: 
DAOB và DCOD có:	
AOB = COD = 900 
S 
Vậy DAOB DCOD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Vì nên SBOC = 2SAOB = 2a2.
Tương tự, SAOD = 2a2 .Do đó SABCD = a2 + 4a2 +2a2 +2a2 = 9a2 
Bài tập 2: Điểm M là trung điểm cạnh đáy BC của tam giác cân ABC. 
Các điểm D và E thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho CME = BDM. Chứng minh rằng:
BD.CE = BM2
Các tam giác MDE và BDM đồng dạng.
DM là tia phân giác của góc BDE.
Giải: 
S 
a) DBMD DCEM 
A
D
B
M
C
E
Ta có: BM = CM (gt) nên BD.CE = BM2.
S 
b) Do DBMD DCEM suy ra:
Ta lại có: DME = DMC – M1=(B + D1) –M1 = B
Do đó tam giác MDE và tam giác BDM đồng dạng.
c) Từ câu b) suy ra MDE = BDM, do đó DM là tia phân giác của góc BDE.
Tiết 3: ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC 
ĐỒNG DẠNG
I. Dùng phương pháp tam giác đồng dạng để chứng minh hai góc bằng nhau, cặp đoạn thẳng tỉ lệ:
Để chứng minh hai góc bằng nhau hay các cặp đoạn thẳng tỉ lệ bằng phương pháp tam giác đồng dạng ta có thể làm theo các bước sau:
Bước1: Xét hai tam giác có chứa hai góc đó hay chứa các cặp đoạn thẳng ấy.
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó đồng dạng.
Bước 3: Suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau, cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
II. Bài tập tiêu biểu:
Bài tập 1: Cho tam giác đều ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động M và N sao cho 
MON = 600 . Chứng minh rằng:
S 
a) DOMB DNOC từ đó suy ra tích BM.CN không đổi.
b) Các tia MO, NO lần lượt là các tia phân giác của các góc BMN và CNM.
c) Chu vi tam giác AMN không đổi.
Giải:
a) 
S 
Vậy DOMB DNOC (g.g)
Suy ra BM.CN = BO.CO 
S 
hay BM.CN = BC2/4 (không đổi)
b) DOMB DNOC (chứng minh trên)
S 
S 
Từ (1) và (2) suy ra DOMB DNMO (c.g.c) 
Chứng minh tương tự ta được DNOC DNMO (c.g.c)
c) Vẽ OD ^ MN ; OE ^ AB ; OF ^AC . Vì O cố định nên E và F cố định. Ta có MD = ME; ND = NF.
Chu vi DAMN = AM + MD +ND + NA = AM + ME +NF +NA 
 = AE +AF (không đổi)
Nhận xét: ở câu a, nhờ chứng minh hai tam giác đồng dạng ta suy ra được các cạnh tương ứng tỉ lệ. Còn ở câu b, nhờ chứng minh hai tam giác đồng dạng ta suy ra được hai góc tương ứng bằng nhau.
Bài tập 2: Cho đoạn thẳng AB, trung điểm M. Trong cùng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ta lấy hai điểm C , D sao cho:
 ACM = DMB và CAM = MDB. Chứng minh: MCD = ACM
Giải: 
Hai tam giác ACM và BMD có ACM = DMB và CAM = MDB nên chúng đồng dạng suy ra:
Mà MB = AM nên 
Ta lại có: CMD = 1800 –(CMA + DMB) = 1800 – (CMA + ACM)
Suy ra : CMD = CAM (2)
S 
Từ (1) và (2) suy ra: DCMD DCAM
Suy ra : MCD = ACM ( hai góc tương ứng)
Tiết 4: ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC
 ĐỒNG DẠNG
I) Dùng phương pháp tam giác đồng dạng để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Ta có thể chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau, từ đó dùng cách cộng góc để được góc bẹt dẫn tới ba điểm thẳng hàng.
II) Bài tập tiêu biểu:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy M và N sao cho BM .BC = BO2 ; CN . CB = CO2. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Giải
BM.BC = BO2 
DBOM và DBCO có 
S
nên DBOM DBCO (c.g.c)
S
Chứng minh tương tự ta được DCON DCBO (c.g.c) 
Ta có: 
Suy ra ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Bài tập 2: Đường thẳng Euler trong tam giác.
