Giáo án Hình học Khối 8 - Tiết 1 đến 4 - Nguyễn Thị Huyền Linh

TỨ GIÁC 
Tiết PPCT:1
Ngày dạy: 8/9/06 
1. Mục tiêu:
 a. Kiến thức:
Học sinh nắm được các định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng các góc của tứ giác lồi.
Học sinh biết vẽ, biết gọi tên các yếu tố, biết tính số đo các góc của một tứ giác lồi.
 b. Kỹ năng:
Rèn kỹ năng tính số đo các góc của một tứ giác lồi.
 c. Thái độ:
Học sinh nhận dạng nhanh một tứ giác lồi. 
Học sinh biết vận dụng các kiến thức trong bài vào các tình huống thực tiễn đơn giản.
2. Chuẩn bị:
 a. GV: Phấn màu + bảng phụ + thước thẳng
 b. HS: Thước thẳng
3. Phương pháp dạy học:
Đặt và giải quyết vấn đề.
Hợp tác theo nhóm nhỏ.
4. Tiến trình:
4.1. Ổn định:
4.2. Kiểm tra bài cũ:
4.3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung bài học
 Giáo viên giới thiệu chương I hình học 8 cho học sinh.
 Giáo viên treo bảng phụ hình 1 ở Sgk.
 - Trong mỗi hình dưới đây gồm mấy đoạn thẳng? Đọc tên các đoạn thẳng ở mỗi hình?
 - Hình a, b, c gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA có các đặc điểm gì?
Þ Mỗi hình a, b, c là một tứ giác ABCD.
 - Vậy tứ giác ABCD là hình được định nghĩa như thế nào?
 Gọi một học sinh đọc đề ?1 / 64 Sgk.
 Từ đó kết luận hình a là hình tứ giác lồi.
 - Thế nào là tứ giác lồi?
 Gọi 2 học sinh đọc định nghĩa ở Sgk/65.
 Giáo viên treo bảng phụ bài tập sau.
BT1: Hình nào sau đây không là tứ giác.
 Học sinh thảo luận nhóm nhỏ, gọi một học sinh đứng tại chổ trả lời.
 - Tại sao hình (1) và (4) không phải tứ giác lồi?
 Học sinh thảo luận ?2 / Sgk, gọi từng học sinh trả lời từng câu của bài tập này.
 Học sinh làm ?3/ 65 Sgk
 - Theo hướng dẫn ta phải áp dụng tính chất nào để tính tổng bốn góc một tứ giác?
 - Muốn có tam giác ta phải làm gì?
 - Có kết luận gì về tổng các góc trong một tứ giác?.
 Gọi hai học sinh lên đọc định lý ở Sgk.
I. Định nghĩa:
 1. Tứ giác:
 (Sgk/64)
 Từ tứ giác ABCD còn được gọi là tứ giác BCDA; CDAB;. . .
 - Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh.
 - Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA gọi là các cạnh.
 2. Tứ giác lồi:
 Sgk/ 65
 * Chú ý: Sgk/ 65
 - Hình (1) và (4) không phải là tứ giác.
II. Tổng các góc của một tứ giác:
 1. Ví dụ:
Giải
 Vẽ đường chéo AC
Xét Δ ABC: A1 + B + C1 = 1800 
Xét Δ ADC: A2 + D + C2 = 1800 Tổng 3 góc tam giác.
 Suy ra A1 + A2 + B + D + C1 + C2 = 3600
 Þ A + B + C + D = 3600 
 2. Định lý:
 (Sgk / 65)
 4.4. Củng cố và luyện tập:
 Giáo viên treo bảng phụ các bài tập.
 BT2: Các số đo nào chỉ 4 góc của tứ giác.
Đánh dấu x vào ô vuông câu em chọn.
 a) £ 100, 200, 300, 400.
 b) £ 1200, 1000, 600, 800.
 c) £ 1000, 1200, 1400, 1600.
Giải
b) £ 1200, 1000, 600, 800.
 - Tại sao câu a, c không là tứ giác.
