Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Chủ đề: Phân tích đa thức thành nhân tử - Trường THCS Tôn Thất Thuyết

CHỦ ÐỀ TỰ CHỌN TOÁN 8
LOẠI NÂNG CAO
CHỦ ÐỀ: PHÂN TÍCH ÐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Thời lượng: 8 tiết
1. Ví dụ: 
Ví dụ 1: Hãy viết 2x2 - 4x thành một tích của những đa thức:
Gợi ý: Ta thấy: 2x2 = 2x.x
	 4x = 2x.2
Giải: 	2x2 - 4x = 2x.x - 2x.2 = 2x (x - 2)
Việc biến đổi 2x2 - 4x thành tích 2x(x - 2) được gọi là phân tích đa thức 2x2 - 4x thành nhân tử.
Phân tích đa thức thành nhân tử thì nguyên tắc chung để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là phải phối hợp các phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử theo trình tự 4 bước sau:
1. Trước hết, phải quan sát, xem xét các hạng tử của biểu thức đã cho có nhân tử chung hay không?
Khi các hạng tử đều có nhân tử chung thì phải ngay lập tức đặt nhân tử chung đó ra ngoài rồi xét đến nhân tử còn lại: 
Ví dụ: x3 - 2x2 + x - xy2 = x[(x2 - 2x + 1) - y2] 
 = x (x - 1 - y) (x - 1 + y)
2. Khi các hạng tử không có nhân tử chung thì phải quan sát, xem xét biểu thức hoặc một bộ phận của biểu thức có dạng hằng đẳng thức hay không? Nếu có thì phải biến đổi hằng đẳng thức đó về dạng thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: x2 - 4 + (x - 2)2 = (x - 2) (x + 2) + (x - 2)2 
 = (x - 2) (x + 2 + 1) 
	 = (x - 2) (x + 3)
3. Khi quan sát, xem xét cả 2 trường hợp trên đều không xảy ra, thì phải nghĩ ngay đến việc nhóm các hạng tử thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
4. Khi thực hiện nhóm các hạng tử bằng nhiều cách khác nhau mà vẫn không làm xuất hiện nhân tử chung thì phải nghĩ đến tách hạng tử hoặc cộng, trừ thêm cùng một hạng tử thích hợp nào đó vào biểu thức để có thể nhóm các hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. x2 - 6x + 8
b. 9x2 + 6x - 8
Giải: Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung, cũng không lập thành bình phương của một nhị thức. Do đó, ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
a. Cách giải:
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 
 = x(x-2) - 4(x-2) 
 = (x-2) (x-4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 
= (x-3)2 - 1 = (x-3-1) (x-3+1) 
= (x-4)(x-2)
Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 
= (x+2)(x-2) - 6(x-2) 
= (x-2)(x-4)
Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 
= (x-4)(x+4) - 6(x-4) 
= (x-4)(x-2)
Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 
= (x-2)2 - 2(x-2) - 2(x-2) 
= (x-2)(x-4)
b. Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là thông dụng nhất.
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8 
 = 3x(3x-2) + 4(3x-2) = (3x-2)(3x+4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu của bình phương.
9x2 + 6x - 8 = 9x2 + 6x + 1 - 9 
= (3x+1)2 - 32 = (3x + 4) (3x-2)
Chú ý: Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức.
mpx2 + (mq + np)x + nq = (mx + n) (px+q)
Như vậy, trong tam thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành b1 + b2 sao cho: b1b2 = ac. Trong thực hành ta làm như sau:
1. Tìm tích ac.
2. Phân tích ac ra tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức: 	9x2 + 6x - 8 thì a = 9; b = 6; c = -8
Bước 1: Tính ac = 9 (-8) = -72
Bước 2: Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6).
-72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9
Bước 3: Chọn ra 2 thừa số mà có tổng bằng 6 đó là: -6 và 12
Trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc a không là bình phương của một số nguyên nhân thì giải theo cách 1 gọn hơn so với cách 2.
* Phương pháp đổi biến (phương pháp đặt biến phụ)
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
Giải: Ta nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12 là tam thức bậc hai đối với y.
Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y+6) -2(y+6) = (y+6) (y-2)
= (x2 + x + 6) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 6) (x2 + 2x - x - 2)
= (x2 + x + 6) [(x (x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x + 6) (x + 2) (x - 1)
Chú ý: Tam thức x2 + x + 6 không phân tích thành nhân tử được nữa (trong Q). Tam thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích tiếp được thành nhân tử (trong Q) nếu theo cách 1, khi phân tích ac ra tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách, không có 2 thừa số nào có tổng bằng b hoặc nếu theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng a (x2 - k) thì k không là bình phương của một số hữu tỷ.
Với tam thức: x2 + x + 6; tích ac = 6 = 1.6 = 2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1. 
Còn theo cách 2: x2 + x + 6 = x2 + 2x . 
* Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: x3 + 3x2 - 4
Giải: Ta tách các hạng tử của đa thức để làm xuất hiện nhân tử chung là x - 1.
Nhắc lại: a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy, nếu đa thức f(x) chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x - a thì nhân tử còn lại là x2 + bx+c, suy ra: 
-ac =-4, tức là a phải ước của -4. Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hàng tử không đổi. Ư(-4) = {±1; ±2; ±4}. Kiểm tra, ta thấy 1 là nghiệm của đa thức.
Cách 1: x3 + 3x2 - 4	 = x3 - x2 + 4x2 - 4 
	= x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
	= (x - 1)(x2 + 4x + 4) 
	= (x - 1)(x + 2)2
Cách 2: x3 + 3x2 - 4 	= x3 - 1 + 3x2 - 3 
	= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x - 1)(x + 1)
	= (x - 1)(x2 + x + 1 + 3x + 3) 
	= (x - 1)(x + 2)2
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x - 1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: 2x3 - 5x2 + 8x - 3
Giải: Các số: ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên, nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi; q là ước dương của hạng tử cao nhất. Như vậy, nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là: ±1; ±1/2; ±3 hoặc ±3/2. Sau khi kiểm tra, ta thấy x = 1/2 là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x - 1/2 hay 2x - 1. Do đó, ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung là 2x - 1.
Ta có: 	2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
	 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) 
 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
- Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức và rút gọn phân thức.
Ví dụ: Giải các phương trình:
a. 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 (1) 	
b. x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = 0
c. x2 + 5x = 6
Giải: 
a. Vì 2 (x + 3) - x(x + 3) = (x + 3)(2 - x) 
nên phương trình đã cho trở thành: (x + 3)(2 - x) = 0
Do đó: x + 3 = 0 hoặc 2 - x = 0 tức là: x = -3; x = 2
Do đó: phương trình (1) có 2 nghiệm: x1 = 2; x2 = -3
b. Ta có: 	x3 + 27 + (x +3)(x - 9) 
	= (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x - 9)
	= (x - 3) (x2 - 3x + 9 + x - 9) 
	= (x + 3)(x2 - 2x) 
	= x(x + 3)(x - 2)
do đó, phương trình đã cho trở thành: x(x + 3)(x - 2) = 0. 
Vì vậy: x = 0; x + 3 = 0; x - 2 = 0
tức là phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x = -3; x = 2
c. Phương trình đã cho chuyển thành: x2 + 5x - 6 = 0. 
Vì x2 + 5x - 6 	= x2 - x + 6x - 6 
	= x(x - 1) + 6(x - 1) 
	= (x - 1)(x+6) 
nên phương trình đã cho trở thành: (x - 1)(x + 6) = 0
Do đó: x - 1 = 0; x + 6 = 0 tức là: phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = -6
Ví dụ: thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a. (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) 	
b. (x2 - 5x + 6) : (x - 3)
c. (x3 + x2 + 4) : (x + 2)
Giải:
a. Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 
	= (x2 + 1)(x3+1) 
nên 	(x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) 
= (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1
b. Vì x2 - 5x + 6 	= x2 - 3x - 2x + 6 
	= x(x - 3) - (2x - 3)
 = (x - 3)(x - 2)
Nên: (x2 -5x + 6): (x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = x - 2
c. Ta có: x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 - x2 + 4 
	= x2(x + 2) - (x2 - 4)
	= x2 (x + 2) - (x - 2)(x + 2) 
	= (x + 2)(x2 - x + 2)
Do đó: (x3 + x2 + 4): (x + 2) = (x + 2)(x2 - x + 2): (x + 2) = (x2 - x + 2)
Ví dụ: Rút gọn phân thức:
a. 	b. ; 	c. 
Giải:
a. 
b. 
c. 
