Giáo án Dạy thêm Hình học 8

Buổi 4:
-ÔN TẬP KIẾN THỨC QUAN TRỌNG LỚP 7
I.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
1.Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có:
- Một cạp góc so le trong bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc đồng vị bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc so le ngoài bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc trong cùng phía bù nhau, hoặc
- Một cặp góc ngoài cùng phía bù nhau
thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.
2.Tiên đề Ơclit :
a) Tiên đề:
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
b) Hệ quả:
- Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
3.Tính chất của hai đường thẳng song song:
Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra:
- Hai góc so le trong bằng nhau;
- Hai góc đồng vị bằng nhau;
- Hai góc trong cùng phía bù nhau;
- Hai góc so le ngoài bằng nhau;
- Hai góc ngoài cùng phía bù nhau.
4.Quan hệ giữa vuông góc và song song:
II.TAM GIÁC:
1.Liên hệ giữa các góc trong tam giác:
a) Tổng các góc của tam giác:
Tổng các góc của tam giác bằng 1800
b) Liên hệ giữa góc ngoài và góc trong:
*Định lí: Trong một tam giác, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Hệ quả: Trong một tam giác, góc ngoài lớn hơn góc trong không kề với nó.
2.Liên hệ giữa các cạnh trong tam giác:
*Định lí: Trong một tam giác, mỗi cạnh thì lớn hơn hiệu nhưng nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. (Bất đẳng thức tam giác)
3.Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác:
*Định lí 1: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.
*Định lí 2: Hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau nhưng cạnh thứ ba không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.
4.Các đường thẳng đồng quy trong tam giác:
a) Trung tuyến:
Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác. Điểm này cách đỉnh một đoạn bằng hai lần khoảng cách từ nó đến trung điểm của cạnh đối diện.
b) Phân giác:
+ Tính chất tia phân giác của góc:
Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc và ngược lại, một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hoặc quỹ tích) các điểm cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc ấy.
+ Các tia phân giác của các góc trong của tam giác:
Trong một tam giác, các phân giác trong đồng quy tại một điểm ; điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Người ta gọi điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
c) Đường cao:
Trong tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
d) Trung trực:
+ Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng:
Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hay quỹ tích) các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Các đường trung trực của một tam giác:
Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm; điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Người ta cũng gọi giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
5.Các loại tam giác đặc biệt:
a) Tam giác vuông:
*Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông
*Tính chất:
+ Định lí 1: 
Trong một tam giác vuông thì hai góc nhọn phụ nhau.
Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
+ Định lí 2: 
Trong một tam giác vuông thì trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ngược lại, một tam giác có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện thì tam giác ấy là tam giác vuông.
*Định lí Pi-ta-go:
+Thuận: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông. 
+ Đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác ấy là tam giác vuông.
b)Tam giác cân:
*Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
*Tính chất:
+ Định lí 1:
- Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
-Đảo lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác cân.
+Định lí 2:
-Trong một tam giác cân thì đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao và đường trung trực thuộc cạnh đáy là các đường trùng nhau.
-Ngược lại, một tam giác mà có hai trong bốn đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
c) Tam giác đều:
*Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
*Tính chất:
- Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau (và bằng 600)
-Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng 600 thì tam giác đó là một tam giác đều.
-Một tam giác cân có một góc bằng 600 là một tam giác đều.
-Trong một tam giác đều thì trọng tâm, trực tâm, giao điểm của các đường phân giác trong, giao điểm của các đường trung trực là những điểm trùng nhau tại một điểm mà người ta gọi là tâm của tam giác.
6.Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
+ Cạnh – cạnh – cạnh
+Cạnh – góc – cạnh
+ Góc – cạnh – góc 
HÌNH HỌC 8
CHỦ ĐỀ 1: 
 TỨ GIÁC
I.MỤC TIÊU:
- Học sinh được củng cố các khái niệm tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
- Biết vận dụng thành thạo tính chất của các từ giác đặc biệt.
- Biết vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày lời giải một bài tập hình, kỹ năng phân tích bài toán hình.