 - Trong 4 góc của tứ giác thì có những góc gì?
Hai góc nhọn và hai góc tù.
BT3: Tìm x ở mỗi hình sau.
 Gọi một học sinh lên bảng làm hình (1).
 Hình (2) làm theo nhóm.
Giải
Hình 1: A + B + C + D = 3600 (4 góc tứ giác)
 1100 + 1200 + 800 + D = 3600
 Þ D = 500
Hình 2: Ta có I1 = 900 Þ I2 = 900 (kề bù)
· K1 + K2 = 1800 (kề bù)
 K2 = 1800 – K1 
 K2= 1800 – 600 = 1200
· M1 + M2 = 180 0 (kề bù)
 M1 = 1800 – M2 
 M1 = 1800 – 1050 = 750
Þ x = 3600 –(I2 + K2 + M1)
 x= 3600 – (900 + 1200 + 750) = 750 
4.5. Hướng dẫn hs tự học ở nhà:
 - Học thuộc các định nghĩa định lý trong bài.
 - BTVN: 1 (hình6); 2; 3; 4; 5 / 66, 67 Sgk.
 2; 9 / 61 Sbt.
 - Đọc mục “ Có thể em chưa biết” về tứ giác Long Xuyên.
Rút kinh nghiệm:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
HÌNH THANG
Tiết PPCT: 2
Ngày dạy:8/9/06
1. Mục tiêu:
a) Kiến thức:
Học sinh nắm được định nghĩa hình thang, hình thang vuông, các yếu tố của hình thang.
Học sinh biết chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông.
 b) Kỹ năng:
Học sinh biết vẽ hình thang, hình thang vuông, biết tính số đo các góc của hình thang, hình thang vuông.
Biết sử dụng dụng cụ để kiểm tra một tứ giác là hình thang. Rèn tư duy linh hoạt trong nhận dạng hình thang.
 c) Thái độ:
Giáo dục tính cẩn thận khi tính số đo góc của hình thang và nhận dạng hình thang.
2. Chuẩn bị:
 a. GV: Phấn màu + Bảng phụ + Thước thẳng
 b. HS: Dặn dò tiết 1.
3. Phương pháp dạy học:
a. Đặt và giải quyết vấn đề.
Hợp tác theo nhóm nhỏ.
4. Tiến trình:
4.1. Ổn định:
4.2. Kiểm tra bài cũ:
 - HS1: Nêu định nghĩa tứ giác ABCD. (2đ)
 Tứ giác lồi là tứ giác như thế nào? (2đ)
 Vẽ tứ giác lồi ABCD, chỉ ra các yếu tố của nó (đỉnh, cạnh, góc, đường chéo) (6đ)
- HS2: Nêu định lý về tổng các góc của một tứ giác? (2đ)
 Cho hình ve.õ Tính C?
Có B2 = 1800 – B1 (kề bù)
 B2 = 1800 – 500 = 130 0
Mà A + B2 + C + D = 3600 (các góc tứ giác)
 C = 3600 – (A + B2 + D)
 C = 500 (8 đ)
Tứ giác ABCD có gì đặc biệt?
 Tứ giác ABCD có AB // CD gọi là hình gì? Ta sẽ học bài hôm nay.
4.3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung bài học
 Tứ giác ABCD có AB // CD gọi là hình thang.
 Giáo viên vẽ hình và hướng dẫn cách vẽ cho học sinh sau đó giới thiệu các yếu tố của hình thang.
- Vậy hình thang là tứ giác như thế nào?
 * Gọi học sinh nêu định nghĩa ở Sgk.
 * Giáo viên treo bảng phụ bài tập ?1 Sgk/ 69
 · Cho học sinh đọc lại và thảo luận theo nhóm nhỏ.
 · Giáo viên gọi học sinh đứng tại chỗ trả lời và giải thích.
Học sinh thực hiện ? 2 theo nhóm.
 · Các nhóm của một dãy làm một câu.
 · Đại diện nhóm nhanh nhất của mỗi câu lên bảng trình bày.
