Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Phần Đại số 8 - Chủ đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
Ngày soạn : 22/08/11 
Ngày dạy : 26/08/11 
Chủ đề 1 phân tích đa thức thành nhân tử 
Buổi 1 các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
A/Mục tiêu 

 Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc : 
 Kiến thức 
 - Học sinh nhớ lại và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa 
thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các 
hạng tử 
- Học sinh hiểu và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa thức 
thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng 
một hạng tử. 
 Kĩ năng 
- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử 
- Nâng cao khả năng t− duy, quan sát, tìm h−ớng giải, trình bày 
 Thái độ 
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động 
B/Chuẩn bị của thầy và trò 
- GV: 
- HS: Ôn lại các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
C/Tiến trình bài dạy 
I. Tổ chức - sĩ số 
II. Kiểm tra bài cũ (5 phút) 
- HS: Nêu các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em 
đã đ−ợc học trên lớp ? 
- GV: Nhắc lại, bổ sung 
III. Bài mới (170 phút) 
Ph−ơng pháp 1: Đặt nhân tử chung 
1. Lí thuyết: 
a) Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung đ−ợc dùng khi các hạng tử của đa thức 
có nhân tử chung. Cụ thể: 
AB + AC + AD = A(B + C + D) 
b) Các b−ớc tiến hành: 
B−ớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu 
ngoặc. 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
B−ớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa 
thức cho nhân tử chung. 
2. Bài tập: 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
A = 2x2 + x => A = x(2x + 1) 
B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ⇒ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) 
C = 16x2(x - y) -10y(y - x) ⇒ C = (x - y)(16x2 + 10y) 
D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by) 
 = 2x2(2ax + by). 
Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử: 
= − + ≥A 10a b 5a 5 a (a 0) 
= − ≥ ≥B x y y x (x 0;y 0) 
Ph−ơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức 
1. Lí thuyết: 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng đẳng 
thức đ−ợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. 
b) Các hằng đẳng thức quan trọng 
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
+ + = + ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 
2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
− + = − ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 
3) a2 – b2 = (a + b).(a – b) 
4) 
− = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 
5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
+ + + = + ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 
6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
− + − = − ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 
7) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
+ = + = + − + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) với n lẻ (n 3≥ , nguyên) 
8) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
− = − = − + + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1)với n lẻ (n 3≥ , nguyên) 
9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 
+ + + + + = + + ≥2a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0) 
2 2 2 2 2a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)+ + + + + + + + + = + + + 
10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn) 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
0
1
2 2 2
(a b) 1
(a b) 1a 1b
(a b) 1a 2ab 1b
+ =
+ = +
+ = + +
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a b) 1a 3a b 3ab 1b
(a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b
(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b
+ = + + +
+ = + + + +
+ = + + + + +
Viết tam giác Pa – xcan để khai triển n(a b)+ nh− sau: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
.. 
Cách viết: 
+ Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 
+ Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng 
 với số bên trái của số liền trên. 
2. Bài tập: 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). 
b) x2 + 2xy + y2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). 
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2 
Q = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1)2 
R = a3+ 6a2 + 12a + 8 = (a + 2)3 
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) (x - y)2 - (y - z)2. 
b) 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3. 
c) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2. 
Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử : 
M = −2a 2 
N = − ≥9a 1 (a 0) 
P = + + ≥x 1 2 x (x 0) 
Ph−ơng pháp 3: Nhóm các hạng tử 
1. Lí thuyết 
Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc dùng cho những đa thức cần phân tích 
thành nhân tử ch−a có nhân tử chung hoặc ch−a áp dụng ngay đ−ợc hằng 
đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: 
B−ớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. 
B−ớc 2: Nhóm để áp dụng ph−ơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân 
tử chung. 
B−ớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. 
2. Bài tập 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) 
b) x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) 
 = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). 
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 5x2 - 5xy - 10x + 10y. 
b) x3 - x2y - x2z - xyz. 
c) 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2. 
d) (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab. 
Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử : 
D = − + − ≥ ≥a 2 a 1 b (a 0;b 0) 
E = − + − − ≥ ≥a b a 2 ab b b a (a 0,b 0) 
Ph−ơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; 
hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử 
1. Lí thuyết 
*) Lí thuyết chung: Ph−ơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những 
hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: 
*) Các tr−ờng hợp: 
a, Tr−ờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) 
Tính : ∆ = b2 - 4ac: 
- Nếu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đ−ợc. 