II.NỘI DUNG DẠY HỌC:
Bài 1:TỨ GIÁC 
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa:
-Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA , trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.
-Tứ giác lồi là tứ giác luôn nừm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thaengr chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
2.Chú ý:
Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thên thì ta hiểu đó là tứ giác lồi.
3.Tính chất:
x 
A
D
B
C
1200
600
900
-Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của tứ giác.
- Tổng bốn góc của tứ giác bằng 3600
-Tổng các góc ngoài của tứ giác lồi bằng 3600
B.VÍ DỤ - BÀI TẬP MẪU:
1.Sử dụng tính chất về góc của tứ giác để tính góc:
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có B = 1200 ; C = 600 ; 
D = 900 .
Tính góc A và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh A?
a
A
750
D
d
1200
c
C
B
b
900
d
D
a
A
b
B
C
c
Giải:
Tổng các góc trong của tứ giác ABCD:
A + B + C + D = 3600
A = 3600 – (B + C + D) 
A = 3600 – (1200 + 600 + 900) = 900
xAB là một góc ngoài của A , ta có:
xAB + A = 1800 
xAB = 1800 - A = 1800 – 900 = 900
*Bài tập 2: 
a)Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 1.
b)Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 2. 
(Tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)
Giải:
Hình 1
a)Tổng các góc trong tứ giác ABCD:
A + B + C + D = 3600 
D = 3600 – (A + B + C) = 
= 3600 – (750 + 900 + 1200) = 750
a + A = 1800 a = 1800 - A = 1800 – 750 = 1050
b + B = 1800 b = 1800 - B = 1800 – 900 = 900
c + C = 1800 c = 1800 - C = 1800 – 1200 = 600 
d + D = 1800 d = 1800 - D = 1800 – 750 = 1050
b) Trong tứ giác ABCD:
Hình 2 
A + B + C + D = 3600 
a + b + c + d = (1800 - A) + (1800 - B) + (1800 - C) + (1800 - D) 
= 7200 – (A + B + C + D) = 7200 – 3600 = 3600
2.Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đén các cạnh của một tứ giác.
*Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
B
C
A
a) AB < BC + CD + AD 
b) AC + BD < AB + BC + CD + AD
Giải:
a)Chứng minh: 
AB < BC + CD + AD 
Trong ACD có : AC < AD + CD 
D
Trong ABC có : AB < BC + AC 
Suy ra: AB < BC + AC < BC + CD + AD 
AB < BC + CD + AD 
b) Chứng minh: AC + BD < AB + BC + CD + AD 
Trong ACD có : AC < CD + AD 
Trong ABC có: AC < AB + BC 
Cộng vế theo vế: 2AC < AB + BC + CD + AD 
AC < 	(1)
Trong ABD : BD < AB + AD 
Trong BCD : BD < BC + CD 
Cộng vế theo vế: 2BD < AB + BC + CD + AD 
BD < 	(2) 
Cộng (1) và (2) với vế theo vế: 
AC + BD < AB + BC + CD + AD (đpcm)
Buổi 5:
C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
*Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD ; C = 600 ; A = 1000 .
a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b)Tính B; D ?
Giải:
C
D
B
A
a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD:
AB = AD (gt) 
A thuộc đường trung trực của BD.
Có CB = CD (gt) 
C thuộc đường trực của BD
Vậy AC là đường trung trực của BD.
b)Tính B; D :
ABD cân tại A (AB = AD) ABD = ADB 
CBD cân tại C (CB = CD) CBD = CDB
B = CBD = CBD + DBA 
D = CDA = CDB + BDA 
Suy ra B = D 
Trong tứ giác ABCD, ta có :
A + B + C + D = 3600 
B + D = 3600 – (A + C) = 3600 – (1000 + 600) = 2000
Do đó : B = D = 1000
*Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E; phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F.
Chứng minh: AEB = và AFB = 
Giải:
D
C
E
B
A
F
Trong tam giác AEB có:
AEB = 1800 – (EAB + EBA) 
AEB = 1800 - 
Trong tứ giác ABCD:
C + D = 3600 – (A + B) 
Suy ra: AEB = .