* Phương pháp hệ số bất định:
Ta có thể giải bài tập phân phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 thành nhân tử bằng phương pháp này. Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (ax + b)(cx2 + dx + m). phép nhân này cho kết quả: acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm. Ðồng nhất đa thức này với: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 ta được: ac = 2; ad + bc = -5; am + bd = 8; bm = -3.
Có thể giả thiết rằng: a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a = 2 hoặc a = 1. Xét a = 2 thì c = 1, ta có: 2d + b = -5; 2m + bd = 8; 
bm =-3, b có thể bằng ±1; ±3. Xét b = -1 thì m = 3; d = -1 thỏa mãn các điều kiện trên.
Vậy: a = 2; c = 1; b = -1; m = 3; d = -2. 
Ta có: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành một tích của hai tam thức bậc hai với các hệ số nguyên
x4 + x3 + 2x2 - 7x - 5
Giải: Giả sử đa thức đã cho đã phân tích được thành một tích của hai tam thức bậc hai với các hệ số nguyên. Ta thấy, tích của hai hạng tử cao nhất là x4, do đó hai hạng tử cao nhất là x2 và x2 (trường hợp hai hạng tử này là -x2 và -x2, ta chỉ cần đổi dấu cả 2 tam thức). Tích của hai hạng tử thấp nhất là -5 nên chỉ có thể (-1).5 hoặc (-5).1.
Xét trường hợp hai hạng tử thấp nhất là: 5 và -1
x4 + x3 + 2x2 - 7x - 5 = (x2 + ax + 5)(x2 + bx - 1)
	= x4 + (a + b)x3 + (4 + ab)x2 + (5b - a)x - 5
Hai đa thức trên đồng nhất nên phải có:
từ (1) và (3) suy ra: 6b = -6 Þ b = -1. Do đó: a = 2
điều kiện (2) được thỏa mãn. 
Như vậy: x4 + x3 + 2x2 - 7x - 5 = (x2 + 2x + 5)(x2 - x - 1)
Chú ý: Nếu trường hợp hai hạng tử thấp nhất là 5 và -1 không thỏa mãn thì xét tiếp trường hợp các hạng tử đó là: -5 và 1.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
Giải:
Cách 1: Khai triển hai hạng tử cuối
P 	= ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) 
	= ab(a - b) + b2c - bc2 + c2a - ca2
	= ab(a - b) + c2(a - b) -c(a + b)(a - b) 
	= (a - b)[ab + c2 - ac - bc]
	= (a - b)[a(b - c) - c(b - c)] 
	= (a - b) (b - c)(c - a)
Cách 2: Tách b - c thành -[(a - b) + (c - a)]
P 	= ab(a - b) - bc[(a - b) + (c - a)] + ca(c - a)
	=b(a - b)(a - c) + c(c - a)(c -b) 
	= (a - b)(a - c)(b - c)
Cách 3: Phương pháp xét giá trị riêng:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
Nếu thay a bởi b thì P = 0 + bc(b - c) + cb(c - b) = 0 nên P chia hết cho a - b. Do vai trò của a, b, c như nhau trong đa thức nên P chia hết cho 
(a - b)(b - c)(c - a). Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) có bậc ba đối với tập hợp các biến nên thương là hằng số k.
Trong hằng đẳng thức: ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) =k(a - b)(b - c)(c - a) ta cho các biến nhận giá trị riêng a = 2; b = 1; c = 0 ta được:
2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1.(-2); do đó: 2 = -2k Þ k = -1
Vậy: P = (a - b)(b - c)(c - a)
Bài tập: 
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 - 4x2 - 8x + 8
b) x2(x + 4)2 - (x + 4)2 - (x2 - 1)
c) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2)
d) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
e) a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 - a3 - b3 - c3 + 4abc
2. Phân tích các tam thức bậc hai thành nhân tử:
a) x2 - 7x + 12
b) x2 - 5x - 14
c) 4x2 - 3x - 1
3. Phân tích: x3 - 7x - 6 thành nhân tử bằng nhiều cách.
4. Phân tích thành nhân tử:
a) 6x4 - 11x2 + 3
b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
c) x2 - 7xy + 12y2
d) x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y - 10
e) x3 - 5x2 + 8x - 4
f) x3 + 8x2 + 17x + 10
g) x3 - 2x - 4
h) x3 + 9x2 + 26x + 24
i) 3x3 - 14x2 + 4x + 3
k) x4 + 2x3 + x2 + x + 1
l) (x2 - 8)2 + 36
m) 64x4 + 1
* Chúng ta biết rằng, việc tìm nhân tử chung không dễ dàng đối với đa thức bậc bốn. Với khó khăn đó, những bài toán sau đây sẽ trình bày một số phương pháp phân tích đa thức bậc bốn thành nhân tử nhờ cách đặt ẩn phụ một hoặc nhiều lần khiến cho quá trình phân tích nhân tử dễ dàng hơn.