- Nếu ∆ = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình ph−ơng của một nhị 
thức bậc nhất 
- Nếu ∆ = b2 - 4ac > 0 
+) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) đa thức phân tích đ−ợc trong tr−ờng Q. 
+) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích đ−ợc trong tr−ờng số thực R. 
b, Tr−ờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: 
- Nhẩm nghiệm của đa thức: 
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ⇒ đa thức có nghiệm bằng 1. 
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của 
các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức có nghiệm bằng - 1. 
- L−u ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải 
là −ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p
q
 thì p là −ớc 
của hạng tử tự do, q là −ớc d−ơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc 
dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức. 
2. Bài tập 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2. 
Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 
5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) 
 = (5x + y)(x + y). 
Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta có : 
 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 
 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4 
Cách 1: x3 + 3x2 - 4 
= x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 
= x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) 
= (x - 1)(x + 2)2 
Cách 2: x3 + 3x2 - 4 
 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = ... = (x - 1)(x + 2)2 
Cách 3: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 ... = (x - 1)(x + 2)2 
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 
b) B = x4 + 4 
c) C = x2 - 6x + 8 
Giải: 
a) Nhẩm đ−ợc nghiệm x = 1
3
 A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - 1 
 = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) 
 = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) 
 = (3x - 1) ( x2 + x + 1) 
b) B = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 
 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) 
c) C = x2 - 6x + 8 = x2- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)2- 1 
= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) 
Hoặc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2) 
 = (x - 2)( x - 4) 
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 
P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) 
Q = x3 - 3x + 2 = x3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) 
= (x - 1)(x2 + x - 2) 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
Q = x4 + 64 
 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
 = ( x2 + 8)2 - (4x)2 
 = (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x) 
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 
 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 
 = (2x2 + 9)2- (6x)2 
 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) 
b) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 
 = (x7 - x) + (x2 + x + 1) 
 = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) 
 = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) 
 = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] 
 = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) 
*) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3n+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 với 
mọi số tự nhiên m, n. 
Chứng minh: 
Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 
 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) 
Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1 
Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 4 3x 5x 10x 4+ + − b) 3 3 3x y z 3xyz+ + − 
c) 8x x 1+ + d) 5 4x x 1+ + e) 10 5x x 1+ + 
H−ớng dẫn: 
a) Thêm bớt 2x2, đáp số: 2 2(x 5x 2)(x 2)+ − + 
Hoặc nhóm: 
 4 3 4 3 2 2 2x 5x 10x 4 (x 4) (5x 10x) (x 2)(x 2) 5x(x 2) ...+ + − = − + + = + − + + = 
b) Thêm bớt 3xy(x + y), ta đ−ợc: 
( ) ( )3 3 3 3 3
2 2 2
x y + 3xy x y z -3xy x y 3xyz (x y) z 3xy(x y z)
(x y z)(x y z xy yz zx)
+ + + + − = + + − + +
= + + + + − − −
c) Thêm bớt x2, ta có kết quả: 2 6 5 3 2(x x 1)(x x x x 1)+ + − + − + 
d) Thêm bớt x3, ta có kết quả: 2 3(x x 1)(x x 1)+ + − + 
e) Thêm bớt 2x x+ Ta có: 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
( ) ( )
( )
10 5 10 5 2 2
33 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 6 3 2
2 8 7 5 4 3
x x 1 (x x) (x x ) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1)
(x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1)(x x x x x x 1)
+ + = − + − + + +
 
= − + − + + + 
 
= − + + + − + + +
 
= + + − + + + − +  
= + + − + − + − +
Bài 8: Cho x Z∈ , chứng minh rằng: 200 100 4 2x x 1 x x 1+ + + +
 
H−ớng dẫn: 
Thêm bớt 4 2x x+ 
( ) ( )
200 100 200 2 100 4 4 2
2 198 4 96 4 2
33 162 6 4 6 4 2
A x x 1 (x x ) (x x ) (x x 1)
x (x 1) x (x 1) (x x 1)
x x 1 x x 1 (x x 1)
= + + ... )(x + 2) 
Vì x ∈ Z ⇒ ( 2x - 1)( x + 2) ∈ Z 
⇒ P = 8( 2x - 1)( x+2) 
 8 
⇔ [ ] 825)34( 2 
−+= xP 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
6. Rút gọn, Tính giá trị biểu thức 
a) Lí thuyết 
Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức. Ta 
phải tiến hành phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các 
nhân tử chung. 