Tương tự, ta chứng minh được AFB = 
*Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD, B + D = 1800 ; CB = CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh:
C
B
A
D
E
a) ABC = EDC.
b)AC là phân giác của góc A.
Giải:
a)Chứng minh ABC = EDC 
Ta có: BA = ED(gt)
BC = DC(gt)
B + ADC = 1800 
EDC + ADC + 1800
B = EDC 
Suy ra: ABC = EDC 
b)Chứng minh AC là phân giác của góc A:
Ta có: ABC = EDC . 
Suy ra AC = EC và BAC = DEC 
 ACE cân tại C CAE = DAE BAC = CAE 
Vậy AC là phân giác của góc A.
*Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD, AB + BD ≤ AC + CD. Chứng minh: AB < AC
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong OAB có: OA + OB > AB 
A
B
C
D
O
Trong ODC: OC + OD > CD 
Cộng vế theo vế , ta được: 
OA + OC + OB + OD > AB + CD 
AC + BD > AB + CD 
Ta có: AC + CD ≥ AB + BD (gt)
Cộng vế theo vế: 
2AC + BD + CD > 2AB + CD + BD 
Suy ra: AC > ab
*Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a)Chứng minh: 
b)Khi O là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ giác ABCD. Kết luận trên có đúng không?
Giải:
a)Chứng minh: 
A
B
C
D
O
Ta có: OA + OB + OC + OD = AC + BD 
Theo bài tập 3, ta có:
AC + BD < AB + BC + CD + AD.
Trong OAB : OA + OB > AB
Trong OCD: OC + OD > CD.
suy ra: AC + BD > AB + CD 
Tương tự: AC + BD > AD + BC 
A
B
C
D
O
Suy ra: AC + BD > 
Vậy : .
b)Khi O là điểm bất kỳ của miền trong tứ giác:
Trong OAB : OA + OB > AB .
Trong O ...  kÎ tõ M ®Õn AB, AC.
a. Tø gi¸c EDME lµ h×nh g×? tÝnh chu vi tø gi¸c ®ã.
b. §iÓm M ë vÞ trÝ nµo trªn c¹nh BC th× ®o¹n th¼ng DE cã ®é dµi nhá nhÊt.
Gi¶i:
A
C
B
M
D
E
a. Tø gi¸c ADME cã gãc A = D = E = 900 
VËy tø gi¸c ADME lµ h×nh ch÷ nhËt.	
- Chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ADME b»ng: 
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB 
 	= 2 . 4 = 8cm	 	 	 
b. Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC, ta cã AH BC	
 ADME lµ h×nh ch÷ nhËt DE = AM 
 Ta cã: DE = AM > AH.
 DÊu “=” x¶y ra khi M H
 	VËy DE cã ®é dµi nhá nhÊt lµ AH khi M lµ trung ®iÓm cña BC 
*VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, c¸c ®­êng trung tuyÕn BM, CN c¾t nhau t¹i G. Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng víi G qua M. Gäi E lµ ®iÓm ®èi xøng víi G qua N. Tø gi¸c BEDC lµ h×nh g×? V× sao?	 	 	 
A
B
C
G
M
N
D
E
Gi¶i:	 	 
D ®èi xøng víi G qua M GD = 2GM
G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC 	 
 	BG = 2GM BG = GD
chøng minh t­¬ng tù: CG = GE 	 
Tø gi¸c BEDC cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i 	
trung ®iÓm cña mçi ®­êng nªn lµ h×nh b×nh hµnh 	 
 (c.g.c) B1 = C1 	
	BG = CG BD = CE	 
H×nh b×nh hµnh BEDC cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau nªn lµ h×nh ch÷ nhËt.
C.Bµi tËp luyÖn tËp:
A
C
F
B
D
G
E
Bµi tËp 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . §iÓm D thuéc c¹nh AC. Gäi E, F, G theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD , BC, DC. Chøng minh r»ng tø gi¸c AEFG lµ h×nh thang c©n.	 