Ta có hằng đẳng thức cơ sở sau:
Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c. Nếu có các số m và n sao cho: mn= ac và m+n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + 
Hay 	ay2 + by + c = a (*) 
nói riêng, khi a = 1 thì: y2 + by + c = (y + m)(y + n)
Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên ac thành tích hai số nguyên m.n sao cho và sau đó chọn m, n hoặc thỏa mãn: m + n = b.
Sau đây, ta xét một số dạng đa thức bậc 4 có thể phân tích thành nhân tử bằng cách đặt ẩn số phụ và sử dụng hằng đẳng thức (*) trên:
1. Ða thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải: Ðặt ẩn số phụ: y = x2 và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ 1: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử
Giải: Ðặt y = x2 ta có Q(y) = 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 (m < 19; n < 19)
Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9; n = 10 ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 
	= 3y(2y + 3) +5(2y + 3) 
	= (2y + 3)(3y+5)
Vậy: P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5)
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + x2 - 15 thành nhân tử
Giải: đặt y = x2, ta có: Q(y) = 6y2 + y - 15
Tìm m, n sao cho m.n = -90 và m + n = 1
Ta chọn được: m = 10; n = -9; 
từ đó Q(y) = 6y2 + y - 15 
	= 6y2 + 10y - 9y - 15
	= 2y(3y + 5) - 3(3y + 5) 
	= (3y + 5)(2y - 3)
Vậy: P(x) = (3x2 + 5)(2x2 - 3)
2. Ða thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Ðặt y = (x + a)(x + b) và áp dụng hằng đẳng thức (*). 
Có thể đặt: (x + c)(x + d) = y hoặc y = x2 + (a + b)x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1; b = 4; c = 2; d = 3 thì: a + b = 5 = c + d
Ta có: P(x) 	= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 15 
	= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6)-15
đặt y = (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15
Áp dụng hằng đẳng thức (*) với m = 5; n = -3, có Q(y) = (y + 5)(y - 3)
Từ đó: P(x) = (x2 + 5x + 9)(x2 + 5x + 1)
* Tổng quát:
Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thỏa mãn 
a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 + c2d1 thì đặt: y = (a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi như trên. Xét P(x)/a1b1c1d1 thì trở về dạng trên.
3. Ða thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) 
Với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 
Cách giải:
Ðặt y = (a1x + a2)(b1x + b2) và áp dụng hằng đẳng thức (*) 
Có thể đặt: y = (c1x + c2)(d1x + d2)
Ví dụ: Phân tích: P(x) = (3x + 2)(3x - 5)(x - 1)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử.
Giải:
Ta thấy: a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2(-5) = (-1).10 = c2d2
P(x) = (9x2 - 9x - 10)(9x2 + x - 10) + 24x2
Ðặt y = (3x + 2)(3x - 5) = 9x2 - 9x - 10 
thì Q(y) 	= y(y + 10x) + 24x2
	= y2 + 10xy + 24x2
từ m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được: m = 6x và n = 4x
Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được: Q(y) = (y + 6x)(y + 4x)
Vậy P(x) = (9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10)
4. Ða thức dạng: P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1
Cách giải:
Ðặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2 thành nhân tử
Giải: Ðặt y = x2 - 1 Þ y2 = x4 - 2x2 + 1
P(x) = 2(x4 - 2x2 + 1) + 3x3 - 5x2 - 3x = 2(x2 - 1)2 + 3x(x2 - 1) - 5x2
Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2
Tìm m, n sao cho m.n = -10x2 và m + n = 3x
chọn m = 5x và n = -2x, ta có:
Q(y) 	= 2y2 + (5x - 2x)y - 5x2 
	= 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2 
	= 2y(y - x) + 5x(y - x)
	= (y - x)(2y + 5x)
Vậy P(x) = (x2 - 1 - x)(2x2 - 2 + 5x)
5. Ða thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e =
Cách giải: Ðặt y = x2 + và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2 + bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Ta thấy: b = -1; d = 2; e = 4 ® đặt y = x2 - 2 Þ y2 = x4 - 4x2 + 4
Ta có: P(x) = x4 - 4x2 + 4 - x3 - 6x2 + 2x = (x2 - 2)2 - x(x2 - 2) - 6x2
Þ Q(y) = y2 - xy - 6x2
tìm m, n sao cho: m.n = -6x2 và m + n = -x. Chọn m = 2x và n = -3x, ta có:
Q(y) 	= y2 + (2x - 3x)y - 6x2 
	= y2 + 2xy - 3xy - 6x2 
	= y(y + 2x) - 3x(y + 2x) 
	= (y + 2x)(y - 3x)
Vậy: P(x) = (x2 - 2 + 2x)(x2 - 2 - 3x)
Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = theo cách trên.