b) Bài tập 
Bài 1: Rút gọn biểu thức 
2 2
2 2
x 3x y 3y
A
x y
+ − −
=
−
 với x y≠ ± 
H−ớng dẫn: 
2 2 2 2
2 2 2 2
x 3x y 3y (x y ) (3x 3y) (x y)(x y) 3(x y)
A
(x y)(x y)x y x y
(x y)(x y 3) x y 3
(x y)(x y) x y
+ − − − + − − + + −
= = =
+ −
− −
− + + + +
= =
+ − +
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức 
P = 78
55
2 ++
+
xx
x
 với x = 2005 
2
5(x 1)5x 5 5 5 5P
(x 1)(x 7) x 7 2005 7 2012x 8x 7
++
= = = = =
+ + + ++ +
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau, hly rút gọn : 
2 2 2 2 2 2
1 1 1A
(b c)(a ac b bc) (c a)(b ba c ac) (a b)(c bc a ab)
= + +
− + − − − + − − − + − −
H−ớng dẫn: Ta phân tích các mẫu thành nhân tử: 
 a2 + ac - b2 – bc = (a2 - b2) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c) 
 T−ơng tự: b2 + ab - c2 – ac = (b - c)(a + b + c) 
 c2 + bc - a2 - ab = (c - a)(a + b + c). 
 Do đó mẫu chung là : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). 
( )( )( )( )
( )( )( )( )
(c a) (a b) (b c)
A
a b b c c a a b c
0 0
a b b c c a a b c
− + − + −
=
− − − + +
= =
− − − + +
7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
N = (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + 2003. 
Giải: 
Tr−ớc hết phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 + 3x + 2) và (x2 + 7x + 12) 
Ta có x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1). 
 x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4). 
Khi đó N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003 
= (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003 
= (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003. 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
 Đặt x2 + 5x + 5 = t. Ta có N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - 1 + 2003 = t2+2002 
 Vậy do t2 ≥0 với ∀t ⇒ N ≥ 2002. 
 Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 t = 0 
 x2 + 5x + 5 = 0 5 5 5 5x hoặc x = 
2 2
− + − −
= 
8. Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên 
Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mln : x + y = xy 
 Giải : 
 Ta có xy = x + y ⇔ xy – x – y + 1 = 1⇔ x(y - 1) - (y - 1) = 1 
⇔ (x - 1)(y - 1) = 1. 
Do x,y nguyên nên ta có : 
x – 1 = 1 hoặc x – 1 = - 1 
 y – 1 = 1 y – 1 = - 1 
 Suy ra (x = 2 ; y = 2) hoặc (x = 0 ; y = 0). 
 Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm là (2 ; 2) và (0 ; 0). 
9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên 
1. Lí thuyết: 
Cách làm: Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x) đ1 
cho. Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp 
theo ta tìm giá trị cuả biến để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn vậy tử 
thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là −ớc của tử thức. Từ đó 
tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể: 
f(x) = A(x) ba
B(x) C(x)
= + với a, b Z∈ 
f(x) Z C(x) Ư (b) x ?∈ ∈ => = 
2. Bài tập: 
Bài 1: Tìm giá trị của x để biểu thức 
78
55
2 ++
+
=
xx
xP có giá trị nguyên. 
Có 
7
5
)7)(1(
)1(5
+
=
++
+
=
xxx
xP 
Vậy P nguyên x + 7 là −ớc của 5 
Hay x + 7 ∈ { -1; 1; - 5; 5} 
Có 






−=+
=+
=+
−=+
17
17
57
57
x
x
x
x
⇒ 






−=
−=
−=
−=
8
6
2
12
x
x
x
x
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị x ∈ { -12; - 8, -6, -2} thì P đạt 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
giá trị nguyên 
Luyện tập chung 
Bài 1: 
Cho biểu thức A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32. 
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử 
b) Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn (∀a ∈ Z) 
 H−ớng dẫn: 
a) A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32 
 = a4 - a3 - 5a3 + 22a2 + 5a2 - 22a - 32a + 32 
 = a3(a - 1) - 5a2(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1) 
 = (a - 1)(a3 - 5a2 + 22a - 32) 
 Mà a3 - 5a2 + 22a – 32 = a3 - 2a2 - 3a2 + 6a + 16a - 32 
 = a2(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2) 
 = (a - 2)(a2 - 3a + 16) 
 Xét a2 - 3a + 16 có ∆ = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a2 - 3a + 16 không phân tích 
đ−ợc trên R. Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16). 
b) Do a ∈ Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết 
cho 2. Suy ra A chia hết cho 2 ⇒ A = 2k (k ∈ Z) Vậy A là số chẵn với ∀a ∈ Z 
Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: 
 N = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 luôn d−ơng . 