Gi¶i:	 	 
 V× EF lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c BDC
 nªn EF // DC	
 Do ®ã: AEFG lµ h×nh thang 
 Do FG lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c BDC 
 Nªn FG // BD gãc G1 = D1 (®ång vÞ)
 V× tam gi¸c ABD vu«ng t¹i A, AE lµ ®­êng 	
trung tuyÕn nªn AE = 
Do ®ã: tam gi¸c AED c©n t¹i E gãc A1 = D1
Tõ ®ã gãc G1 = A1
H×nh thang AEFG cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau nªn lµ h×nh thang c©n.
Bµi tËp 2: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH, ®­êng trung tuyÕn AM
a. CMR: Gãc HAB = MAC
b. Gäi D, E thø tù lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC. CMR AM vu«ng gãc víi DE	 
Gi¶i:	
a. Ta cã gãc BAH = C (cïng phô víi HAC) 
 AM lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn 	
 cña tam gi¸c ABC AM = MC 	 	 
	C = HAC BAH = HAC 	 	 	 
A
B
C
H
M
D
E
O
 b. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AH vµ DE	 
 I lµ giao ®iÓm cña AM vµ DE
Tø gi¸c ADHE lµ h×nh ch÷ nhËt (cã 3 gãc vu«ng) 
	OA = OE gãc AEO = OAE (1)
Ta l¹i cã: AHC vu«ng
	gãc C + OAE = 900 (2)
 ta cã: gãc C = HAC (3) (cm ë c©u a)
 Tõ (1), (2), (3) gãc AEO + HAC = 900
	Gãc AIE = 900 tøc AM DE
Bµi tËp 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH. Gäi D, E theo thø tù lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ H ®Õn AB, AC.
a. CMR: AH = DE
b. Gäi I lµ trung ®iÓm cña HB, K lµ trung ®iÓm cña HC
CMR: DI // EK
A
B
C
K
D
E
I
O
Gi¶i:
a. Tø gi¸c ADHE cã 3 gãc vu«ng nªn lµ h×nh ch÷ nhËt 
Do ®ã: AH = DE
b. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AH vµ DE	 
 ADHE lµ h×nh ch÷ nhËt	 	 
	OH = OE gãc OEH = OHE (1)	 
Tam gi¸c EHC vu«ng cã EK lµ ®­êng 	 
H
trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn 
	HK = EK HEK = KHE (2) 
Tõ (1), (2) OEH + HEK = OHE + KHE = AHC = 900
Do ®ã: gãc DEK = 900
Chøng minh t­¬ng tù ta cã: gãc EDI = 900
VËy DI // EK (®pcm)
Buæi 15:
H×nh thoi
I. Môc tiªu: Gióp häc sinh
- HiÓu râ ®Þnh nghÜa h×nh thoi, c¸c tÝnh chÊt cña h×nh thoi, c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt mét tø gi¸c lµ h×nh thoi.
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng chøng minh c¸c bµi to¸n.
II.Néi dung thùc hiÖn:
A.KiÕn thøc cÇn nhí:
1. ThÕ nµo lµ mét h×nh thoi?
2. Nªu c¸c tÝnh chÊt cña h×nh thoi.
3. Nªu c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thoi.
B.VÝ dô: 
VÝ dô 1: 
a. Cho h×nh thoi ABCD, kÎ ®­êng cao AH, AK. CMR: AH = AK
b. H×nh b×nh hµnh ABCD cã hai ®­êng cao AH, AK b»ng nhau. CMR: ABCD lµ h×nh thoi	 
A
D
B
C
H
K
Gi¶i:	 	 	
a. XÐt AHB vµ AKD cã:
AB = AD (v× ABCD lµ h×nh thoi)
Gãc B = D (t/c h×nh thoi) 	 	 vu«ng AHB = AKD (c¹nh huyÒn gãc nhän)	 	 
AH = AK (2 c¹nh t­¬ng øng)	 	
b. XÐt tam gi¸c vu«ng AHB vµ AKD cã: 
 AH = AK (gt)	
 Gãc B = D (t/c h×nh b×nh hµnh)
	tam gi¸c (c¹nh gãc vu«ng- gãc nhän kÒ)
VËy AB = AD (2 c¹nh t­¬ng øng)
 H×nh b×nh hµnh ABCD cã 2 c¹nh kÒ b»ng nhau nªn lµ h×nh thoi.