Chứng minh rằng trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là ba điểm thẳng hàng.
Chú ý : 
Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến
Trực tâm là giao điểm của ba đường cao
Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực
Giải :
Ta có: 
S
Þ DMON DAHB
Cho ta 
Nối HG và OG.
Xét hai tam giác AGH và MOG có:
S
 Suy ra DAGH DMOG 
Suy ra ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF. GọI M, N, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, BE, CF. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K thẳng hàng.
Giải: 
Vì DM//CF và DI//CA
Nên (1)
Vì DN//BE và DK//AB
Nên 
S
DAGH DMOG 
 S
DAGH DMOG 
Chia từng vế của (3) cho (4) ta được
S
DAfC DABE do đó suy ra MN//FE (5)
Từ (1) ; (2) ; (5) suy ra 4 điểm M, N, I, K thẳng hàng.
 Tiết 5: ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC 
ĐỒNG DẠNG
 I) Dùng phương pháp tam giác đồng dạng để chứng minh tích của hai đoạn thẳng hoặc tổng các tích của các cặp đoạn thẳng bằng một số cho trước.
Ta có thể chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, dẫn tới hai tích của các cặp đoạn thẳng bằng nhau.
II) Bài tập tiêu biểu:
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B trên AD và CD. Chứng minh rằng DA.DH + DC.DK = DB2.
Tìm hướng giải:
Các tích DA.DH ; DC. DK chưa có mối liên quan trực tiếp nào với nhau cũng như với DB. Vì thế ta sẽ thay các tích này bỡi các tích khác bằng chúng, có liên quan với nhau cũng như có liên quan với DB. Muốn vậy phải tạo ra được những cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải là cạnh của một trong những tam giác như thế. 
Thực hiện chứng minh:
S
Vẽ AI ^ BD.
DCON DCBO HH vàg 
Þ DA.DH = DB.DI (1)
S
DIBA DKDB HH vàg 
Þ DC.DK = DB.BI (2)
Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) ta được:
DA.DH + DC.DK = DB.DI+DB.BI = DB(DI + BI) = DB2.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng:
OA . OB = OC . OH
Góc OHA có số đo không đổi
Tổng BM . BH + CM .CA không đổi.
Giải:
S
a) D BOH D COA (g.g)
D OHA và D OBC có góc O chung (2)
S
Từ (1) và (2) suy ra D OHA D OBC (c.g.c)
Þ OHA = OBC (không đổi)
c) Vẽ MK ^ BC .
S
DBKM DBHC (g.g) 
S
DCKM DCAB (g.g) 
Cộng từng vế của (3) và (4) ta được:
BM . BH + CM .CA = BC . BK + BC . CK 
 = BC(BK + CK) 
 = BC2 (không đổi)
Tiết 6: ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC 
ĐỒNG DẠNG
I) Dùng phương pháp tam giác đồng dạng để giải bài toán dựng hình.
Đối với một số bài toán dựng hình nhất là dựng hình tam giác, khi chỉ biết một yếu tố về độ dài, còn lại là biết tỉ số giữa các độ dài hoặc biết số đo các góc thì ta có thể nghĩ đến phương pháp tam giác đồng dạng. Trước hết ta tạm bỏ qua một điều kiện (độ dài đã cho) ta dựng được một tam giác đồng dạng với tam giác cần dựng. Sau đó dựa vào điều kiện còn lại ta xác định được hình cần dựng.
II) Bài tập tiêu biểu:
Bài tập1: Dựng tam giác ABC biết và BC = a .
Giải:
1) Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác
 ABC thoả mãn đề bài. 
Vẽ một đường thẳng song song 
với BC, cắt AB, Ac lần lượt tại M và N. 
Từ C vẽ đường thẳng song song với AB
 cắt MN tại P. Dễ thấy MP = BC = a .
S
 DAMN DABC
Vậy DAMN dựng được, từ đó dựng được P, C rồi B.
2) Cách dựng:
-Dựng DAMN sao cho AM = 2; AN =3.