 H−ớng dẫn : 
 Có N = 4a2b2 - (a4 + 2a2b2 + b4) + 2b2c2 + 2a2c2 - c4 
 = 4a2b2- (a2 + b2)2+ 2c2(b2 + a2) - c4 
 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab- a2 - b2 + c2)(2ab + a2 + b2 - c2) 
 =[c2 - (a - b)2][(a + b)2 - c2] 
 =(c – a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c). 
 Ta thấy a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy ra 
bốn nhân tử đều d−ơng . Vậy N > 0. 
Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b; 
BC = a . Chứng minh rằng nếu ph−ơng trình ẩn x sau: 
 b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng 
 H−ớng dẫn : 
 Do A, B, C phân biệt suy ra AC ≠ 0 ⇒ b 0≠ => Hệ số b2 ≠ 0 . 
 Có ∆ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2. Ph−ơng trình có nghiệm kép 0∆ = 
 Phân tích ∆ thành nhân tử ta đ−ợc: 
∆= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b – c - a) 
 Do a + b + c ≠ 0 nên xảy ra ba tr−ờng hợp : 
 Hoặc b + c – a =0 ⇒ a = b + c ⇔ BC=AC+AB ⇒ A nằm giữa B, C. 
 hoặc a + b - c = 0 ⇒ c = a + b ⇔ AB = BC + AC ⇒ C nằm giữa B, A 
 hoặc b – c – a = 0 ⇒ b = a + c ⇔ AC = BC + AB ⇒ B nằm giữa A, C. 
 Vậy A, B, C thẳng hàng. 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
Bài 4: Cho đa thức P = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz 
 a) Phân tích đa thức P thành nhân tử 
 b) Chứng minh rằng nếu x, y, z nguyên và (x + y + z) chia hết cho 6 thì 
 Q = P - 3xyz chia hết cho 6. 
 H−ớng dẫn: 
 a) Có P = [(x + y + z) - z][ (x + y + z) - y][ (x + y + z) - x] + xyz 
 = (x + y + z)3- (x + y + z)2(x + y + z) + (x + y + z)(xy + yz + xz)- xyz + xyz 
 = (x + y + z)(xy + yz + xz). 
 b) Do (x + y + z) 
 6 ⇒ P 
 6 (1) 
 Để chứng minh Q 
 6 ta Chứng minh 3xyz 
 6 ⇒ xyz 
 2. 
 Thật vậy: (x + y + z) 
 6⇒ (x + y + z) 
 2 ⇒ (x + y + z) là số chẵn ⇒ không 
thể x, y, z cùng lẻ ⇒ ít nhất một trong ba số x, y, z là chẵn ⇒ xyz là số chẵn 
⇒ xyz 
 2 => 3xyz 
 6 (2) 
Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6 
 Bài 5: Chứng minh rằng : (n5 - 5n3 + 4n) chia hết cho 120 , ∀ n ∈ Z 
 H−ớng dẫn: 
 Ta có: 
 n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) = n[(n4 - 4n2) - (n2 - 4)] = n[n2(n2 - 4) - (n2 - 4)] 
 = n(n2 - 4)(n2 - 1) = n(n -1)(n - 2)(n + 1)(n + 2). 
 Do n ∈ Z ⇒ n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp 
nên chia hết cho 1. 2.3.4.5 = 120. 
 Vậy: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120. 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì : 
a3 + b3 + c3 + d3 = 3(ac - bd)(b + d). 
 H−ớng dẫn: 
 Từ giả thiết : a + b + c + d = 0⇒ a + c = - (b + d) ⇒ (a + c)3 = - (b + d)3 
 ⇒ a3 + c3 + 3(a + c)ac = - b3 - d3 - 3(b + d)bd , thay a + c = - (b + d) ta đ−ợc : 
 a3 + c3 - 3(b + d)ac = - b3- d3 - 3(b + d)bd. 
Hay: a3 + b3 + c3 + d3 = 3ac(b + d)- 3(b + d)bd = 3(b + d)(ac - bd). 
IV. H−ớng dẫn về nhà 
- Xem lại các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập 
đã chữa 
- Giải tiếp các bài tập sau: 
Bài 1: Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa 
thức bậc ba với hệ số nguyên, sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1 
A = 4 3 23x 11x 7x 2x 1+ − − + 
H−ớng dẫn: 4 3 23x 11x 7x 2x 1+ − − + = 3 2(3x 1)(x ax bx 1)− + + − 
Đồng nhất hệ số tìm đ−ợc a = 4 ; b = - 1. 