 - Từ kết quả của ?2 em có nhận xét gì về:
 · Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì. . .
 · Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì. . .
Học sinh nhắc lại nhận xét ở Sgk
- Em hãy vẽ một hình thang có một góc vuông và đặt tên cho hình đó?
 Thế nào là hình thang vuông?
I. Định nghĩa:
 Hình thang ABCD (AB // CD)
 AB; CD: Cạnh đáy.
 AD; BC: Cạnh bên
 BH là đường cao
1. Định nghĩa: (Sgk/ 69)
?1/69sgk
Các tứ giác là hình thang hình a và b
Hai góc kề bù một cạnh bên của hình thang bù nhau vì đó là hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song.
? 2/ 70 Sgk
Ù
Ù
a) Nối AC. Xét Δ ABC & Δ ACD
A2 = C1 ( so le trong AB//CD)
C2 = A1 ( so le trong BC//AD)
AC cạnh chung.
Þ Δ ABC = Δ ACD (g. c. g)
Þ AD = BC và AB = CD
b) Nối AC ta có 
Δ DAC = Δ BCA (c. g. c)
 Þ A1 = C2 ( hai góc tương ứng)
và AD = BC ( hai cạnh tương ứng)
mà A1 so le trong C2 nên AD // BC
2. Nhận xét:
 Sgk/ 70
II. Hình thang vuông:
* Định nghĩa: Sgk/ 70
4.4. Củng cố:
- Để chứng minh một tứ giác là hình thang; hình thang vuông ta cần chứng minh điều gì?
 BT1: Cho hình vẽ biết
Giải
Các hình thang là:
BDIC (DI // BC)
BDEC (DE // BC)
BIEC (IE // BC)
BT2: 7/ 71 Sgk
 Học sinh làm theo nhóm.
 Nhóm 1, 3: hình a
 Nhóm 2, 5: hình b
 Nhóm 4, 6: hình c
Đại diện nhóm lên bảng trình bày.
Giải
Hình a: Ta có AB // CD
Þ A + D = 1800 (trong cùng phía)
 x + 800 = 1800
Þ x = 1800 – 800 = 1000
° B + D = 1800 (trong cùng phía)
 400 + y = 1800
 y = 1800 – 400 = 1400
4.5. Hướng dẫn hs tự học ở nhà:
- Nắm vững định nghĩa hình thang, hình thang vuông và hai nhận xét.
- BTVN: 6, 8, 9/ 70, 71 Sgk.
 18, 19/ 62 Sbt.
- Chuẩn bị: Ôn định nghĩa và tính chất tam giác cân.
Rút kinh nghiệm:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HÌNH THANG CÂN
Tiết PPCT:3
Ngày dạy:
1. Mục tiêu:
a) Kiến thức:
Học sinh hiểu được định nghĩa, tính chất, các dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Học sinh biết vẽ hình thang cân, biết sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thang cân trong tính toán và chứng minh, biết chứng minh một tứ giác là hình thang cân.
b) Kỹ năng:
 Rèn luyện tính chính xác và cách lập luận chứng minh hình học.
c) Thái độ: Giáo dục lòng yêu thích học toán.
2. Chuẩn bị:
 a) GV: Phấn màu + Bảng phụ + Thước thẳng
 b) HS: Dặn dò tiết 2
3. Phương pháp dạy học:
a. Đặt và giải quyết vấn đề.
Hợp tác theo nhóm nhỏ.
4. Tiến trình:
4.1. Ổn định:
4.2. Kiểm tra bài cũ:
 - HS1: Phát biểu định nghĩa hình thang, hình thang vuông? (4đ)
 · Nêu nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song, hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau. (6đ)
 ( Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song)
(Nhận xét: · Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau. · Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.)
- HS2: Sửa bài tập 9/ 71 Sgk
Ta có AB = BC (gt) Þ Δ ABC cân
Þ A1 = C1
mà A1 = A2 (AC gọi là phân giác A)
Þ C1 = A2
Þ BC // AD (C1, A2 so le trong)
Vậy ABCD là hình thang
Giáo viên kiểm tra bài tập của học sinh.