6. Ða thức dạng: P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c
Cách giải: Ðặt y = x + và biên đổi P(x) về dạng: mx4 + nx2 + p
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x - 3)4 + (x - 1)4 - 16 thành nhân tử
Giải: Ðặt y = x - 2
Q(y) 	= (y - 1)4 + (y + 1)4 - 16 
	= 2y4 + 12y2 - 14 = 2(y4 + 6y2 - 7)
	= 2(y2 + 7)(y2 - 1) = 2(y2 + 7)(y + 1) 
nhờ sử dụng hằng đẳng thức (*)
Suy ra P(x) = 2(x2 - 4x + 11)(x - 3)(x - 1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử.
1. (48x2 + 8x - 1)(3x2 + 5x + 2) -4
2. (12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) - 330
3. 4(x2 + 11x + 30)(x2 + 22x + 120) - 3x2
4. (7 - x)4 + (5 - x)2 - 2
5. x4 - 9x3 + 28x2 - 36x + 16
6. x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1
BÀI TẬP TNG HỢP
1. Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) x2k+2 - x2k 	b) 	c) -1 - z3t3
d) 9x8y2 - 12x7y3 + 4x6y4	e) a12 - b12 f) 64x6 - 729z6
g) -a6 + 6a3b4 -9b8 h) ax + 5b2x - 2cx + 2cy - 5b2y - ay
i) a3(b + c) + b3(c + a) + c3(a + b) + abc(a + b + c)
2. Bằng phương pháp đặt ẩn phụ hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12
b) (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2
c) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
3. Chứng minh rằng:
a) 13n + 17n chia hết cho 30 với n là số tự nhiên lẻ.
b) (8k + 5)2 - 25 chia hết cho 16 với mọi k Î z
4. Cho x + y + z = 0. Chứng minh: x3 + y3 + z3 = 3xyz
5. Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định và bằng một phương pháp khác:
a) x4 + 3x2 - 2x + 3
b) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
6. Chứng minh rằng: nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì:
 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 > 0
7. Cho a, b, c là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: a3 + b3 + c3 = 3abc 
và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
M = 
8. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 1.
Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là bình phương của một số hữu tỉ.
9. Tìm nghiệm của đa thức:
a) A = x3 + x2 - 2x
b) B = x6 - 729
10. Chứng tỏ rằng: P = (m2 + 1)4 + 9(m2 + 1)3 + 21(m2 + 1)2 - m2 - 31 không âm với mọi giá trị của m.
11. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì P = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phươngcuar một số nguyên.
12. Với giá trị nào của x thì các đa thức sau có giá trị là số không âm.
a) A = 9x3 + 3x2 - 5x + 1
b) B = 4x3 - 3x + 1
13. Chứng minh rằng nếu x là số nguyên thì giá trị của biểu thức sau là bình phương của một số nguyên:
P = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x + 9
14. Cho a, b, c Î Q thỏa mãn: ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng:
(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) là bình phương của một sôa hữu tỉ.
15. Chứng minh rằng: nếu x2 - yz = a; y2 - 2x = b, z2 - xy = c (x, y, z Î Z) thì ax + by + cz chia hết cho a + b + c.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách bồi dưỡng học sinh giỏi tóan 8 - Nxb Hà Nội, 1997
2. Tài liệu dạy môn tự chọn tóan 8, trang 8, 9 - Nxb Giáo dục
3. Sách giáo khoa tóan 8
4. Nâng cao tóan 8 - Nxb Giáo dục
5. Báo "Tóan học & Tuổi trẻ" - trang 1 - 2 - Hội tóan học Việt Nam.