- Trên tia Mn lấy điểm P sao cho MP = a.
- Dựng PC //AB (C thuộc tia AN)
- Dựng CB //MN (B thuộc tia AM)
Tam giác ABC là tam giác phải dựng.
Bài tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hãy dựng hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác này sao cho nó có diện tích lớn nhất, biết DÎ AB; E Î AC ; G Î BC.
Giải: 
Hình chữ nhật DEFG được xác định nếu ta biết vị trí của một trong 4 đỉnh, chẳng hạn đỉnh D.
Giả sử DE cắt đường cao AH tạI K.
Đặt DE = x ; EF = y ; AH = h thì AK = h – y
Ta có: DADE DABC
SDEFG = x.y =
Vì BC và h không đổI nên SDEFG lớn nhất Û (h – y).y lớn nhất.
Hai số h – y và y có tổng bằng h (không đổi) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bắng nhau, tức là h – y = y hay y = h/2. lúc đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.
Tiết 7: CÁCH TẠO RA MỘT TAM GIÁC 
ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC ĐÃ CHO.
 Để tạo ra được một tam giác đồng dạng với một tam giác khác, ngoài cách vẽ một đường song song với một cạnh của tam giác ta còn có thể vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách khác chẳng hạn:
- Nối hai điểm có sẵn trong hình làm xuất hiện một tam giác mới
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng
- Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đưòng cao AH. Vẽ 
HM ^AB ; HN ^AC. 
Chứng minh AM.AB = AN.Ac
Cho biết AH =2cm , BC = 5cm. Tính diện tích tứ giác AMHN.
Giải:
a) DAMN DACB (g.g)
b) SABC =1/2 AH.BC =5 (cm2)
DAMN DACB nên 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các góc B và C nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
AB.AF = AC.AE
DAEF DABC
BH.BE + CH.CF = BC2
Giải: 
a)DABE DACF (g.g)
b) 
Xét 2 tam giác AEF và ABC có : 
Suy ra DAEF DABC (c.g.c)
c) Vẽ HD ^BC.
DBHD DBCE(g.g) Þ
Þ BH.BE = BC.BD (1)
DCHD DCBF(g.g) Þ
Þ CH.CF = BC.CD (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:
BH.BE + CH.CF =BC(BD+CD) = BC2
Tiết 8: CÁCH TẠO RA MỘT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC ĐÃ CHO
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia DE cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng:
 a. D NBC D BCM
 b. BM ^ CN
 Giải :	
 AB//CM
BN//CD 
Từ (1) và (2) 
Mặt khác AB = BC = CD, nên từ (3) suy ra 
 D NBC và D BCM có
Nên D NBC D BCM (c.g.c)
Gọi O là Giao điểm của BM và CN.
Xét D OCM có 
Suy ra BM ^ CN.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, BC = a ; CA = b ; AB = c. 
Cho biết . Chứng minh rằng:
Giải:
a) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB 
Mặt khác 
D BAC D DBC (g.g)
 BC2 = AC .CD 
hay a2 = b( b + c) = b2 + bc (1)
b) Từ chứng minh tương tự ta được:
 b2 = c2 +ca (2)
Thay b2 = c2 +ca vào (1) ta được:
 a2 = c2 +ca +bc = c(a+b+c)
SÁCH THAM KHẢO
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên
Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm hình học 8 – T.S Nguyễn Văn Lộc
Toán nâng cao hình học 8 - Nguyễn Vĩnh Cận
MỤC LỤC
 Trang
Tiết 1: Ôn tập lý thuyết 	1, 2
Tiết 2: Ứng dụng của tam giác đồng dạng	3,4
Tiết 3: Ứng dụng của tam giác đồng dạng	5,6
Tiết 4: Ứng dụng của tam giác đồng dạng	7,8
Tiết 5: Ứng dụng của tam giác đồng dạng	9,10
Tiết 6: Ứng dụng của tam giác đồng dạng	11,12
Tiết 7: Cách tạo ra một tam giác đồng dạng với	
 tam giác đã cho.	13,14
Tiết 8: Cách tạo ra một tam giác đồng dạng với
tam giác đã cho.	15,16