Học sinh cả lớp nhận xét.
Giáo viên nhận xét đánh giá.
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung bài học
 Ta đã học tam giác cân, thế nào là tam giác cân?
- Nêu tính chất về góc của tam giác cân?
 Trong hình thang thường gặp đó là hình thang cân.
 Khác với tam giác cân, hình thang cân định nghĩa theo góc.
Giáo viên giới thiệu và học sinh nêu định nghĩa ở Sgk.
Giáo viên treo bảng phụ bài tập ?2/72 Sgk
 Gọi 3 học sinh lên bảng, mỗi học sinh làm một câu. Học sinh cả lớp theo dõi nhận xét.
- Em có nhận xét gì về hai cạnh bên của hình thang cân? Suy ra định lý 1
 Học sinh nêu định lý 1 ở sách giáo khoa dưới dạng giả thiết – kết luận.
- Học sinh tìm cách chứng minh trong vài phút. Sau đó đứng tại chổ chứng minh miệng.
- Tứ giác ABCD sau có hình thang cân không? Vì sao?
Từ đó rút ra chú ý ở Sgk/ 72
- Hãy vẽ hai đường chéo của hình thang cân ABCD, dùng thước đo và nêu nhận xét.
 Từ đó cho biết hai đường chéo của hình thang cân có tính chất gì?
 Nêu giả thiết – kết luận của định lý 2.
- Để chứng minh AC = BD ta chứng minh gì?
 Một học sinh đứng tại chỗ chứng minh.
- Hãy nhắc lại các tính chất của hình thang cân?
 Học sinh làm ? 3 theo nhóm nhỏ.
 Đại diện một nhóm lên bảng vẽ hình.
- Vậy hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang gì? Þ Định lý 3.
 Chứng minh định lý này là bài tập 18/ Sgk.
 Học sinh về nhà chứng minh.
- Định lý 2 và định lý 3 có quan hệ gì?
- Có những dấu hiệu nào để nhận biết hình thang cân?
 1. Định nghĩa:
(Sgk/ 72)
ABCD là hình thang cân 
Û AB // CD
 C = D hoặc A = B
 ?2 / 72 Sgk
a). Các hình thang cân: (a), (c), (d)
b). Hình a: D = 1000
 Hình c: N = 700
 Hình d: S = 900
c). Hai góc đối của hình thang cân bù nhau.
2. Tính chất:
 a. Định lý: Sgk/ 72
Chứng minh:
Sgk/ 73
* Chú ý: Sgk/ 73
 b. Định lý 2:
 Sgk/ 73
Chứng minh:
Sgk/ 73
3. Dấu hiệu nhận biết:
 * Định lý 3: Sgk/ 74
 * Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
Sgk/ 74
4.4 . Củng cố và luyện tập:
- Qua tiết này chúng ta cần nhớ những nội dung kiến thức nào?
° BC // AD Þ ABCD là hình thang có đáy là BC và AD.
° Hình thang ABCD là cân khi B = C (hoặc A = D) hoặc đường chéo BD = AC.
- Tứ giác ABCD (BC // AD) là hình thang cân cần thêm điều kiện gì?
5. Hướng dẫn hs tự học ở nhà:
- Học kỹ định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
- BTVN: 11; 12; 13; 14; 15 / 74, 75 Sgk.
Rút kinh nghiệm:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN TẬP
Tiết PPCT: 4.
Ngày dạy:
1. Mục tiêu:
a) Kiến thức:
Khắc sâu kiến thức về hình thang, hình thang cân (định nghĩa, tính chất và cách nhận biết).
b) Kỹ năng: Rèn các kỹ năng phân tích đề bài, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng suy luận, nhận dạng hình.
c) Thái độ:Rèn tính cẩn thận, chính xác.
2. Chuẩn bị:
 a) GV: Phấn màu + Bảng phụ + Thước thẳng
 b)HS: Dặn dò tiết 3.
3. Phương pháp dạy học:
Đặt và giải quyết vấn đề.