VÝ dô 2: H×nh thoi ABCD cã gãc A = 600. kÎ hai ®­êng cao BE, BF. Tam gi¸c BEF lµ tam gi¸c g×? V× sao?	 	
A
B
D
C
E
F
Gi¶i:
XÐt vµ cã:	 	 
AB = CB (®/n h×nh thoi)
Gãc A = C (t/c h×nh thoi) 	 
= (c¹nh huyÒn- gãc nhän)	 
	BE = BF	 
VËy tam gi¸c BEF c©n
L¹i cã: B = 	
Mµ ABE = FBC = 300 
	EBF = 600 
	VËy tam gi¸c BEF ®Òu
C.Bµi tËp:
A
C
B
D
O
E
F
G
H
*Bµi tËp 1: Cho h×nh thoi ABCD, O lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo. Gäi E, F, G, H theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng gãc kÎ tõ O ®Õn AB, BC, CD, DA. Tø gi¸c EFGH lµ h×nh g×? V× sao?
Gi¶i:	 
Ta cã; OF AB, OG CD	 	 
Mµ AB // CD (t/c h×nh thoi)
	E, O, G th¼ng hµng.	 	 
Chøng minh t­¬ng tù ta cã 3 ®iÓm	
 F, O, H th¼ng hµng.	 	 
- §iÓm O thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc B 	 
nªn c¸ch ®Òu 2 c¹nh cña gãc do ®ã: OE = OF
T­¬ng tù ta còng cã: OF = OG, OG = OH
VËy tø gi¸c EFGH cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng nªn lµ h×nh ch÷ nhËt.
A
B
C
D
M
N
*Bµi tËp 2: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc <A = 600. Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm M, trªn c¹nh DC lÊy ®iÓm N sao cho AM = DN. Tam gi¸c BMN lµ tam gi¸c g×? v× sao?
Gi¶i:
Ta cã: Tam gi¸c ABD c©n tai A
Vµ A = 600 nªn tam gi¸c ABD lµ tam gi¸c ®Òu.
	AB = BD 	 
ABD = BDA = 600 (t/c h×nh thoi)
XÐt tam gi¸c ABM vµ DBN cã: 	 	 
AB = BD (chøng minh trªn)	 	 	 	 
Gãc A = BDC (chøng minh trªn) 	
AM = DN (gt) 	
ABM = (c.g.c)	
 BM = BN, ABM = DBN3
Ta l¹i cã: ABM + MBD = 600
	MBD + DBN = 600
Tam gi¸c BMN c©n cã gãc MBN = 600 nªn lµ tam gi¸c ®Òu.
*Bµi tËp 3: H×nh thoi ABCD cã chu vi b»ng 16 ®­êng cao AH b»ng 2cm. TÝnh c¸c gãc cña h×nh thoi.
A
D
B
C
H
Gi¶i:
Gäi M lµ trung ®iÓm cña AD, ta cã:	 	 
HM = MA = MD = 2cm	 
Theo ®Ò bµi ta cã: AH = 2cm	 	 
Do ®ã: tam gi¸c AHM lµ tam gi¸c ®Òu 
	Gãc MAH = 600 D = 300	 
Tõ ®ã ta cã: B = C = 1500	 
*Bµi tËp 4: Tø gi¸c ABCD cã to¹ ®é c¸c ®Ønh nh­ sau:	
	A(0, 2); B(3, 0); C(0, - 2); D(- 3, 0)
	Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? TÝnh chu vi cña tø gi¸c ®ã.
Gi¶i:
D(-3;0)
B(3;0)
A(0;2)
C(0;-2)
O(0;0)
	Tø gi¸c ABCD cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng nªn lµ h×nh b×nh hµnh.
L¹i cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau nªn lµ h×nh thoi.
C¹nh cña h×nh thoi 
AB = 	 
AB = 	 
VËy chu vi cña h×nh thoi: 	 	
*Bµi tËp 5: Cho h×nh thoi ABCD, cã AB = AC, kÎ AE BC, AF CD
a. Chøng minh tam gi¸c AEF lµ tam gi¸c ®Òu.
b. BiÕt AB = 4cm. TÝnh ®é dµi c¸c ®­êng chÐo cña h×nh thoi.
A
B
E
C
F
D
Gi¶i:
 Tam gi¸c ABC cã AB = BC (®/n h×nh thoi)
AB = AC (gt)
Tam gi¸c ABC ®Òu B = 600	 
do ®ã: gãc D = 600
xÐt ABE vµ ADE cã:
AB = AD (®/n h×nh thoi)	 	 
D = B (chøng minh trªn)	
(c¹nh huyÒn- gãc nhän) 	 AE = AF (2 c¹nh t­¬ng øng)
VËy tam gi¸c AEF c©n t¹i A.	 
- Trong c¸c tam gi¸c ®Òu ABC, AOC cã AE vµ AF lµ c¸c ®­êng cao nªn lµ ph©n gi¸c cña BAC vµ OAD
do ®ã: EAC = FAC = 300 EAF = 600
Tam gi¸c c©n AEF cã gãc EAF = 600 nªn lµ tam gi¸c ®Òu.
---------------------------------------------------------------------------------------
Buæi 17:
H×nh vu«ng
a.lý thuyÕt cÇn nhí:
- §Þnh nghÜa h×nh vu«ng.
- TÝnh chÊt.
- DÊu hiÖu nhËn biÕt.
C©u hái:
1. ThÕ nµo lµ h×nh vu«ng?
2. V× sao h×nh vu«ng cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh ch÷ nhËt vµ h×nh thoi?
3. Nªu c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh vu«ng?
4. H×nh vu«ng cã t©m ®èi xøng, cã trôc ®èi xøng kh«ng? NÕu cã h·y ghi râ.
B.VÝ dô:
*VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ABC, ®iÓm I n»m gi÷a B vµ C. Qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AB c¨t AC ë H. Qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¨t AB ë K.
a. Tø gi¸c AHIK lµ h×nh g×?
b. §iÓm I ë vÞ trÝ nµo trªn c¹nh BC th× tø gi¸c AHIK lµ h×nh thoi.
A
B
C
I
H
K
c. Tam gi¸c ABC cã ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt.
Gi¶i:
a. Tø gi¸c AHIK cã IH // AK, AH // KI	 
tø gi¸c AHIK lµ h×nh b×nh hµnh.	 	
b. H×nh b×nh hµnh AHIK lµ h×nh thoi 	 	 
AI lµ ®­êng ph©n gi¸c cña gãc A	 	 
VËy nÕu I lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c 	 
A
B
C
H
K
I
gãc A víi c¹nh BC th× AHIK lµ h×nh thoi.	 
c. H×nh b×nh hµng AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt 	 
 	gãc A = 900	 
VËy nÕu tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th× 
 AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt.
VÝ dô 2: H×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 2AD. Gäi P, Q theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, CD. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AQ vµ DP. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ BQ. Chøng minh r»ng PHQK lµ h×nh vu«ng.	 
A
P
B
D
C
Q
H
K
Gi¶i: 	 	 	 
Tø gi¸c APCQ cã AP // QC vµ AP = QC
Nªn tø gi¸c APCQ lµ h×nh b×nh hµnh 	 	 
(dÊu hiÖu nhËn biÕt)
AQ // PC (1)
Chøng minh t­¬ng tù ta cã: BQ // PD (2)	 	 	 
Tõ (1) vµ (2) Tø gi¸c PHQK lµ h×nh b×nh hµnh.
L¹i cã tø gi¸c APQD lµ h×nh b×nh hµnh 
v× cã AP // DQ , AP = DQ
A
B
C
H
G
E
F
A
B
C
D
F
E
H
H×nh b×nh hµnh APQD cã A = 900 
lµ h×nh ch÷ nhËt
H×nh ch÷ nhËt APQD cã AP = AD nªn lµ h×nh vu«ng.
 PHQ = 900 vµ PH = HQ
H×nh b×nh hµnh PHQK cã PHQ = 900 
vµ PH = HQ nªn lµ h×nh vu«ng.
C.Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi tËp 1: Cho tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm H, G sao cho 
BH = HG = GC. Qua H vµ G kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc víi BC, chóng c¾t AB, AC theo thø tù ë E vµ F. Tø gi¸c EFGH lµ h×nh g×? V× sao?
Gi¶i:	 
Tam gi¸c AGC cã gãc C = 450
Nªn tam gi¸c FGC vu«ng c©n	 	 
Do ®ã: GF = GC 	
Chøng minh t­¬ng tù EH = HB 	 
Do BH = CG = HG nªn EH = HG = GF	
Tø gi¸c EHGF cã EH // FG 	 
(cïng vu«ng gãc víi BC)
EH = FG (c/m trªn)
Tø gi¸c EHGF lµ h×nh b×nh hµnh
H×nh b×nh hµnh EHGF cã gãc H = 900 lµ h×nh ch÷ nhËt
L¹i cã: EH = HG tø gi¸c EHGF lµ h×nh vu«ng.
Bµi tËp 2: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm F, trªn c¹nh DC lÊy ®iÓm E sao cho AF = DE. Chøng minh r»ng AE = BF vµ AE BF
Gi¶i:
AF = DE (gt)	 	 
 (2 c¹nh gãc vu«ng)
AE = BF (2 c¹nh t­¬ng øng)	 
Gãc DAE = ABF (2 gãc t­¬ng øng)
Ta l¹i cã: DAE + EAB = 900
Nªn ABF + EAB = 900	 	 	 
Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BF 	
Th× gãc H = 900
VËy AE BF
Bµi tËp 3: Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi E lµ mét ®iÓm n»m gi÷a C vµ D. Tia ph©n gi¸c cña gãc DAE c¾t CD ë F. KÎ FH AE (H), FH c¾t BC ë G. 
TÝnh sè ®o gãc FAG. 
4
A
B
C
D
F
E
G
H
Gi¶i:	 	 	
3
2
1
XÐt tam gi¸c vµ cã: 
Gãc A1 = A2 (gt)	
AF c¹nh chung 
 (c¹nh huyÒn gãc nhän)	 	
AD = AH (2 c¹nh t­¬ng øng)
Ta l¹i cã: AD = AB AB = AH	
XÐt vµ cã:
AB = AH (c/m trªn)
AG lµ c¹nh chung (c¹nh huyÒn- c¹nh gãc vu«ng)
gãc A3 = A4 (2 gãc t­¬ng øng)
Ta cã: FAG = A2 + A3 = 
Bµi tËp 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh CD, tia ph©n gi¸c cña gãc ABE c¾t AD ë K.
CMR: AK + CE = BE	 	 
Gi¶i:
A
B
C
D
E
K
M
1
1
2
3
4
Trªn tia ®èi cña CD lÊy ®iÓm M 	 
sao cho CM = AK
Ta cã:	 	 	 
AK + CE = CM + CE = ME 	 	 	
XÐt tam gi¸c ABK vµ tam gi¸c CBM cã:
AB = BC (gt)	 
AK = CM (gt)
 (2 c¹nh gãc vu«ng)
 K1 = M, B1 = B4	
Ta l¹i cã: <B1 = <B2 B2 = B4 
Tõ ®ã ta cã: gãc <EBM =B3 + B4 = B3 + B2 = KBC
Mµ KBC = K1 (so le trong)
Vµ K1 = M (c/m trªn)
Do ®ã: BE = MC + CE = AK + CE (®pcm)