Đề thi khảo sát học sinh giỏi Toán Lớp 8 (vòng I) - Năm học 2009-2010 - Phòng GD & ĐT Lập Thạch

Phòng gd – đt
Lập Thạch
Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 (vòng I)
Môn: Toán
Năm học 2009 – 2010
Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Cho biểu thức 
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Câu 2: 
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy
Câu 3: 
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 +b3 + c3 – 3abc
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: 
Chứng minh rằng 
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh.
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy.
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt SMAB =S1, SMCD = S2, SABCD = S.
Chứng minh rằng: 
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Cho biểu thức 
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
 = = = = = 
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào x.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
A = = Có tử số 0, mãu số dương. A 0. A nhỏ nhất khi A= 0.
Khi đó 
Câu 2: 
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192
Vì a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên đặt a = m2, b = n2 (m,n lẻ), Giả sử a>b thì 
 m +1 = n – 1, n +1 = m + 3.
192 = 26.3
Ta xét A = ab – a – b + 1 = (a - 1)(b -1) = (m - 1)(m + 1)2(m + 3)
Vì m lẻ, đặt m = 2k + 1 ta có: A = 2k.(2k+2)2(2k+4) = 24.k(k+1)2(k+2)
Vì k(k+1)(k+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Nếu k chẵn k + 2 chẵn k (k+2) 4 A192
Nếu k lẻ k + 1 chẵn (k+1)2 4 A192
Vậy A = ab – a – b + 1 luôn chia hết cho 192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy
Cách 1: (x + 1)2 4x; (y + 1)2 4y.
Do đó y(y+1)2 + x(x+1)2 4x2 + 4y2 
8xy 4x2 + 4y2 2xy x2 + y2 (x - y)2 0 x = y
Thay x = y vào biểu thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy ta có 2 x(x+1)2 = 8x2(x+1)2 = 4x
(x-1)2 = 0 x = 1
 x= y = 1.
Câu 3: 
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 +b3 + c3 – 3abc
a3 +b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac - bc)
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: 
Chứng minh rằng 
Giải:
Theo câu a ta có x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – yz - xz).
Vì x + y + z = 0 nên x3 + y3 + z3 = 3xyz
Vì xy + yz + zx =0
x + y + z = 0 (x + y + z)2 = 0 x2 + y2 + x2 + 2(xy + yz + xz) =0 
 x2 + y2 + x2 = 0 
 x2 + y2 + x2 = 3x2y2z2 
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh.
M
H
F
E
C
B
A
N
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy.
Giải:
a/
+ ΔAFM là tam giác vuông tại F nên FN = ½.AM
ΔAEM là tam giác vuông tại E nên EN = ½.AM
Do đó EN = FN.(1)
Ta sẽ chứng minh ΔFNH, ΔENH đều
Thật vậy:
Xét góc ngoài ΔANF có FNM	= 2FAM	
Tương tự MNH = 2 MAH. Do đó FNH = 2 FAH = 600 suy ra ΔFNH đều suy ra FN = FH (2)
Tương tự ΔENH đều suy ra EN = EH (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra FNEH là hình thoi.
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD. Đặt SMAB =S1, SMCD = S2, SABCD = S.
Chứng minh rằng: 
D
C
B
A
M
Q
P
Giải:
Ta có: S1 = ½.MP.AB
S2 = ½.MQ.CD = ½.MQ.AB
S1.S2 = ¼.AB2.MP.MQ
Lại có PQ2 = (MP + MQ)2 4MP.MQ
MP.MQ 1/4. PQ2 
 S1.S2 1/16.AB2.PQ2 = 1/16.S2