Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Lê Gia Lợi

Đề thi học sinh giỏi toán 8 
®Ò thi sè 1 
Bài 1 (4đ): 
 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4. 
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng: 
 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 
Bài 2 (3đ): 
 Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì : 
13 −x
y
 − 
13 −y
x
 = 
3
)(2
22 +
−
yx
yx
Bài 3 (5đ): 
Giải phương trình: 
 1, 
2001
242 −x
 + 
2003
222 −x
 = 
2005
202 −x
 + 
2007
182 −x
 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 
Bài 4 (6đ): 
 Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE 
vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. 
Chứng minh rằng: 
 1, AH = AK 
 2, AH2 = BH.CK 
Bài 5 (2đ): 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). 
®Ò thi sè 2 
Bµi 1: 
1) Rót gän biÓu thøc: 
A = 
2
1
6 5
5 n n
x x
x x
+
− + −
−
 víi /x/ = 1 
2) Cho x, y tháa mn: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0 
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 
B = 
2 7 52 ( )x xy x y
x y
− +
≠
−
Bµi 2: 
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72 
2) T×m x ®Ó biÓu thøc: 
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt 
®ã ? 
Bµi 3: 
1) T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph−¬ng ? 
2) Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph−¬ng lÎ liªn tiÕp th×: 
(m – 1).(n – 1) 
 192 
Bµi 4: 
Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng 
nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ 
BN. 
1) Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng. 
2) Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña AHN . 
3) VÏ AI ⊥ HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF 
Bµi 5: 
1) G¶i ph−¬ng tr×nh: 
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 
2) Cho a, b, c ∈ R+ vµ a + b + c = 1. 
Chøng minh r»ng: 
1 1 1 9
a b c
+ + ≥ 
§Ò sè 3 
Bµi 1: (3 ®iÓm) 
Cho biÓu thøc 





+
+
−






−
+=
3
1
327
:
3
3
3
1
2
2
2 xx
x
xx
A 
a) Rót gän A. 
b) T×m x ®Ó A < -1. 
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
a) 
yy
y
yy 31
2
19
6
3103
1
22
−
+
−
=
+−
b) 
2
2
1
.
3
61
3
2
4
3
2





 −
−
−=
+
−
−
xxx
x 
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
 Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l−ît lóc 5 
giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. 
Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. 
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®−êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt 
AMPN ( M ∈ AB vµ N ∈AD). Chøng minh: 
a) BD // MN. 
b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. 
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
 Cho a = 111 (2n ch÷ sè 1), b = 444 (n ch÷ sè 4). 
 Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng. 
§Ò sè 4 
C©u I: (2®iÓm) 
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
a) 542 −+ xx 
b) )2()()( cbabccaacbaab +−++−− 
2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 
5
4
127
1
65
1
23
11
2222 =++
+
++
+
++
+
+ xxxxxxxx
C©u II: (2 ®iÓm) 
1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc baxxxxf +++= 23 2)( chia hÕt cho ®a thøc 
1)( 2 ++= xxxg . 
2) T×m d− trong phÐp chia ®a thøc 2006)( 51337161 +++++= xxxxxxP cho ®a thøc 
.1)( 2 += xxQ 
C©u III: (2 ®iÓm) 
1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
222
2
222
2
222
2
b
b
bac
c
accba
aP
−−
+
−−
+
−−
= 
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ mn accbba −≠−≠−≠ ,, . 
CMR: 0))(())(())((
222
=
++
−
+
++
−
+
++
−
bcac
abc
cbab
acb
caba
bca
C©u IV: (3®iÓm) 
1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê 
AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: 
a) KC = KP 
b) A, D, K th¼ng hµng. 
c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi. 
2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®−êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. 
CMR: 
'
'
'
'
'
'
CC
HC
BB
HB
AA
HA
++ b»ng mét h»ng sè. 
C©u V: (1 ®iÓm): 
 Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu 
thøc: 
 22
22
baba
babaQ
++
+−
= 
§Ò sè 5 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
 )()()()()()( 222 babacacacbcbcba −++−++−+ 
b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ 0111 =++
cba
Rót gän biÓu thøc: 
abccabbca
N
2
1
2
1
2
1
222 +
+
+
+
+
= 
Bµi 2: (2®iÓm) 
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
 122 ++−−+= yxxyyxM 
b) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 01)5,5()5,4( 44 =−−+− yy 
Bµi 3: (2®iÓm) 
 Mét ng−êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®−îc 15 phót, 
ng−êi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i 
B vµ gÆp ng−êi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. 
TÝnh qung ®−êng AB. 
Bµi 4: (3®iÓm) 
 Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®−êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF 
vu«ng gãc víi AB vµ AD. 
a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. 
b) Chøng minh ba ®−êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy. 
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt. 
Bµi 5: (1®iÓm) 
 T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 
34553 22 =+ yx 
§Ò sè 6 
Bµi 1: (2,5®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
a) x5 + x +1 
b) x4 + 4 
c) x x - 3x + 4 x -2 víi x > 0 
Bµi 2 : (1,5®iÓm) 
Cho abc = 2 Rót gän biÓu thøc: 
22
2
12 ++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
aA 
Bµi 3: (2®iÓm) 
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0 
TÝnh: 224 ba
abP
−
= 
Bµi 4 : (3®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM < CM. Tõ N vÏ 
®−êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ 
®iÓm ®èi xøng cña M qua E F. 
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm 
b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n 
c) TÝnh : ANB + ACB = ? 
d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña ∆ ABC 
®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng. 
Bµi 5: (1®iÓm) 
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. 
§Ò sè 7 
Bµi 1: (2®iÓm) 
 Cho biÓu thøc: 
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222 +−
+
+−
+
+−
+
+−
=
xxxxxxxx
M 
1) Rót gän M. 
2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0. 
Bµi 2: (2®iÓm) 
Ng−êi ta ®Æt mét vßi n−íc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi n−íc ch¶y ra ë l−ng chõng bÓ. 
Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy n−íc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y 
ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê r−ìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y 
ra. 
1) TÝnh thêi gian n−íc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc n−íc ngang chç ®Æt vßi 
ch¶y ra. 
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ 
lµ bao nhiªu. 
Bµi 3: (1®iÓm) 
T×m x, y nguyªn sao cho: 042 22 =++++ yyxxyx 
Bµi 4: (3®iÓm) 
 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn 
®o¹n CD (E kh¸c D). §−êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i 
A c¸t CD t¹i K. 
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 
2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: 
JA = JB = JF = JI. 
3) §Æt DE = x (a ≥ x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x. 
4) Hy chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt. 
Bµi 5: (1®iÓm) 
Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ mn: 0111 =++
zxyzxy
 TÝnh 
xy
z
zx
y
yz
xN
222
++= 
§Ò sè 8 
C©u I: (5 ®iÓm) 
Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 
1) 
143
1
2 +−
++−
xx
xxx
2) 
3)2(18)1(3
30)1(11)1(
24
24
−−−−
+−−−
aaa
aa
C©u II: (4 ®iÓm) 
1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d− 2 vµ b chia 
cho 13 d− 3 th× 22 ba + chia hÕt cho 13. 
2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ mn abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
acc
c
bcb
b
aca
aA
++
+
++
+
++
=
111
3) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
6
7
32
22
22
12
2
2
2
2
=
++
++
+
++
++
xx
xx
xx
xx
C©u III: (4 ®iÓm) 
§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh 
(26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®−îc giao lµm mét khèi l−îng c«ng viÖc. NÕu hai tæ 
lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× 
lµm ®−îc 30% c«ng viÖc. 
NÕu c«ng viÖc trªn ®−îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian 
®Ó hoµn thµnh. 
C©u IV: (3 ®iÓm) 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña B, D 
lªn AC; H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. 
1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 
2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. 
3) Chøng minh AKADAHABAC ..2 += 
C©u V: (2 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 120032002 20032002 =−+− xx 
§Ò sè 9 
C©u I: (2®iÓm) 
1. Thùc hiÖn phÐp chia 22 234 +−−−= xxxxA cho 12 += xB . T×m x ∈ Z ®Ó A chia 
hÕt cho B. 
2. Ph©n tÝch ®a thøc th−¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö. 
C©u II: (2®iÓm) 
1. So s¸nh A vµ B biÕt: 
1532 −=A vµ )15)(15)(15)(15(6 16842 ++++=B 
2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44. 
C©u III: (2®iÓm) 
1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ mn: )(3)( 2 cabcabcba ++=++ . 
Hái tam gi¸c ® cho lµ tam gi¸c g× ? 
2. Cho ®a thøc f(x) = 1... 299100 +++++ xxxx . T×m d− cña phÐp chia ®a thøc f(x) 
cho ®a thøc 12 −x . 
C©u IV: (3®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®−êng cao AH. Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña 
H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 
1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 
3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. 
C©u V : (1 ®iÓm) 
Chøng minh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn: 
4
2003
3
2004
2
2005
2003
4
2004
3
2005
2 −
+
−
+
−
=
−
+
−
+
− xxxxxx
§Ò sè 10 
C©u 1: (2®iÓm) 
a) Cho 0136222 22 =++−+− yxyxyx 
TÝnh 
xy
yxN
4
13 2 −
= 
b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè 
d−¬ng. 
 abccbaA 3333 −++= 
C©u 2: (2 ®iÓm) 
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: 
 9=





−
+
−
+
−





 −
+
−
+
−
=
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
baA 
C©u 3: (2 ®iÓm) 
 Mét « t« ph¶i ®i qung ®−êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qung 
®−êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qung ®−êng sau ®i 
víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h. 
TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qung ®−êng AB biÕt ng−êi ®ã ®Õn B ®óng giê. 
C©u 4: (3 ®iÓm) 
 Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc 
v¬i AE c¾t ®−êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E 
dùng ®−êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. 
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. 
b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. 
C©u 5: (1 ®iÓm) 
 T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 
 426 13 yxx =++ 
§Ò sè 11 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Cho ... + zyx 
C©u 3: (2 ®iÓm) 
Trªn qung ®−êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo 
chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ng−îc l¹i. C¸c xe 
nµy chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh− nhau. Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B 
nhËn thÊy cø 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh. 
Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A v−ît qua ng−êi ®ã. 
C©u 4: (3 ®iÓm) 
a) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy E thuéc BD, Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua 
E. Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i 
K. Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng. 
b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®−êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m 
kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®−êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn 
tÝch nhá nhÊt. 
C©u 5: (1 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 22
2
22
2
2
bx
x
a
xb
b
xax
−
=+
−
−− 
§Ò sè 34 
C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) Cho 0142 =+− xx 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2
24 1
x
xxA ++= 
b) T×m sè tù nhiªn x ®Ó 
8
82
+
+
x
x
 lµ sè chÝnh ph−¬ng. 
C©u 2: (2 ®iÓm) 
a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) 141 22 +=− xx 
b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 1
2
1
>
−
−
x
x
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? 
Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh− 
hai ch÷ sè cuèi lËp thµnh mét sè chÝnh ph−¬ng vµ sè nµy gÊp bèn lÇn sè kia ? 
ViÖt: Sau mét lóc suy nghÜ ® t×m ra sè nhµ cña Nam. 
 Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? 
C©u 4: ( 3 ®iÓm) 
1) Cho hai ®iÓm A vµ B n»m cïng phÝa ®èi víi ®−êng th¼ng a. Hy t×m trªn 
®−êng th¼ng a mét ®iÓm P sao cho tæng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt. 
2) Cho gãc nhän xOy vµ 1 ®iÓm A ë miÒn trong gãc ®ã. Hy t×m trªn hai c¹nh 
Ox, Oy c¸c ®iÓm t−¬ng øng B vµ C sao cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt. 
C©u 5: (1 ®iÓm) 
T×m c¸c sè x, y, z, t tháa mn: )(2222 tzyxtzyx ++=+++ 
§Ò sè 35 
C©u 1: ( 2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 3333 )()()()( bacacbcbacba −+−−+−−+−++ 
b) 322322322 )()()( zyxzyx +−−++ 
C©u 2: (2 ®iÓm) 
a) Cho f(x) = cbxax ++2 
Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) 
b) T×m c¸c sè x, y nguyªn d−¬ng tho¶ mn: 13222 +=− yyx 
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
a) Chøng minh r»ng nnn 45 35 +− chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn. 
b) Cho tam gi¸c cã ®é dµi hai ®−êng cao lµ 3 cm vµ 7 cm. Hy t×m ®é dµi ®−êng 
cao thø ba, biÕt r»ng ®é dµi ®−êng cao ®ã lµ mét sè nguyªn. 
C©u 4: (3 ®iÓm) 
a) Chøng minh tæng ®é dµi c¸c c¹nh cña mét ngò gi¸c låi bÐ h¬n tæng ®é dµi c¸c 
®−êng chÐo cña ngò gi¸c ®ã. 
b) Cho tam gi¸c ABC . Trong c¸c h×nh ch÷ nhËt cã hai ®Ønh n»m trªn c¹nh BC vµ 
hai ®Ønh cßn l¹i lÇn l−ît n»m trªn hai c¹nh AB vµ AC, hy t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 
lín nhÊt. 
C©u 5: (1 ®iÓm) 
 T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d−¬ng x, y tho¶ mn: 
27
133
−=+ xyyx 
§Ò sè 36 
C©u 1: ( 2 ®iÓm) 
a) Chøng minh r»ng: nn −5 chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n. 
b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 8633 +−+ xyyx 
C©u 2: (2 ®iÓm) 
a) T×m x, y, z tho¶ mn: 







=−
=++
412
2111
zxy
zyx
b) Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau. Chøng minh r»ng: 
222 )(
1
)(
1
)(
1
accbba
A
−
+
−
+
−
= lµ mét sè h÷u tØ. 
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
a) Cho x, y > 0 tho¶ mn x + y =1. Chøng minh r»ng: 
2
2511
22
≥





++





+
y
y
x
x 
b) Chøng minh r»ng: 
2
1
)1(
1
....
13
1
5
1
22 <++
+++
nn
C©u 4: (2 ®iÓm) 
Cho ®a thøc P(x) dcxbxaxx ++++= 234 víi a, b, c , d lµ h»ng sè. 
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . 
TÝnh P(12) + P(-8). 
C©u 5: ( 2 ®iÓm) 
T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ mn: xyyxyx 28 2222 =−− 
§Ò sè 37 
Bµi 1: (4 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 44 += xA 
b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc 
1
32
+
++
=
a
aaP nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 
Bµi 2: (4 ®iÓm) 
§a thøc P(x) khi chia cho x -3 d− 7, khi chia cho x + 5 d− -9 cßn khi chi cho 
 x2 - 5x + 6 th× ®−îc th−¬ng lµ x2 + 1 vµ cßn d−. T×m ®a thøc P(x). 
Bµi 3: (6 ®iÓm) 
a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 
cba
cb
bcx
ca
acx
ba
abx
++=
+
−
+
+
−
+
+
−
T×m x ë d¹ng thu gän. 
b) Rót gän biÓu thøc: )150)....(14)(13)(12(
)150)....(14)(13)(12(
3333
3333
−−−−
++++
=M 
Bµi 4: (6 ®iÓm) 
a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tr−íc mét ®iÓm A. Hy t×m trªn tia Oy cña gãc 
®ã mét ®iÓm B sao cho OB + BA = d (víi d lµ ®é dµi cho tr−íc. 
b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh 
r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 . 
§Ò sè 38 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 323 24 +−+ xxx 
b) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 0133 23 =+−+ xxx 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Cho biÓu thøc: 
a
a
a
a
a
aP 1.
1
2
1
2 +






−
−
−
+
+
= 
a) Rót gän P. 
b) T×m a ®Ó P nguyªn. 
Bµi 3: (3 ®iÓm) 
a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: 
zyxz
yx
y
zx
x
zy
++
=
−+
=
++
=
++ 1321
b) Cho ®a thøc f(x) = cbxax ++2 víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), 
f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. 
 Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. 
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®−êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc t©m cña 
tam gi¸c ABC. 
 Chøng minh r»ng: 1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
 T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc baxx ++2 chia cho (x + 1) th× d− 7, chia 
cho (x-3) th× d− -5. 
§Ò sè 39 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Rót gän biÓu thøc: 
a) 2222 )()()()( acbcbacbacbaP −++−+++−+++= 
b) 22
111
yxyxyx
Q
+
−
+
−
−
= 
Bµi 2: ( 2 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: abccabcabcba −++++ ))(( 
b) T×m x, y biÕt: 0
2
5322 =++−+ yxyx 
c) Cho )13)(1( 2 +−−= nnnA . T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña A lµ mét sè nguyªn 
tè. 
Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 
 Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
5
125
7
123
9
121
11
119
13
117
125
5
123
7
121
9
119
11
117
13 −
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+
−
+
− xxxxxxxxxx
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
 Mét « t« khëi hµnh ®i tõ A ®Õn C, hai giê sau mét « t« kh¸c ®i tõ B ®Õn C. Sau 
5
23 
giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«. 
BiÕt r»ng B n»m trªn ®−êng tõ A ®Õn C vµ qung ®−êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cña « 
t« ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h. 
Bµi 5: (2 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF. Gäi M, N, P theo thø 
tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña B, A vµ C qua AD, BE , AD. Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua 
CF. Chøng minh MN // PQ. 
§Ò sè 40 
Bµi 1: ( 2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 234 21 xxx −−+− 
b) )()()( 333333 bacacbcba −+−+− 
Bµi 2: (4 ®iÓm) 
a) Rót gän biÓu thøc sau: 233 )(6)1()1( bababa +−−+−++ 
b) X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®a thøc bxaxx +++ 223 chia hÕt cho ®a thøc 12 −x 
c) T×m d− cña phÐp chia ®a thøc 120052004)( 200220042005 −+−= xxxxf cho ®a thøc 
12 −x 
d) T×m x nguyªn tho¶ mn: 512 <−x 
Bµi 3: (2,5 ®iÓm) 
Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB, 
CD, BD vµ AC. 
a) Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cña gãc PMQ. 
b) T×m ®iÒu kiªn cña tø gi¸c ABCD ®Ó MN = PQ. 
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm I trªn CD ®Ó AIB cã chu vi nhá nhÊt. 
Bµi 4: (1,5 ®iÓm) 
a) TÝnh nhanh: 2222 10021001999998 +++ 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
2 2 3 3 2009A x xy y x y= + + − − + 
§Ò sè 41 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 132 234 −+−+ xxxx 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2006126692 22 +−−−+= yxxyyxA 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
a) T×m th−¬ng vµ phÇn d− trong phÐp chia ®a thøc: 
199732
...1)( xxxxxf +++++= cho 12 +x 
b) §a thøc f(x) khi chia cho x-3 th× d− 10, khi chia cho x+5 th× d− 2 cßn khi chia 
cho (x-3)(x+5) th× ®−îc th−¬ng lµ 12 +x vµ cßn d−. T×m ®a thøc f(x). 
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
T×m sè tù nhiªn x sao cho 119971999 ++= xxM cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè. 
Bµi 4: (3 ®iÓm) 
Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®−êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK 
thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC. 
a) Chøng minh r»ng: AK, CH vµ DM ®ång quy. 
b) TÝnh c¸c gãc cña ∆DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña ∆ ®ã b»ng ( )22
4
1 KDHK + . 
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: 312 +=+− xax 
§Ò sè 42 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 63422 2345 +−−+− xxxxx 
b) 423 ++ xx 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Cho biÓu thøc: 
12
12
:
1
1
.
11
1
2
2
3 ++
+






+
++
−
+
−
=
mm
m
m
mm
m
m
m
P 
a) Rót gän P. 
b) TÝnh P khi 
1999
2001
=m 
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n th× ph©n sè: 
132130
6815
2
2
++
++
nn
nn
 tèi gi¶n. 
b) T×m sè nguyªn n ®Ó 7−n chia hÕt cho 642 −n 
Bµi 4: (3 ®iÓm) 
 Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®−êng th¼ng vu«ng 
gãc víi AE, c¾t ®−êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M. 
Qua E dùng ®−êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. 
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. 
b) Chøng minh r»ng chi vi tam gi¸c CEM kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. 
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
T×m a ®Ó P = a4 + 4 lµ mét sè nguyªn tè. 
§Ò sè 43 
Bµi 1: ( 2®iÓm) 
 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 6)()( 2 −+−+ yxyx 
b) 222 )13)(1( xxxxx +++++ 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Cho ®a thøc edxcxbxaxxxP +++++= 2345)( vµ cho biÕt 
P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51. 
TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8). 
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
a) 5
44
4
2
2
2
=
+−
+
xx
x
x 
b) 22345 +++= xxxx 
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
Dïng hai can 4 lÝt vµ 2,5 lÝt lµm thÕ nµo ®Ó ®ong ®−îc 3 lÝt r−îu tõ mét can 6 lÝt 
®ùng ®Çy r−îu (c¸c can kh«ng cã v¹ch chia ®é). 
Bµi 5: (2 ®iÓm) 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 1010 10100 +− xx 
§Ò sè 44 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 145 −− xx 
b) T×m c¸c cÆp sè (x, y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt: 
 yxxyyxP 2222 +++−−= 
Bµi 2: ( 2®iÓm) 
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 
a) ( ) ( ) ( ) 2432 432 =+++++ xxx 
b) 4241 222 +−=−+− xxxx 
Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 
T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n cña ®a thøc: [ ]82 )1(1 xx −+ 
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã b»ng luü thõa bËc bèn tæng c¸c ch÷ 
sè cña nã. 
Bµi 5: (2 ®iÓm) 
 Chøng minh r»ng: 3
1
1
3
1
2
2
≤
+−
++≤
xx
xx
§Ò sè 45 
C©u 1: ( 2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 
a) 6444 +yx 
b) 291492 234 +−+− xxxx 
C©u 2: ( 2 ®iÓm) 
T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm: mxxx =+−−+ 12 
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
Cho 0120062 =+− xx . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
 2
24 1
x
xxP ++= 
C©u 4: (2 ®iÓm) 
Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 . Chøng minh r»ng: 
 1
1
1
1
1
1
1
333333 ≤++
+
++
+
++ xzzyyx
C©u 5: ( 2 ®iÓm) 
Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tho¶ mn: 1=++ cba . 
T×m GTNN cña biÓu thøc: 





+





+





+=
cba
P 111111