Vậy A = 3 2(3x 1)(x 4x x 1)− + − − 
Bài 2: Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số 
nguyên: B = 4 3 2x 6x 11x 6x 1− + − + 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
H−ớng dẫn: 4 3 2 2 2x 6x 11x 6x 1 (x ax 1)(x bx 1)− + − + = + + + + 
Đồng nhất hệ số tìm đ−ợc a = - 3 ; b = - 3. 
Vậy B = 2 2(x 3x 1)− + 
Bài 3: Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số 
nguyên và các hệ số cao nhất đều mang dấu d−ơng: C = 4 3 2x x 2x 11x 5− + − − 
H−ớng dẫn: 4 3 2 2 2x x 2x 11x 5 (x ax 1)(x bx 5)− + − − = + − + + 
Đồng nhất hệ số tìm đ−ợc a = - 2 ; b = 1. 
Vậy C = 2 2(x 2x 1)(x x 5)− − + + 
Bài 4: Giải ph−ơng trình sau: ( 4x + 3)2 - 25 = 0 
H−ớng dẫn: ( 4x + 3)2 - 25 = 0 ( 4x + 3)2 – 52 = 0 8(2x - 1)(x + 2) = 0 
1x2x 1 0
2x 2 0 x 2

=− =⇔ ⇔ + = = −
Bài 5: Giải bất ph−ơng trình sau: x2 - 7x + 10 < 0. 
Bài 6: Giả sử a, b, c, d ∈ Z ; Chứng minh rằng: 
A = [(a- c)2 + (b - d)2](a2 + b2) - (ad - bc)2 là số chính ph−ơng. 
H−ớng dẫn: 
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A (a 2ac c b 2bd d )(a b ) (ad bc)
(a b ) a c b c a d b d 2(ac bd)(a b ) a d 2abcd b c
(a b ) 2(ac bd)(a b ) (a c 2abcd b d )
(a b ) 2(ac bd)(a b ) (ac bd) (a b ac bd)
Vì a, b,
= − + + − + + − −
= + + + + + − + + − + −
= + − + + + + +
= + − + + + + = + − −
2 2 c, d Z nên a b ac bd Z∈ + − − ∈
Vậy A là số chính ph−ơng 
Bài 7: Chứng minh rằng đa thức : 
z2 + y(2x - y) - x2 chia hết cho đa thức : x – y + z 
Bài 8: Chứng minh rằng đa thức : (a2 + 3a + 1)2-1 chia hết cho 24 với ∀a ∈ Z. 
Bài 9: Chứng minh rằng 
a) a4 + b4 ≥ a3b + ab3. 
b) (ac - bd)2 ≥ (a2 - b2)(c2 - d2). 
H−ớng dẫn: 
a) Chuyển vế và biến đổi đ−ợc: 
22 2 2 2 2 2b 3b(a b) (a ab b ) 0 a ab b 0 (a ) 0
2 4
− + + ≥ + + ≥ + + ≥ 
Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b 
b) Biến đổi BĐT đ−ợc 2(ad bc) 0− ≥ . Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c, d 
Bài 10: 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
 (x + 1)(x + 2)(x + 5)(x + 6) + 15. 
 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 
2011 - 2012 
Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
 (1 - x)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 3. 
Bài 11: Tìm các cặp số nguyên (x , y) thoả mln các ph−ơng trình sau: 
 a) x2 = y2 + 2. 
 b) xy - 3x - 2y – 7 = 0. 
 c) xy + 2x + y = - 2. 
Bài 12: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải D−ơng năm học 2010 - 2011 
Phõn tớch đa thức 2 24(1 )(1 )(1 ) 3x y x y x y+ + + + − thành nhõn tử 
H−ớng dẫn: 
A = 2 24(1 )(1 ) 3x y xy x y x y+ + + + + − 
2 2 24(1 ) 4(1 ) 3x y x y xy x y= + + + + + − 
[ ]2 22(1 ) ) (2 )x y xy xy= + + + − 
( )( )2 2 2 2 2 2 3x y xy x y xy= + + − + + + 
Bài 13: 
H−ớng dẫn: 
Bài 14: 
H−ớng dẫn: 
Bài 15: 
H−ớng dẫn: 
Bài 16: 
H−ớng dẫn: 
Bài 17: 
H−ớng dẫn: 
Bài 11: 
H−ớng dẫn: 
D/Bổ sung 
******************************* 
Tr−ờng THCS Hồng H−ng 
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đ−ờng link này -