Hợp tác theo nhóm nhỏ.
4. Tiến trình:
4.1. Ổn định:
4.2. Kiểm tra bài cũ:
 - HS1: Phát biểu định nghĩa và các tính chất của hình thang cân? (4 đ)
 Sửa bài tập 12/ 74 Sgk (6 đ)
Xét hai tam giác vuông ADE và Δ BCF (AE ^DC, BF ^ CD)
 AD = BC (ABCD hình thang cân)
 D = C ( 2 góc kề đáy hình thang cân)
Þ Δ vuông ADE = Δ vuông BCF ( cạnh – góc nhọn)
Þ DE = CF (hai cạnh tương ứng).
HS2: Sửa bài tập 15a/ 75 Sgk
Chứng minh:
Ta có AD = AE (gt) Þ Δ ADE cân tại A
 Þ D1 = E1 = (1)
 mà Δ ABC cân tại A (gt)
 Þ B = C = (2)
(1), (2) Þ D1 = B
 Þ DE // BC (D1, B đồng vị)
 Þ BDEC là hình thang
có B = C (cmt) Þ BDEC hình thang cân.
Giáo viên kiểm tra một vài bài tập học sinh.
Học sinh cả lớp nhận xét.
Giáo viên nhận xét đánh giá.
4.3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung bài học
 Bài tập 16/ 75 Sgk
 Học sinh vẽ hình và nêu giả thiết – kết luận
 Giáo viên ghi bảng.
 So với bài tập 15, cho biết muốn chứng minh BEDC là hình thang cân ta chứng minh điều gì?
 Học sinh đứng tại chỗ chứng minh câu a
 Để chứng minh ED = DC ta chứng minh gì?
 Gọi một học sinh lên bảng chứng minh.
Bài tập 18/ 75 Sgk
Học sinh thảo luận theo nhóm nhỏ trong vài phút.
 Giáo viên gọi đại diện từng nhóm lên bảng trình bày.
 16/ 75 Sgk
Giải
Xét Δ ABD và Δ AEC có
 AB = AC (Δ ABC cân tại A)
 A chung.
 B1 = C1 ( B = C; B1 = B; C1 = C)
Þ Δ ABD = Δ AEC (g. c. g)
Þ AE = AD (hai cạnh tương ứng)
Tương tự như bài tập 15 Þ ED // BC
Þ BEDC là hình thang có B = C (gt)
Þ BEDC là hình thang cân.
Ta có C2 = E2 (so le trong ED // BC)
Mà C1 = C2 (gt) Þ E2 = C1
Þ Δ EDC cân tại D
Þ DE = DC
18/ 75 Sgk
 a) Ta có hình thang ABEC có EB // AC
Þ EB = AC (nhận xét hình thang)
mà AC = BD (gt)
Þ EB = BD Þ Δ BDE cân tại B
b) ta có E = D1 (Δ BDE cân tại)
mà E = C1 (đồng vị của EB // EC)
 Þ D1 = C1 (1)
và AC = BD (gt) (2)
 DC chung (3)
(1), (2), (3) Þ Δ ADC = Δ BDC (c. g. c)
Þ ADC = BCD (hai góc tương ứng)
Þ ABCD là hình thang cân (định nghĩa)
4.4. Củng cố và luyện tập:
BT: Điền dấu “x” vào ô thích hợp
Nội dung
Đúng
Sai
1.Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
x
2.Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
x
3.Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau và không song song là hình thang cân
x
- Qua bài tập trên em rút ra được bài học kinh nghiệm gì?.
* Bài học kinh nghiệm:
 Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân ta chứng minh tứ giác đó là hình thang có.
 ° Hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc
 ° Hai đường chéo bằng nhau.
5. Hướng dẫn hs tự học ở nhà:
- Ôn tập định nghĩa, tính chất, nhận xét, dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang cân.
- Xem lại các bài tập đã giải.
- BTVN: 17, 19/ 75 Sgk.
 23, 24, 27, 28/ 63 Sbt.
Rút kinh nghiệm:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .